Interpolação Polinomial e Métodos Numéricos: Exercícios Resolvidos, Notas de estudo de Métodos Matemáticos

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Maputo, Julho de 2015

MANUAL DA DISCIPLINA DE

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1 – CÁLCULO COM NUMÉROS APROXIMADOS

1.1 NOÇÃO DE ERRO

Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrónicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados obtidos através de um método numérico representa uma etapa fundamental no processo das soluções numéricas.

FONTES DE ERROS

Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário realizar uma sequência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo. Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a formulação matemática do problema (relacionadosa aproximação da situação física e a erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de solução numérica (erros de truncamento e de arredondamento). Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito.

Erros também podem surgir pelo facto que as operações aritméticas quase nunca podem ser efectuadas com precisão completa; estes são denominados de erros de arredondamento. A maioria dos números tem representações decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema podem ser expressos exactamente por representações decimais finitas, a divisão pode introduzir números que devem ser arredondados e a multiplicação pode produzir mais dígitos do que podem ser razoavelmente mantidos. Os tipos de arredondamento mais utilizados são:

ERRO RELATIVO

Erro relativo é determinado pela divisão do erro absoluto de um número pelo seu valor aproximado:

_

_

x

x x Rx

1.3 COMPARAÇÃO DE EXACTIDÃO

Diz-se que a aproximação efectuada em relação a x é mais exacta que a de y se e somente se R (^) x < Ry

1.4 PROPAGAÇÃO DE ERROS

Sabendo que _ x é um valor aproximado de x. Como determinar y = f ( x )? Será

que ( ) _ _ y = f x é uma boa aproximação?

---

∆ y = y − y = f x − f x = f x +∆ x − f x

Com base nesta premissa, pode-se constatar que o Majorante do erro

absoluto da aproximação _ y de y é:

∆ y ≤ fx ´ (^) max*∆ x

Aplicando o resultado acima, para funções de várias variáveis, obteremos a fórmula abaixo que se designa por Fórmula Fundamental de Cálculo de Erros:

∆ f ≤ fx ´ 1 * ∆ x 1 + fx ´ 2 *∆ x 2 +...+ fx ´ n *∆ x n

CAPÍTULO 2 – INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO POLINOMIAL

2.1 INTRODUÇÃO

Interpolação é o processo de estimar valores de uma função f para valores de x diferentes de x (^) i , para i = 0 ,..., n , sabendo-se apenas os valores de f ( x )nos pontos x (^) 0 , x 1 ,..., x n. A interpolação ajuda-nos a responder problemas do tipo:

Qual é o valor de f ( xi )para x 1 (^) < xi < x 2 , dado que:

x (^) x (^) 0 x 1 x (^) 2 ….. (^) xn

f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) …... (^) f ( xn )

• Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x).
• g(x) é escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaçam algumas propriedades.
• A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).

A necessidade de se efectuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo:

• Quando são conhecidos somente valores numéricos da função por um conjunto de pontos (não dispondo da sua forma analítica) e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado (exemplo anterior);
• Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis ou impossíveis de serem realizadas. Neste caso, podemos então procurar uma outra função que seja aproximada a função dada e cujo o manuseio seja mais bem simples.

As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Neste capítulo, será considerado apenas o estudo das funções polinomiais.

2.2 DEFINIÇÃO DO POLINÓMIO INTERPOLADOR

A interpolação polinomial é de grande interesse do ponto de vista teórico e prático em áreas como teoria da aproximação, equações não lineares, integração e derivação numéricas e solução numérica de equações diferenciais e integrais.

Dada uma função f ( x )conhecida em n pontos ( x (^) i , f ( xi )), i = 0 ,..., n , o objectivo da

interpolação polinomial consiste em determinar o polinómio de grau ≤ n ,

p (^) n ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x^2 +...+ anx^ n ,

Que coincide com f ( x )naqueles pontos, isto é, p (^) n ( x )= f ( xi )= fi , ∀ i = 0 ,..., n

Exemplo:

Determinar o polinómio interpolador que aproxima f ( x )dada na tabela seguinte:

Neste caso, procuramos o polinómio pn ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x^2 que satisfaz a igualdade p (^) n ( x )= f ( xi )= f i , para i = 0 , 1 , 2. Ora:

Consequentemente, o nosso polinómio interpolador é p (^) 2 ( x )= 3 − x^2

Passo 1: Procuramos p 2 (^) ( x )= a 0 + a 1 x + a 2 x^2 , tal que:

Passo 2: Determinar os polinómios

Passo 3: Aplicar a fórmula:

O valor do polinómio no ponto x = 3 é:

