Proposta de Teste de Avaliação em Matemática A, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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Proposta de teste de avaliação

Matemática A

O

ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data:

o

Grupo I

Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de

respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

1. Sabe-se que, para determinado valor real de k , não nulo, o polinómio

( )

3 2

A x = x + 3 x + x + k é

divisível pelo polinómio

( )

B x = x + k.

Qual é o valor de k?

(A) 3 (B) − 3 (C) − 2 (D) − 1

2. Na figura está representada, num referencial ortonormado xOy , uma circunferência de centro no

ponto

( )

C 1 , 0.

Qual das condições seguintes define a região

sombreada, incluindo a fronteira?

(A)

( )

2 2

x − 1 + y ≤ 1 ∧ − x ≤ y ≤ x − 1

(B)

( )

2 2

x − 1 + y ≤ 1 ∧ − x − 1 ≤ y ≤ x

(C)

( )

2 2

x − 1 + y ≤ 2 ∧ − x ≤ y ≤ x − 1

(D) ( )

2 2

x − 1 + y ≤ 2 ∧ − x − 1 ≤ y ≤ x

3. Considere, num referencial ortonormado xOy , a circunferência de equação:

2 2

x + y + 2 x = 0

Qual das equações seguintes define uma reta que passa no centro desta circunferência?

(A) x = 1 (B) y = − 1

(C) y = x + 1 (D) y = − x + 1

O

C

x

y

o

2. No referencial ortonormado xOy da figura estão representados o paralelogramo

[ ]

ABCD , a

reta r e a reta s.

Sabe-se que:

• os pontos A e D têm coordenadas ( )

2 , − 1 e

( )

6 , 7 , respetivamente;

• o vetor AB

tem coordenadas

( )

• a reta r é a mediatriz do segmento de reta

[ ]

AD e

interseta o eixo Oy no ponto E ;

• a reta s passa nos pontos A e C.

2.1. Mostre que

y = − x + é a equação reduzida da reta r.

2.2. Determine uma equação cartesiana da circunferência de diâmetro

[ ]

AD e verifique que o

ponto E pertence a essa circunferência.

2.3. Mostre que o ponto C tem coordenadas

( )

2.4. Determine uma equação vetorial da reta s.

2.5. Verifique que o ponto C pertence à reta r.

2.6. Determine a medida da área do paralelogramo

[ ]

ABCD.

FIM

Cotações

Grupo I

Grupo II

1. 2. 3. 4. 5. Total

10 10 10 10 10 50

1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Total

15 15 20 20 15 15 15 15 20 150

O

A

B

C

D

r

s

y

x

E

o

Proposta de resolução

Grupo I

( )

3 2

A x = x + 3 x + x + k

Se A x ( )é divisível pelo polinómio B x ( )= x + k , então: A ( − k ) = 0

( ) ( ) ( ) ( )

3 2

A − k = 0 ∧ k ≠ 0 ⇔ − k + 3 − k + − k + k = 0 ∧ k ≠ 0 ⇔

3 2

⇔ − k + 3 k − k + k = 0 ∧ k ≠ 0 ⇔

( )

2

⇔ k − k + 3 = 0 ∧ k ≠ 0 ⇔

⇔ ( k = 0 ∨ − k + 3 = 0 )∧ k ≠ 0 ⇔

⇔ k = 3

Resposta: (A)

2. Equação da circunferência:

Centro: ( )

C 1 , 0

Raio: AC

Considerando o triângulo [ OAC ] e pelo Teorema de

Pitágoras:

2 2 2

AC = OC + OA ⇔

2 2 2 2

⇔ AC = 1 + 1 ⇔ AC = 2

Equação: ( )

2 2

x − 1 + y = 2

Reta OB sendo ( ) B 1 , − 1 : y = − x

Reta AC sendo ( ) A 0 , − 1 e ( ) C 1 , 0 : y = mx + b

( )

m

b = − 1 (ordenada de A )

Equação: y = x − 1

Condição pedida: ( )

2 2

x − 1 + y ≤ 2 ∧ − x ≤ y ≤ x − 1

Resposta: (C)

2 2

x + y + 2 x = 0 ⇔

2 2

⇔ x + 2 x + 1 + y − 1 = 0 ⇔

( )

2 2

⇔ x + 1 + y = 1

O centro da circunferência é o ponto de coordenadas ( −1 , 0 ). As coordenadas deste ponto apenas

verificam a equação y = x + 1

Resposta: (C)

O

C

1 x

y

A

y = x − 1

y = − x

B

o

1.3. Qualquer ponto P da reta r é da forma ( ) ( ) x , y = 4 k , 2 − 3 k , k ∈ ℝ

Pretendemos determinar as coordenadas de P , de abcissa positiva, tal que ( ) d A , P = 10.

