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Mini-prova 7 Informatica Teorica, Provas de Autômatos e Teoria da Complexidade

Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)Autômatos e Teoria da Complexidade

Mini-prova 7 Informatica Teorica

Tipologia: Provas

2021

Compartilhado em 02/03/2021

rene_leitepi
rene_leitepi 🇧🇷

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bg1
Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)
Centro de Informática (CIn) - Graduação em Engenharia da Computação
Informática Teórica (IF689)
Semestre de 2020.3 - Mini-Prova 6 - 23 de Outubro de 2020
Redutibilidade e Complexidade de Tempo
Escolha duas das três questões abaixo. Lembrando que o teto do valor dessa avaliação é
1,5, e consideramos apenas as duas questões mais bem pontuadas.
1) [0,8] Prove ou refute as seguintes afirmações.
a) [0,2] . A ≤ B)A LC )B LC) ( m⋀(∈L→ ( ∈L
CONTRA-EXEMPLO:
Seja , sabidamente e , sabidamente wA =wRLCL wB =w LLC
Sobre a entrada xMB= " :
1. e x w,aceite. Rejeite,cc."S=w
Sobre a entrada xF = " :
2. e x w ,apague a fita e escrev a ww.S=wR
3. e x=w,apague a f ita e escreva 10." S/wR
Sobre a entrada xM A= " :
1. ompute f(x).C
2. ode a decisora M sobre f(x), dando como resposta o que ela der."RB
b) [0,3] . A ≤ 0 1 ) A D) ( m
n n → ( ∈L
PROVA:
Sabidamente é , então se e é , então, pelo teorema, é . 10n n DL ≤ 0 1A m
n n 10n n DL A DL
Provar a volta é simples. Se temos que é , existe uma que decide A. A DL MA
Construímos uma máquina alternativa que é uma redução de para , para a qual, M′A A 1B= 0n n
sabemos que existe uma decisora . MB
Sobre a entrada x M′A= " :
1. ompute f(x).C
2. ode a decisora M sobre f(x), dando como resposta o q ue ela der."RB
Sobre a entrada xF = " :
1. e M aceita x,retorne 0 1 .SA ∣x∣ ∣x∣
2. e M rejeita x,retorne 10."SA
pf3

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Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Centro de Informática (CIn) - Graduação em Engenharia da Computação

Informática Teórica (IF689) Semestre de 2020.3 - Mini-Prova 6 - 23 de Outubro de 2020

Redutibilidade e Complexidade de Tempo

Escolha duas das três questões abaixo. Lembrando que o teto do valor dessa avaliação é 1,5, e consideramos apenas as duas questões mais bem pontuadas.

1) [0,8] Prove ou refute as seguintes afirmações. a) [0,2] (A ≤ (^) m B) ⋀ (A ∈ LLC ) → (B ∈ LLC).

CONTRA-EXEMPLO:

Seja A = ww R^ , sabidamente LLC e B = ww , sabidamenteLLC M (^) B = " Sobre a entrada x:

  1. S e x = ww, aceite. Rejeite, cc." F = " Sobre a entrada x:
  2. S e x = ww R, apague a f ita e escreva ww.

3. S e x =/ w w R, apague a f ita e escreva 10."

M (^) A = " Sobre a entrada x:

  1. Compute f (x).
  2. Rode a decisora M (^) Bsobre f (x), dando como resposta o que ela der."

b) [0,3] (A ≤ (^) m0 1 )n^ n^ → (A ∈ LD).

PROVA: Sabidamente 0 n 1 n^ é LD , então se A ≤ (^) m0 1n^ n^ e 0 n^1 n^ é LD , então, pelo teorema, A é LD.

Provar a volta é simples. Se temos que A é LD , existe uma M (^) A que decide A. Construímos uma máquina alternativa M ′A que é uma redução de A para B = 0n^1 n, para a qual,

sabemos que existe uma decisora M (^) B. M ′A = " Sobre a entrada x:

  1. Compute f (x).
  2. Rode a decisora M (^) Bsobre f (x), dando como resposta o que ela der." F = " Sobre a entrada x:
  3. S e M (^) Aaceita x, retorne 0 ∣x∣^1 ∣x∣.
  4. S e M (^) Arejeita x, retorne 10."

c) [0,3] (( A ≤ m A) ⋀ (A ∈/ LD )) → (( A ∈/ LT R ) ⋀ (A ∈/ LT R)).

PROVA:

1. A ≤ (^) mA[HIPÓTESE].

2. A ∈/ LD[HIPÓTESE].

3. Se 1, então A ≤ (^) m A, pela definição de ≤ (^) m.

4. Se 3 e 2, então A ∈/ LD , pelo corolário 5 .23.

5. A ∈ LT R[HIPÓTESE].

6. Se 3 e 5, então A ∈ LT R. 7. Se 5 e 6, pelo teorema, A ∈ LD. 8. Se 2 e 7, temos um absurdo ⊥.

9. Se 5 implica em 8, temos uma contradição, logo, A ∈/ LT R.

10. Se 3 e 9, então A ∈/ LT R , pelo corolário 5 .30.

Assim fica provado que tanto A ∈/ LT R quanto A ∈/ LT R.

2) [0,8] Prove cada uma dos afirmativas a seguir. a) [0,3] QU AD = {< G > ∣ G é um graf o que contém um quadrado }∈ P.

M (^) QU AD = " Sobre a entrada < G >, onde G é uma codif icação de graf o:

  1. S ejam todas as n^ (^ n^ −1) (^ 4 3 2 1 * **^ n^ −2) (^ *^ n^ −3)^ combinações de 4 vértides de G, e para cada uma:
  2. Verif ique se existem aresta entre todos os vértices. Se sim, aceite.
  3. Rejeite, cc." O primeiro estágio tem O( n^ (^ n^ −1) (^ 4 3 2 1 * **^ n^ −2) (^ *^ n^ −3))loopings, o que é polinomial. O segundo estágio

está dentro do looping do primeiro, mas não é mais que polinomial, o que faz do total, polinomial.

b) [0.2] SAT = {< ϕ > ∣ ϕ é uma f órmula satisf atível da lógica proposicional } ∈ NP.

N (^) SAT = " Sobre a entrada < φ >, onde φ é uma f órmula da lógica proposicional:

  1. N ão (^) − deterministacamente, busque um ramo c de valoração que satisf aça ϕ.
  2. Verif ique se c satisf az φ. Se sim, aceite. Rejeite, cc. ou V (^) SAT = " Sobre a entrada < φ, c >, onde φ é uma f órmula P ROP e c um certif icado:
  3. Verif ique se c é uma valoração para a f órmula c. Rejeite, caso não seja.
  4. T este c para ver se satisf az φ. Se sim, aceite. Rejeite, cc"

c) [0,3] SU BG = {< G 1 , G 2 > ∣ G 1 é subgraf o de G 2 } ∈ NP.

N (^) SU BG = " Sobre a entrada < G 1 , G 2 >, onde G 1 e G 2 são graf os:

  1. V eja se todos os nós e arestas em G 2 estão em G 1.
  2. Se sim, aceite. Rejeite, cc." O que quer dizer também que S U BG ∈ P