Baixe Introdução às Funções Vetoriais: Equações Paramétricas, Limites e Derivadas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Funções Vetoriais
Definição
Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja
imagem é um conjunto de vetores. A equação (t ) f( )t i g( )t j h( )tk
r r r r σ = + + é chamada de
equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de
equações paramétricas de C e pertencem a ℜ.
Limite de Funções Vetoriais
Seja σ( )t
r uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por
( )t f( )ti g( )t j h( )tk
r r r r σ = + +. Então, o limite de σ(t )
r quando t tende a t 1 será definido por:
lim( (t)) [limf(t)]i [limg(t)]j [limh(t)] k t t 1 t t 1 t t 1 t t 1
r r r^ r
→ → → →
σ = + + (1.1)
se limf(t) t→t 1
, limg(t) t→t 1
e limh(t) t→t 1
existirem.
Continuidade de Funções Vetoriais
A função σ( )t
r com valores vetoriais será contínua em t 1 se, e somente se, as três
condições seguintes forem satisfeitas:
i. σ( )t
r existe
ii. lim ( )t t t 1
σ
r
→
existe
iii. ( ) ( 1 ) t t 1
limσ t σt
r r
→
Derivada de funções vetoriais
Se σ( )t
r
for uma função com valores vetoriais, então a derivada de σ( )t
r também será
uma função com valores vetoriais, denotada σ'(^ t)
r e definida por:
t
(t t) (t ) ' (t) lim t (^0) Δ
σ Δ σ σ Δ
r r v + − = →
se o limite existir.
Propriedades da Derivada
Teorema: Sejam R( )t
r
e F( t)
r
funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜ
n , r um
escalar e f uma função real.
- (R F) R'(t) F'(t) dt
d r^ r r r ± = ±
- (rR(t)) rR'(t) dt
d r^ r
3. [ f( )t R( )t] f'( )t R( )t f( )t R'( )t
dt
d r^ r r = +
4. [R ( )t F( )t] R'( )t F( )t R( )t F'( )t
dt
d r^ r r r r r ⋅ = ⋅ + ⋅
1. [R ( )t F( )t] R'( )t F( )t R( )t F'( )t
dt
d r^ r r r r r × = × + ×
6. [^ ]^
dt
dft
d(ft)
dF(ft) F(f(t)) dt
d = ×
r r
Derivadas de Ordem Superior
σ' '(t)=(f''(t),g''(t),h''(t ))
r (1.3)
( t) (f (t),g (t),h (t ))
n n n n σ =
r (1.4)
σ ( )t
r é de classe C
1 , se σ
r ,
' σ
r forem contínuas e classe C
2 se σ
r ,
' σ
r e
'' σ
r forem contínuas e
assim sucessivamente.
Integral de funções vetoriais
A integral definida de uma função vetorial σ(t )
r pode ser definida da mesma forma que
para a função real, exceto que a integral resulta num vetor. Pode-se expressar a integral de σ
r
como a integral de suas funções componentes f, g e h como se segue:
( )tdt f( )t dti g( )t dt j h( )t dt k
b
a
b
a
b
a
b
a
r r r^ r
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫ ∫ ∫ ∫
σ (1.10)
Estende-se o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas como se
segue:
( )t dt r( )]t r( )b r( )a
b a
b
a
= = − ∫
σ
r (1.11)
onde r é uma primitiva de σ
r .
