Exercícios de Matrizes: Aplicações em Modelos Econômicos, Exercícios de Cálculo

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Ana Clara da Silva Sophia dos Santos Rodrigues TRABALHO DE MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA II Prof.Dr.: Pierre Joseph Nelcide Cascavel –PR 2023

1 - Escreva o modelo de mercado a seguir:

Qd = Qs Qd = a − bP Qs =− c + dP (𝑎,𝑏>0), (𝑐,𝑑>0) No formato (4.1) e demonstre que, se as três variáveis forem dispostas na ordem Qd, Qs e P, a matriz de coeficientes será: A = [

b − d ] Como você escreveria o vetor de constantes?

Qd − Qs + 0 P = 0 Qd + 0 Qs + bP = a 0 Qd + Qs − dP =− c [

b − d ]^ [ Qd Qs P ]^

[

a − c ] 2 - Escreva o modelo de mercado (com duas mercadorias) a seguir: 𝑄𝑑1 - 𝑄𝑠1 = 0 𝑄𝑑1 = 𝑎𝑜 + 𝑎 1 𝑃1 + 𝑎 2 𝑃 2 𝑄𝑠1 = 𝑏𝑜 + 𝑏 1 𝑃1 + 𝑏 2 𝑃 2 β 𝑄𝑑2 - 𝑄𝑠2 = 0 𝑄𝑑2 = 𝛼𝑜 + 𝛼 1 𝑃1 + 𝛼 2 𝑃 2 𝑄𝑠2 = 𝛽𝑜 + 𝛽 1 𝑃1 + 𝛽 2 𝑃 2 No formato (4.1) com as variáveis colocadas na seguinte ordem: Q𝑑1, 𝑄𝑠1, 𝑄𝑑2, 𝑄𝑠2, 𝑃1, 𝑃2. Escreva a matriz de coeficientes, o vetor de variáveis e o vetor de constantes. { Qd 1 − Qs 1 + 0 Qd 2 + 0 Qs 2 + 0 P 1 + 0 P 2 = 0 Qd 1 + 0 Qs 1 + 0 Qd 2 + 0 Qs 2 − a 1 P 1 − a 2 P 2 = a 0 0 Qd 1 + Qs 1 + 0 Qd 2 + 0 Qs 2 − b 1 P 1 − b 2 P 2 = b 0 0 Qd 1 + 0 Qs 1 + Qd 2 − Qs 2 + 0 P 1 + 0 P 2 = 0 0 Qd 1 + 0 Qs 1 + Qd 2 + 0 Qs 2 − ∝ 1 P 1 − ∝ 2 P 2 = ∝ 0 0 Qd 1 + 0 Qs 1 + 0 Qd 2 + Qs 2 − β 1 P 1 − β 2 P 2 = β 0

b) 𝐶 – 𝐴 [

6 1 ]

[

6 9 ]

[

0 − 8 ]

c) 3𝐴 3 [

6 9 ]

[

18 27 ]

d) 4𝐵 + 2𝐶 4 [

3 − 2 ]

[

6 1 ]

[

12 − 8 ]

[

12 2 ]

[

24 − 6 ]

7 – Dados A = [

5 1 ]

, B = [

3 8 ]

, C = [

6 3 ]

a) AB é definido? Calcule AB. É possível calcular BA? Por quê? AB é definido, porque as colunas de são iguais as linhas de B, possibilitando que a regra da multiplicação de matrizes, dê certo. [

5 1 ]

∙ [

3 8 ]

[

13 8 ]

. Já BA não é definido, porque falha na regra da multiplicação de matrizes, visto que, as colunas de B não são iguais linhas de A. b) BC é definido? Calcule BC. CB é definido? Se for, calcule CB. É verdade que BC =

CB? BC é sim definido. [

3 8 ]

[

6 3 ]

[

69 30 ]