2.4 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON

2.4.1 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

De acordo com o teorema da unicidade do polinómio interpolador, toda interpolação de n pontos por um polinómio de grau n-1 é única e pode ser obtida pelo método de Lagrange. No entanto, existem outras maneiras de construir o polinómio p(x) que podem ser mais convenientes. Uma dessas maneiras é a interpolação de Newton, que permite a inserção de pontos adicionais de maneira simples e menos susceptível à deterioração por erros de arredondamento. O método consiste em determinar o seguinte polinómio:

Por construção, o valor de p calculado em x =x 0 é

p(x 0 ) = a 0

Além disso, como p(x) é o polinómio interpolador, p(x 0 ) = f 0 , portanto,

a 0 = f(x 0 )

Da mesma forma,

ou seja,

e assim por diante, os coeficientes são determinados recursivamente e o k-ésimo coeficiente é determinado em função dos pontos de interpolação e dos coeficientes anteriores pela expressão

Exemplo:

Seja dada a seguinte função tabelada:

Determine o polinómio interpolador de Newton recorrendo as diferenças divididas.

Resolução:

1. Construir a tabela de diferenças divididas
2. Aplicar a fórmula de Newton

2.4.2 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS FINITAS

Designa-se diferença finita descendente de primeira ordem de f ( x ) , para x = xi , à seguinte quantidade:

De um modo geral, as diferenças descendentes de ordem k de f ( x ) , define-se por:

As mesmas podem ser representadas em tabela, da seguinte forma:

Quando os nós da interpolação x 0 , x 1 , x 2 ,..., xn são igualmente espaçados, pode-se usar uma relação de modo a simplificar o polinómio interpolador. Tendo como base: x = x 0 + q * h , então

Onde:

Surge a fórmula interpoladora de Gregory – Newton:

Onde x (^) ND é a marca da interpolação e é determinado escolhendo entre os xi o máximo inferior a x.

2.6 EXERCICIOS

1. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f ∈ C (ℜ):

Determine o polinómio interpolador de f

2. Seja dada a função tabelada:

a) Determine o polinómio interpolador de Lagrange. b) Determine f ( 3. 5 )

3. Use o polinómio interpolador de Lagrange para determinar f ( 8. 4 )se f ( 8. 1 )= 16. 94410 , f ( 8. 3 )= 17. 56492 , f ( 8. 6 )= 18. 505115 e f ( 8. 7 )= 18. 82091
4. Determine o polinómio que interpola os seguintes valores:
5. Conhecem-se as coordenadas de cinco pontos de uma curva plana que repre- senta uma região de uma peça em corte. Determine o polinómio de Lagrange de grau 4 que interpola a referida curva sabendo que os pontos de coordenadas conhecidas são: P 1 (^) =( 1 , 2 ), P 2 (^) =( 2 , 1 ), P 3 (^) =( 3 , 1 ), P 4 (^) =( 4 ; 2 , 5 )e P 5 =( 5 ; 4 ) Determine ainda valores aproximados para as ordenadas dos pontos cujas abcissas são 0, 2,5 e 6.

6. Considere a tabela de valores da função f definida por f ( x )= lg x , para x>0:

a) Construa a tabela de diferenças divididas. b) Determine lg( 2. 05 )utilizando o polinómio de Newton.

7. Sabendo que sen ( 0 )= 0 , sen ( π 4 )=^22 e sen ( π 2 )= 1 , determine usando a formula

de interpolação de Newton o valor de sen (^ π 3 ).

8. São dados os seguintes pontos onde x é a variável independente e y é dependente X 1.0 1.5 2.0 2.5 3. Y 66 52 18 11 10

Pede-se para determinar f(2.2) recorrendo a interpolação de newton com diferenças finitas.

9. Um paraquedista realizou cinco saltos, saltando de alturas distintas em cada salto, foi testada a precisão de seus saltos em relação a um determinado alvo de raio 5 m, de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa à circunferência. Altura (m) 1º salto de 1500

2º salto de 1250

3º salto de 1000

4º salto de 750

5º salto de 500

Distância do alvo (m)

35 25 15 10 7

Levando em consideração os dados acima, a que provável distancia cairia o paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850 m?

De igual modo, recorrendo à série de Taylor tendo como base a diferença em atraso ou descendente, temos:

( ) ( ) '( ) 2 "( ) 6 "´( ).....

2 3 f x − h = f x − hf x + h f x − h f x

Resolvendo a expresão acima em ordem de f ´( x ), obtêm-se:

f ' ( x ) = f ( x )− hf ( x^ −^ h )+ O ( h ) Fórmula da derivada comdiferença descendente ou atraso

Fórmulas com diferentes ordens de aproximação podem ser obtidas. A mais importante é a de segunda ordem ou centrada. Por expansões em série de Taylor em torno do ponto x resultam:

Empregando o mesmo princípio, para as derivadas de ordem superior resulta:

Exemplo:

Seja dada a função tabelada abaixo:

Determine f ´( 1. 4 ).

Resolução: