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Texto sobre método simplex
Tipologia: Slides
1 / 32
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Cid C. de Souza
Instituto de Computac¸ ˜ao – UNICAMP
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.1/
1
2
CONVEXO NÃO CONVEXO
n
1
2
1
2
n
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.3/
(algébrica =⇒ geométrica)
Seja Gx ≤ g o subsistema linear de S com n desigualdades LI
satisfeitas na igualdade, ou seja,
Gx = g, G : n × n, ρ(G) = n.
Supor por contradição que x = αx
1
2 , x
1 6 = x
2 ∈ S.
Isso implica que Gx = αGx
1
2 = g.
Como α > 0 , 1 − α > 0 , Gx
1 ≤ g e Gx
2 ≤ g, Gx
1 = Gx
2 = g.
Uma vez que G é inversível, isso obriga que x = x 1 = x 2 .
Logo, x deve ser extremo.
x
x
x
d
d
x
x
x
x
x
POLIEDRO ILIMITADO
POLIEDRO LIMITADO
(POLITOPO)
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.7/
n
x =
2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x 1
x 2
. . .
...
0
. . .
0
3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
=
2
6 6 4
xB
...
xN
3
7 7 5
,
onde xB são as variáveis básicas e xN são as variáveis não básicas.
Ax = [B N ]
xB
xN
(^) = Bx B +^ N xN =^ b^ =⇒^ xB =^ B
− 1 b − B
− 1 N xN.
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.9/
x 1 + x 2 ≤ 6
x 2 ≤ 3
x 1 , x 2 ≥ 0
x 1 + x 2 + x 3 = 6
x 2 + x 4 = 3
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0
x
x
(0,3)
(3,3)
(0,0)
x1=
x2=
x4=
x3=
(6,0)
Teorema: Seja S = {x ∈ R
n : Ax = b, x ≥ 0 }. Então, x é um ponto
extremo de S se e somente se x é uma solução básica viável.
(básica =⇒ extremo)
Seja x uma solução básica e assuma por contradição que
x = αy + (1 − α)z, y, z ∈ S − {x} e α ∈ (0, 1).
x =
x
B
= α
y
B
ym+
. . .
yn
z
B
zm+
. . .
zn
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.13/
B
B
B
B
B
B
− 1
Ax =
2
4
B N
0 I
3
5
2
4
xB
xN
3
(^5) =
2
4
b
0
3
(^5).
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.15/
n
n
z = max x 1 + 2 x 2
2 x 1 + x 2 ≤ 4
x 1 + 3 x 2 ≤ 6
x 1 + x 2 ≤ 3
x 1 , x 2 , ≥ 0
z = max x 1 + 2 x 2
2 x 1 + x 2 + y 1 + + = 4
x 1 + 3 x 2 + y 2 + = 6
x 1 + x 2 + y 3 = 3
x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ≥ 0
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.19/
y1=
x1=
x2=
y3=
y2=
(0,0)
(0,2)
(2,0)
(6/5,8/5)
Primeira iteração: x 1 = x 2 = 0
variáveis básicas: y 1 , y 2 e y 3 :
z = x 1 + 2x 2
y 1 = 4 − 2 x 1 − x 2
y 2 = 6 − x 1 − 3 x 2
y 3 = 3 − x 1 − x 2
x 2 entra na base e y 2 sai da base
Segunda iteração: x 1 = 0, x 2 = 2
variáveis básicas: y 1 , x 2 e y 3 :
z = 4 +
1 3
x 1 −
2 3
y 2
y 1 = 2 −
5 3
x 1 +
1 3
y 2
x 2 = 2 −
1 3 x 1 −
1 3 y 2
y 3 = 1 −
2 3 x 1 +
1 3 y 2
x 1 entra na base e y 1 sai da base
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.21/
Terceira iteração: x 1 =
6 5 , x 2 =
8 5
variáveis básicas: x 1 , x 2 e y 3 :
z =
66 15
1 5 y 1 −
9 5 y 2
solução ótima! (cj < 0 , ∀j ∈ N )
penúltima iteração:
vértice degenerado (1,0)
x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 RHS
z 0
5 3
1 3 0 0 0 − 1
x 1 1 1 3
− 1 3
0 0 0 1
y 2 0
5 3 −
2 3 1 0 0 5
y 3 0 −
7 3
1 3 0 1 0 0
y 4 0 −
5 3
2 3 0 0 1 8
última iteração:
vértice degenerado (0,3)
problema ilimitado!