Cálculo de Áreas
Suponha que uma função vetorial seja definida pelas suas equações paramétricas x=f(t),
y=g(t). Sabe-se que a área sob o gráfico de uma função y =F(x) é dada por:
∫
=
b
a
A F(x)dx (1.12)
Para se calcular a área sob um gráfico de uma curva C definida por suas equações
paramétricas, faz-se mudança de variáveis na expressão (1.12) como a seguir:
x' ( )t dx x'( )tdt dt
dx = ⇒ = e y = F( x) =g( )t (1.13)
( ) ( ) ∫
=
β
α
A gtx't dt (1.14)
Comprimento de Arco
Seja C a curva com equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), com f ' e g' contínuas no
intervalo fechado [a,b]. Então, se L for o comprimento de arco da curva C entre os pontos
(f(a),g(a)) e (f(b),g(b)) então:
∫
= +
b
a
2 2 L (f'(t)) (g'(t)) dt (1.15)
Para a curva C tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), seja S o comprimento
de arco de C do ponto (f(to),g(to)) ao ponto (f(t),g(t)) e vamos supor que S seja crescente
enquanto t cresce. Então, S será uma função de t dada por:
S [f'(u)] [g'(u)] du
t
to
2 2 = (^) ∫ +
Do primeiro teorema fundamental do cálculo
2 2 [f'(t)] [g'(t)] dt
dS = + (1.17)
2 2 σ' (t) = [f'(t)] +[g'(t)]
r (1.18)
Logo,
dt
dS σ' (t)=
r (1.19)
Teorema: Seja C a curva com equação vetorial ( t ) f( )ti g( )t j
r r r σ = + , com f ' e g' contínuas no
intervalo fechado [a,b]. Então, o comprimento de arco de C, traçado pelo ponto final da
representação posicional de σ( )t
r quando t cresce de a até b, é determinado por:
∫
=
b
a
L σ'(t)dt
r (1.20)
Aplicações ao Movimento
Seja C a curva tendo equações paramétricas x=f(t) e y=g(t). Se uma partícula estiver se
movendo ao longo de C de tal forma que sua posição em qualquer instante t seja o ponto (x,y),
então a velocidade instantânea da partícula no instante t será determinada pelo vetor
velocidade dado por:
V ( )t f'( )ti g'( )t j
r (^) r r = + (1.21)
se f '( )t e g' ( )t existirem. Como a direção de σ'( t)
r
no ponto P(f(t),g(t)) é ao longo da reta
tangente à curva C no ponto P, o vetor velocidade V (t) tem o mesmo sentido σ'( )t
r
em P.
O módulo do vetor velocidade é uma medida da velocidade escalar da partícula no
instante t sendo dada por:
2 2 v( t)= V(t)= [f'(t)] +[g'(t)]
r (1.22)
A velocidade escalar é a taxa de variação de S em relação a t e escreve-se da seguinte
forma:
3) Considere o caminho regular ( t) ( 2 t,t ,lnt),t (0, )
2 γ = ∈ ∞
r
. Verifique que os pontos (2,1,0) e
(4,4,ln2) pertencem à trajetória de γ
r e calcule o comprimento de arco de γ
r entre estes pontos.
Solução:
[ ln ] ( 4 ln 2 ) ( 1 ln 1 ) 3 ln 2
Logoos pontos atraj.
2 1
2
2
1
2
1
2 2
1 2
2 2
2
1 2
2 2 4
1 2
2
2 2 2
2 2
t t
dt t
dt t t
t dt t
t
dt t
t t dt t
t
t
z t
y t t
x t
t dt x t y t z t dt
y y t t y y t t
x x t t x x t t
b
a
b
a
γ
γ
4) Prove que a aplicação , t ( 0 , 2 ) 2
t γ (t) 1 cost,sent, 2 sen ⎟ ∈ π ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = +
r é um caminho cuja a
trajetória está contida na interseção do cilindro C {( x,y,z) ;(x 1 ) y 1 ,z 0 }
3 2 2 = ∈ℜ − + = ≥ e
da esfera S {(^ x,y,z) ; x y z 4 }
3 2 2 2 = ∈ℜ + + =.
Solução:
t ( 0 , 2 ) 2
t z 2 sen 2
1 cost z 4
2
1 cost
4
z
4
2 2 cost
4
z
1 2 cost cos t sen t z 4
( 1 cost) sen t z 4
y sen t y sent
(x 1 ) cos t x 1 cost x 1 cost
(x 1 ) y 1 z 0 x y z 4
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
⎟ ⇒ = ∈ π ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ −
− ⇒ =
−
= ⇒ =
− = ⇒ − = ⇒ = +
− + = ≥ + + =
5) Calcule o limite (^) ⎟
⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
−
−
→
k t
tgt j t 1
t 1 lim t 3 i t 1 2
r r^ r
Solução:
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
⇒ → ⇒
→ =
= − ′
′ ⇒ → −
−
, tg 2
1 2,
k t 1 tg1k t
tgt
j 2
1 subst.quandot 1
2 t
1
(t 1 )
(t- 1 ) i t 1 AplicandoL`hopital t 1
t 1
t 3 i t 1 1 3 i 4 2
2 2
r r
r
r
r r
6) Dado f(t) (e sent, 3 t 2 )
3 t = − calcule f'(t )
Solução:
f'(t) (e ( 3 sent cost)i 3 j
f'(t) (e ( 3 sent cost), 3 )
x'(t) 3 e sent e cost y'(t) 3
x(t) e sent y(t) 3t- 2
f'(t) (x'(t),y'(t))
3 t
3 t
3 t 3 t
3 t
= + +
= +
= + =
= =
=
7) Encontre os pontos na curva onde a tangente é horizontal ou vertical, para x= t (t
2
y= 3 (t
2
Solução:
( )
0 dt
dy 0 dt
dx 0
dt
dy
dt
dx
pontos ondeatgéhorizontal: 0 , 9
p/t 0
x (t 3 t) y ( 3 t 9 )
6 t 0 t 0
0 dt
dx 0 dt
dy 0
dt
dx
dt
dy
0 atangenteévertical dy
dx 0 atangente éhorizontal. Se dx
dy Se
3 2
= ⇒ = ≠
−
=
= − = −
= ⇒ =
= ⇒ = ≠
= =
pontosondeatgévertical:( 2 , 6 )
p/t 1
3 t 3 0 t 1 t 1
2 2
± −
=±
− = ⇒ = ⇒ =±
Vetor Normal Principal
Se T( )t
r for o vetor tangente unitário da curva C no ponto P, então, o vetor normal
principal denotado por N( )t
r , será um vetor unitário na direção de D (^) t σ(t )
r .