CB é definido, mas BC ≠^ CB^ |

8 - Tendo como base as matrizes dadas no Exemplo 9, o produto BA é definido? Se for, calcule o produto. Nesse caso, temos AB = BA? BA não é definido. 9 - Calcule as matrizes produtos nos seguintes casos (em cada caso, acrescente um indicador de dimensão embaixo de cada matriz): a) [

0 ]

[

3 5 ]^

[

16 3 ] 3 x 2

b) [

1 0 4 ][

0 1 ]^

= [

4 3 ] 2 x 2

c) [

4 2 − 7 ][ x y z ]^

= [

3 x + 5 y + 0 z

4 x + 2 y − 7 z ] 2 x 1

d) [^ a^ b^ c^ ]^

[

1 4 ]

= [^7 a +^0 b +^ c^^0 a +^2 b +^4 c^ ] 1 x 2

10 – Dados A = [

2 4 ]^

B = [

8 4 ]^

e C = [

1 9 ]^

verifique se: a) (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

(A + B) = [

10 8 ]^

+ C = [

11 17 ]

A + (B + C) = [

9 13 ]^

= [

11 17 ]

É igual. b) (𝐴 + 𝐵) − 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 − 𝐶)

(𝐴 + 𝐵) = [

10 8 ]^

• C = (^) [

9 − 1 ]

𝐴 + (𝐵 − 𝐶) = [

7 − 5 ]^

= [

9 − 1 ]

É igual 11 - A subtração de uma matriz B pode ser considerada como a adição da matriz (−1) 𝐵. A lei comutativa da adição nos permite afirmar que 𝐴 – 𝐵 = 𝐵 − 𝐴? Se a resposta for negativa, como você corrigiria essa afirmação? Não, pois a lei só funciona se for adição: a + b = b + a. Quando é subtração o sinal muda e não fica igual. 12 - Teste a lei associativa da multiplicação para as seguintes matrizes:

A = [

0 5 ]^

B = [

1 3 2 ]^

e C = [

7 1 ] (ab)c = a(bc) (ab)c (ab) = (^) [

3_._ (− 8 ) + 5_._ 1 3_._ 0 + 5_._ 3 3_._ 7 + 5_._ 2 ]^

= [

− 24 + 5 0 + 15 21 + 10 ]^

[

− 19 15 31 ]

14 – Dados A = [

0 − 2 4 ]^

B =

[

0 ]^ e x = [ x 1 x 2 ] a) Calcule: (𝑎) 𝐴𝐼 (𝑏) 𝐼𝐴 (𝑐) 𝐼𝑥 (𝑑) 𝑥′𝐼 Indique a dimensão da matriz identidade usada em cada caso. b) Calcule: (𝑎) 𝐴𝑏 (𝑏) 𝐴𝐼𝑏 (𝑐) 𝑥′𝐼𝐴 (𝑑) 𝑥′𝐴 A inserção de I em (b) afeta o resultado em (a)? A exclusão de I em (d) afeta o resultado em (c)? c) Qual é a dimensão da matriz nula resultante de cada um dos seguintes? i. Pré-multiplicar A por uma matriz nula 5 x 2. ii. Pós-multiplicar A por uma matriz nula 3 x 6. iii. Pré-multiplicar b por uma matriz nula 2 x 3. iv. Pós-multiplicar x por uma matriz nula 1 x 5.

15 – Dados A = [

− 1 3 ]

, B =

[

0 1 ]

e C =¿

[

6 1 1 ]

, ache A’, B’ e C’

A’ = [

4 3 ]^

B’ = [

− 8 1 ]^

C’ =

[

9 1 ] 16- Use as matrizes dadas no Problema 15 para verificar que:

a) (A + B)' = A' + B' =[

− 4 4 ]

b) (AC)' = C' A' 17 - Dadas as quatro matrizes seguintes, teste se qualquer uma delas é a inversa de uma outra:

D = [

1 3 ]

E = [

6 8 ]

F =

[

3 ]

G =

[

]