simplex, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Pesquisa OperacionalProf. Luciano Lessa Lorenzoni

Método Simplex

Prof. DSc. George Dantzig

Pesquisa OperacionalProf. Luciano Lessa Lorenzoni

Vimos que o

modelo de programação linear

reduz um

sistema real a um conjunto de equações (ou

inequações) onde pretendemos otimizar uma

fun fun

ç ç

ão ão

objetivo objetivo.

Como fazemos para resolver este problema?

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x

1

x

2

x

1

x

2

Sabemos que a solução ótima (desde de que exista) será encontrada

num ponto extremo do conjunto das soluções viáveis.

Solução Exata para os Modelos de PL

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Dificuldades:

O

número

de

pontos

extremos

(vértices)

é,

em

geral,

exponencialmente

proporcional ao número de variáveis.

Solução Exata para os Modelos de PL

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Solução:

Usar o algoritmo

simplex

simplex

que é...

Extremamente eficiente

para a resolução do

sistema

Adaptável

ao cálculo computacional

Solução Exata para os Modelos de PL

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Algoritmo Simplex Algoritmo Simplex

Este algoritmo foi uma das grandes

contribuições à Programação Matemática

ocorrida no século XX.

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A concepção geral do

Simplex Simplex

é a seguinte:

Iniciar numa solução básica viável do sistemas de equaçõesformado pelas restrições do PPL

Identificar novas soluções viáveis

melhores ou iguais

à

corrente

Identificar se uma dada solução viável é, ou não, umvértice ótimo

Fundamentos Teóricos do

Simplex

Simplex

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n

Otimizar [Max/Min] Q(X) =

c

j

.x

j

j=

sujeito a

n Σ

a

ij

.

x

j

d

i

i = 1, 2, ..., m

j=

x

j

j = 1, 2, ..., n

M = {1, 2, ... , m }, o conjunto dos índices das

restrições

N = {1, 2, ..., n }, conjunto dos índices das

variáveis

Formulação Algébrica Geral

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Padrão

Padrão

Canônica

Canônica

Matricial

Matricial

Todas as formulações são

equivalentes!

Formulações Equivalentes

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Otimizar

[MIN]

Q(X) = C.

X

sujeito a

A.

X

B,

B

X

Forma Padrão

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Opera Opera

ç ç

ão

ão

Transformação

de

termo

independente

negativo

b

i

≤ ≤

0 0

Operações Elementares Basta multiplicar toda a restrição por –1.

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Opera Opera

ç ç

ão

ão

Transformação

de

desigualdades

em

igualdades (e vice-versa) x

1

+ x

2

+ ... + x

n

≤

≤

b

(inequação original)

x

1

+ x

2

+ ... + x

n

x

n+

b

Variável de folga

Operações Elementares

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Opera Opera

ç ç

ão 5 ão 5: Transformação de uma variável livre em

variável não-negativa, ou seja, uma variável é substituídapor

duas variáveis auxiliares

, ambas positivas

x

n

= x

n

´´

• x

n

´

X

n

´´

0 , x

n

´

Operações Elementares

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Opera Opera

ç ç

ão 6 ão 6: Transformação de uma variável negativa em

variável não-negativa, ou seja, uma variável é substituídapor

uma auxiliar

, positiva

x

n

= – x

n

´

x

n

´

Operações Elementares