direção extrema: d =
2
4
1
2
3
5
x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 RHS
z 0 0
1 3 −
2 3 0 0 -
x 1 1 0 −
1 5 −
2 15 0 0 0
x 2 0 1 −
2 5
2 5 0 0 3
y 3 0 0 −
3 5
14 15 1 0 7
y 4 0 0 0
2 3
0 1 13
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.25/
Primal:
max z
∗ = cx
s.a Ax ≤ b
x ≥ 0
Dual:
min w
∗ = ub
s.a uA ≥ c
u ≥ 0
Exemplo:
max z = x 1 + x 2 + x 3
s.a x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 = 6
x 1 − x 2 ≤ 3
2 x 2 − x 3 ≥ 4
x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 ∈ R
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.27/
∗
∗
∗
∗
∗
∗
0 5
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.31/
Primal: Inviável
max z = x 1 − x 2
s.a x 1 + x 2 ≤ − 1
x 1 + x 2 ≥ 1
x 1 , x 2 ∈ R
Dual: Inviável
min w = −u 1 − u 2
s.a u 1 − u 2 = 1
u 1 − u 2 = − 1
u 1 , u 2 ≥ 0
max z
∗ = cx
s.a Ax + s = b
x ≥ 0 , s ≥ 0
min w
∗ = ub
s.a uA − t = c
u ≥ 0 , t ≥ 0
Teorema das Folgas Complementares: (x
∗ , s
∗ ) é uma solução ótima
de P e (u
∗ , t
∗ ) uma solução ótima de D se e somente se, para todo
j ∈ { 1 ,... , n}, x
∗ j t
∗ j = 0 e, para todo i ∈ { 1 ,... , m}, u
∗ i s
∗ i
Prova: (⇒) u ∗ é viável para D, logo u ∗ A − t ∗ = c.
Como x ∗ ≥ 0 , (u ∗ A − t ∗ )x ∗ = cx ∗ .
Reescrevendo chega-se a: u
∗ Ax
∗ − t
∗ x
∗ = cx
∗ .
Como x
∗ é viável para P , tem-se: u
∗ (b − s
∗ ) − t
∗ x
∗ = cx
∗ .
Pela dualidade forte, conclui-se que: u
∗ s
∗
∗ x
∗ = 0.
Como x
∗ , s
∗ , u
∗ , t
∗ ≥ 0 o resultado fica mostrado.
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.33/
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
′
′ | = |B
′
− 1
− 1
− 1
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.37/
bs (yr )s
Corolário: Seja B uma base não degenerada primal viável mas dual
inviável, i.e., existe xr não básica com custo reduzido
cr = cr − cB B
− 1 a•r = cr − cB yr > 0.
∗ → ∞ (primal ilimitado).
(r) de melhor custo.
Prova:
xr → ∞.
(r) , o custo será cB(r) xB(r) = z 0 + cr xr > z 0 = cB xB.
Cid de Souza – M ´etodo Simplex– p.39/
Passo 1: encontrar base primal viável B ( FASE 1 ).
Passo 2: se (cN − cB B
− 1 N ) ≤ 0 , PARE!
Retorne a solução ótima xB = B
− 1 b, xN = 0.
Se não (pricing) escolher r tal que cr = cr − cB B
− 1 a•r > 0.
Se yr = B
− 1 a•r ≤ 0 , PARE! Retorne “problema ilimitado”.
Se não, escolher s tal que (yr )s > 0 e
bs (yr )s
= min (yr )i> 0
bi
(yr )i
(⋆ s sai da base e r entra na base ⋆)
Executar troca de base (pivoteamento): B ← B r {B•s} ∪ {a•r}.
Voltar ao Passo 1.
Proposição: Não havendo soluções básicas degeneradas, o algoritmo
primal simplex temina em um número finito de passos.