T'(t )
T'(t) N( t) r
r r = (1.26)
Ilustração:
Será mostrado que a aceleração possui duas componentes: uma normal ao movimento
e uma tangencial.
Teorema: Considere uma partícula se movendo com vetor posição σ(t )
r
. Se
v( t)=σ'(t)≠ 0
r é a velocidade da partícula, então o vetor aceleração é dado por
A( t) v'(t)T(t) v(t)T'(t )
r r r = + (1.27)
Se '()
t
t Tt
r
r r = então:
( )
A(t) N( )t T'(t)v(t) v'(t)T(t)
A(t) ''(t) NtT'(t)v(t) v'(t)T(t)
A(t) ''(t) T'(t)v(t) T(t)v'(t)
'(t) T(t) '(t)
r r r r
r r r r r
r r r r
r r
= +
= = +
= = +
=
σ
σ
σ σ
Curvatura
A curvatura fornece a taxa de variação da direção de uma curva em relação à variação
de seu comprimento. A curvatura de uma curva é a medida da taxa de variação em relação ao
comprimento de arco, e não em relação ao parâmetro. Se s representa o comprimento de arco
de um certo ponto fixo, então a curvatura k é dada por:
t
T t
k
r
r
Demonstração:
Então,
dt
ds '() '()
2 2
t
T t
k
S x t y t dt t
t
T t
t
T t
ds
dt
dt
dT k
β
α
r
r
r
r
r
r
r r
∫
Quando a curva é plana como a mostrada na Figura 1 e tem equação cartesiana y = f(x), a
equação da curvatura se escreve da seguinte forma:
2
3 2
2
2
dx
dy
dx
d y
k x (1.31)
θ
F’(x)
x
y
Figura 1- Curva Plana
Demonstração:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] (^) [ ]
2
3 2
2
2
(^22)
2
2 2
1
se 1 '() 1 '( )
'( ) derivandoemrelaçãoax temos
∫
−
dx
dy
dx
d y
k x
f x f x
f x k x
f x dx
ds
s f x dx f x
f x
dx
d
tg f x
y f x tg f x
em 1 N(t)
1 4
N(t)
2 2
2
r r^ r r
r r
r
j t
t
i
t
t
T t
T t
t
T t
3) Dada a circunferência com raio a e equações paramétricas x = acost y=asent a> 0.
Ache o vetor curvatura e a curvatura em qualquer t.
Solução:
curvatura
k(t)
vetorcurvatura
cos ()
cos ; '()
'() cos '()
() cos
a
j a
sent i a
t kt
senti tj t
t T t
t asenti a tj t a
t a ti asentj
r r
r r
r
r r
r r r r
r r r
4) Uma partícula se move com velocidade constante de 10 unidades por segundo, no sentido
anti-horário, ao longo da elipse 1
4 9
2 2
x y
. Ache o vetor aceleração A
r no instante em que a
partícula passa pelo ponto (0,3).
Solução:
Derivando implicitamente em relação a x :
2 2
2
dx
dy
y
dx
dy y x
y
x
dx
dy
dx
x ydy
( )
logo
dx
d y Assim,quandox 0 ey 3 temos: 0 e
2
3 2
3 2
2
2
2
2
dx
dy
dx
d y
k
dx
dy
Portantonoponto(0,3),N (0,-1)edaí
apontaparabaixo(nadireçãodaconcavidadedaelipsenesteponto).
Quando(x,y) (0,3),ovetor tangenteTéhorizontal,demodoqueovetornormalprincipalN
2 2 = = = − = −
A kv N
r r