( )

A 0 , 2

( ) P 4 k , 2 − 3 k , k ∈ ℝ

( ) ( ) ( )

2 2

d A , P = 10 ⇔ 4 k − 0 + 2 − 3 k − 2 = 10 ⇔

( ) ( )

2 2 2 2 2

⇔ 4 k + − 3 k = 10 ⇔ 16 k + 9 k = 100 ⇔

2 2

⇔ 25 k = 100 ⇔ k = 4 ⇔ k = − 2 ∨ k = 2

Se k = − 2 , vem ( ) ( ) ( ) 4 k , 2 − 3 k = 4 × −( 2) , 2 − 3 × −( 2) = − 8 , 8

Se k = 2 , vem ( ) ( ) ( ) 4 k , 2 − 3 k = 4 × 2 , 2 − 3 × 2) = 8 , − 4

O ponto da reta r , com abcissa positiva cuja distância ao ponto A é igual a 10 , tem

coordenadas ( )

( )

A 2 , − 1 ,

( ) D 6 , 7 e ( )

AB

2.1. Seja ( ) P x , y um ponto da mediatriz de

[ ]

AD.

( ) ( ) d P , A = d P , D , donde:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

x − 2 + y + 1 = x − 6 + y − 7 ⇔

2 2 2 2

⇔ x − 4 x + 4 + y + 2 y + 1 = x − 12 x + 36 + y − 14 y + 49 ⇔

⇔ 2 y + 14 y = − 12 x + 4 x + 36 + 49 − 4 − 1 ⇔

⇔ 16 y = − 8 x + 80 ⇔

⇔ y = − x + ⇔ y = − x +

Portanto,

y = − x + é a equação reduzida da reta r.

2.2. O centro da circunferência de diâmetro

[ ]

AD é M , ponto médio de

[ ]

AD.

( )

A 2 , − 1 ,

( )

D 6 , 7

( )

M

O raio da circunferência é:

( ) ( )

2 2

r = AM = 4 − 2 + 3 + 1 = 4 + 16 = 20

Equação da circunferência: ( ) ( )

2 2

x − 4 + y − 3 = 20

Como

y = − x + é a equação reduzida da reta s , o ponto E tem

coordenadas ( )

Substituindo na equação da circunferência: ( ) ( )

2 2

Dado que obtivemos uma proposição verdadeira, podemos concluir que o ponto E pertence a essa

circunferência.

A

B

D

M

C

s

x

y

O

E

r

o

2.3. Como

[ ]

ABCD é um paralelogramo, tem-se:

( )

DC = AB = 2 , − 6

C = D + DC = ( 6 , 7 ) + ( 2 , − 6 ) =( 8 , 1)

( ) A 2 , − 1 e ( )

C 8 , 1

= − = ( 8 , 1) − ( 2 , − 1 ) = ( 8 − 2 , 1 + 1 ) =( 6 , 2)

AC C A

Como AC

é um vetor diretor da reta AC , uma equação vetorial desta reta é:

( ) ( ) ( ) x , y = 2 , − 1 + k 6 , 2 , k ∈ ℝ

r y = − x + e ( )

C 8 , 1

= − × + ⇔ = − + ⇔ =

Como a proposição obtida é verdadeira, o ponto C pertence à reta r.

2.6. A mediatriz, r , do segmento de reta

[ ]

AD é perpendicular a

esse segmento no ponto médio, M. Assim, como o ponto C

também pertence a r , a altura do paralelogramo relativa ao

lado

[ ]

AD é

[ ]

MC , pelo que a área do paralelogramo

[ ]

ABCD é igual a AD × MC.

A ( 2 , − 1 ); D ( 6 , 7); M ( 4 , 3)e C ( 8 , 1)

( ) ( )

2 2 2 2

AD = 6 − 2 + 7 + 1 = 4 + 8 =

= 80 = 16 × 5 = 4 5

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

MC = 8 − 4 + 1 − 3 = 4 + − 2 =

paralelogramo

A = AD × MC = 4 5 × 2 5 = 8 × 5 = 40 u.a.

O

A

B

C

D

r

y

x

E

M

h