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MINI-PROVA 1
Linguagens Regulares
Escolha duas das três questões a seguir:
Questão 1. [0,8] Seja Σ = {a, b} um alfabeto e, para cada k ≥ 1 , seja Ak = {w ∈ {Σ}∗| w = bxayb, com x e y ∈ Σ∗^ e |y| ≤ k − 3 }. Descreva ou com um diagrama ou formalmente a classe de AFDs MAk com no máximo k + 2 estados que reconheça Ak.
Resposta. Diagrama Possível:
q 0 q 2 q 3 q 4 qk qk + 1
q 1
b a b (^) q 5 b
a b a
b a a
b ... b
a a
b
Descrição Formal Equivalente:
Seja MAk = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) tal que: Q = {q 0 ,... , qk+1} é o conjunto de estados de MAk ; Σ = {a, b}, é o alfabeto decifrável por MAk ; q 0 o estado inicial de MAk ; δ : Q × Σ → Q, tal que: δ(q 0 , a) = q 1 , onde q 1 funciona como um "estado morto"; δ(q 0 , b) = q 2 , que faz a leitura do primeiro b; δ(q 2 , a) = q 3 , que faz a leitura do primeiro a dos últimos estados k − 1 ; δ(q 2 , b) = q 2 , que espera pela aparição do primeiro a dos últimos k − 1 estados; δ(qi, b) = qj , para 3 ≤ i ≤ k e j = i + 1, que faz a contagem do tamanho de y; δ(qi, a) = q 3 , para 3 ≤ i ≤ k + 1; e δ(qk+1i, b) = q 2 , para retorno da contagem da subcadeia ayb.
Questão 2. [0,8] De nimos a operação binária encaixa-em para duas Linguagens L 1 e L 2 da seguinte maneira: L 2 encaixa-em L 1 = {w ∈ Σ∗| w = xyz ∈ L 1 , com x, y e z ∈ Σ∗^ e y ∈ L 2 }, ou seja, o conjunto de todas as palavras em L 1 que tem como subcadeia alguma palavra em L 2. Prove que a classe de linguagens regulares é fechada sob a operação encaixa-em.
Resposta 2.
Prova 1: Sejam: ML 1 = (Q 1 , Σ 1 , δ 1 , q 10 , F 1 ) um AFD que reconhece L 1 e ML 2 = (Q 2 , Σ 2 , δ 2 , q 20 , F 2 ) um AFD que reconhece L 2. Construímos um AFN N = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) que reconhece L 2 encaixa-em L 1 da seguinte forma: Q = Q 1 ∪ Q 2 ; Σ = Σ 1 ∪ Σ 2 ; q 0 = q 10 ; δ : Q × Σ → P(Q), tal que: Para cada δ 1 (q 1 p, a) = q 1 q, faça q 1 q ∈ δ(q 1 p, a). Para cada transição em δ 1 do tipo δ 1 (q 1 k, a) = q 1 l, faça em zigue-zague com que para cada δ 2 do tipo δ 2 (q 20 , a) = q 2 l, com a ∈ Σ, seja q 20 ∈ δ(q 2 l, ), q 2 l ∈ δ(q 20 , ) e q 2 m ∈ δ(q 1 k, ), e segue o procedimento, a partir de q 1 l para q 2 m, etc. Até chegar em algum estado de aceitação de F 1. seja q 1 f ∈ F , para cada q 1 f ∈ F 1 alcançável por alguma transição na construção acima que passe por algum q 2 f ∈ F 2.
Prova 2: Sejam: ML 1 = (Q 1 , Σ 1 , δ 1 , q 10 , F 1 ) um AFD que reconhece L 1 e ML 2 = (Q 2 , Σ 2 , δ 2 , q 20 , F 2 ) um AFD que reconhece L 2. MΣ∗^ = ({q∗}, Σ 1 ∪ Σ 2 , δ∗(q∗, Σ) = q∗, q∗, {q∗}) um AFD que reconhece Σ∗. Construímos um AFN N que reconhece L 2 encaixa-em L 1 = (Σ∗^ ◦ L 2 ◦ Σ∗) ∩ L 1 como: Primeiro, seja M ′^ = (Q′, Σ 1 ∪ Σ 2 , δ′, q 0 ′, F ′) a AFN que reconhece Σ∗^ ◦ L 2 ◦ Σ∗. Insira transições vazias entre os estados nais de M∗ aos iniciais de ML 2 , e transições vazias dos estados nais de ML 2 para os iniciais de um novo M∗. Segundo, faça a interseção de L 1 com Σ∗^ ◦ L 2 ◦ Σ∗^ da seguinte forma: Q = Q 1 × Q′; Σ = Σ 1 ∪ Σ 2 ; q 0 = (q 10 , q′ 0 ); δ : Q × Σ → P(Q), tal que: ((δ 1 (q 1 k, a)), (δ′(q l′, a))) ∈ δ((q 1 k, q′ l), a), para cada a ∈ Σ e cada (q 1 k, q′ l) ∈ Q. F = {(q 1 f , q′ f ) | q 1 k ∈ F 1 e q f′ ∈ F ′}
Prova 3: Sejam: ML 1 = (Q 1 , Σ 1 , δ 1 , q 10 , F 1 ) um AFD que reconhece L 1 e ML 2 = (Q 2 , Σ 2 , δ 2 , q 20 , F 2 ) um AFD que reconhece L 2. Construímos um AFN N = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) que reconhece L 2 encaixa-em L 1 da seguinte forma: Q = Q 1 × Q 2 ; Σ = Σ 1 ∪ Σ 2 ; q 0 = (q 10 , q 20 ); δ : Q × Σ → P(Q), tal que: para cada δ 1 (q 1 i, a) = q 1 j , faça (q 1 j , q 20 ) ∈ δ((q 1 i, q 20 ), a); a partir de cada δ(q 1 k, q 20 ), faça (δ 1 (q 1 k, a), δ 2 (q 2 l, a)) ∈ δ((q 1 k, q 2 l), a), com a ∈ Σ; Faça (q 1 f , q 2 k) ∈ F , para cada q 1 f ∈ F 1 e qualquer q 2 k alcançável por transições que passem por algum (q 1 l, q 2 f ) com q 2 f ∈ F 2
