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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Introdução Estamos familiarizados com funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f (x) = x 2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f (2) = 4. Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T. Por exemplo, se T é uma transformação do F 0C 2 3 para o F 0C 2 2
definida pela equação: T(x (^) 1, x2, x3) = (x^1 + x2, x2 + x3) Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).
Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V F 0A E W é chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar F 06 1 ,
- T(x + y) = T(x) + T(y)
- T(F 06 1 x) = F 06 1 T(x)
Uma transformação linear T: V F 0A E W preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores. Usando-se as duas propriedades simultaneamente chegamos a uma terceira propriedade:
Sejam v 1 e v 2 vetores em V e F 06 1 1 e F 06 1 2 dois escalares, então: T(F 06 1 1v1 +^ F 06 1 2v2) = T(F 06 1 1v1) + T(F 06 1 2v2) =^ F 06 1 1 T(v^ 1) +^ F 06 1 2 T(v2) Diz-se que uma transformação linear satisfaz o princípio da superposição, que é essa terceira propriedade. Mas o princípio da superposição pode ser aplicado a n vetores em V e n escalares. Ora, mas isso é uma combinação linear. Logo, T preserva combinações lineares.
Exemplo 1: V =R e W = R F : R F 0A E R u F 0A E F 06 1 u ou F(u) = F 06 1 u
- F(u + v) = F 06 1 (u + v) = F 06 1 u + F 06 1 v = F(u) + F(v).
- F(ku) = F 06 1 (ku) = kF 06 1 u = kF(u). Então F é uma transformação linear.
Exemplo 2: Seja T a transformação dada por T(x,y)= (x-y, x+y). T é linear?
Exemplo 3: F(u) = u 2 é uma transformação linear? Não, pois F(u + v) = (u + v) 2 = u 2 + 2vu + v^2 = F(u) + 2vu + F(v) F 0B 9 F(u) + F(v).
Exemplo 4: L: F 0C 2 2 F 0A E F 0C 2 , L(v) = L(x,y) = 2x + 4 é uma transformação linear? Sejam u = (u (^) 1, u2) e v = (v1, v2)
- L(u + v) = L(u 1 + v1, u2 + v2) = 2 (u 1 + v1) + 4
- L(u + v) = 2u 1 + 2v 1 + 4 F 0B 9 L(u) + L(v). Portanto L não é uma transformação linear.
Exemplo 5: Seja D : P (^) n F 0A E P (^) n, onde P (^) n é um polinômio e D é a
aplicação derivada. Pelas propriedades das derivadas, sabe-se que:
- (^) D(f + g) = D(f) + D(g).
Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, {v (^) 1, ..., v (^) n}. Sejam w1, ..., w (^) n elementos arbitrários de W.
Então existe uma única aplicação linear T : V F 0A E W tal que: T(v (^) 1) = w (^) 1, ...., T(vn) = wn. Se v = a (^) 1v1 +... anvn, esta aplicação é dada por T(v) = a (^) 1T(v^ 1) + ... + anT(v^ n) = a^ 1w^1 +... anw^ n Isto significa que as aplicações lineares são determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base.
Exemplo: Qual é a transformação linear T: R 2 F 0A E R 3 tal que T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1)?
Imagem e Núcleo
Imagem: Im (T) = {w F 0C E W; T(v) = w, para algum v F 0C E V}. Isto é, a imagem de T é o conjunto dos vetores w de W tais que existe um vetor v F 0C E V, que satisfaz T(v) = w. Im (T) F 0C C W é um subconjunto de W e, além disso, um subespaço vetorial de W.
Núcleo: Ker(T) = {v F 0C E V; T(v) = 0}. Ou seja, o conjunto de todos os vetores v F 0C E V tais que T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo denotado por Ker(T). Ker(T) F 0C C V é um subconjunto de V e, ainda mais, é um subespaço vetorial de V.
Exemplo: T: R 2 F 0A E R
(x,y) F 0A E x+y
- Im(T) = F 0C 2 , pois dado w F 0C E F 0C 2 , w = T(w,0).
- Ker(T) = {(x,y) F 0C E F 0C 2 2 / x + y = 0} ou x = -y; v = (-1,1) gera o núcleo. O núcleo tem a dimensão de W, nesse caso.
Definição: Dada uma aplicação T: V F 0A E W, diremos que T é INJETORA se dados u, v F 0C E V com u ≠ v, então T(u) ≠ T(v)
Definição: A aplicação T: V F 0A E W será SOBREJETORA se a imagem de T coincidir com W, ou seja, T(V) = W.
Propriedade: Uma transformação linear é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}. ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS
Quando uma transformação linear T : V F 0A E W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dá-se o nome de ISOMORFISMO.
Referências Bibliográficas:
http://www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_Algebra.doc BOLDRINI, C. Álgebra Linear. 3ª ed. Editora Harbra, 1986.
