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Capítulo 5 Transformações Lineares
5.1 Definição e Exemplos
Definição Sejam V e W espaços vectoriais definidos sobre o mesmo corpo k. Diz-se que a aplicação T: V → W é uma transformação linear se: i) T( u + v ) = T( u ) + T( v ), u , v ∈ V
ii) T(α v ) = αT( v ), α ∈ k , v ∈ V.
Notas
1. Dizer que T é uma transformação linear de V em W é o mesmo que
dizer que T é uma aplicação linear de V em W, ou ainda que T é um homomorfismo de V em W.
2. Se V = W dizemos que T é um endomorfismo de V.
3. Se T é um homomorfismo bijectivo de V em W dizemos que T é um
isomorfismo de V em W.
4. Se T é um endomorfismo bijectivo de V dizemos que T é um
automorfismo de V.
5. Dois espaços vectoriais V e W dizem-se isomorfos se existir uma
aplicação linear de V em W que seja um isomorfismo.
Exemplos (Transformações lineares)
- A aplicação T: V → W v → T( v ) = 0W é uma aplicação linear e designa-se por aplicação nula.
- A aplicação idV : V → V v → T( v ) = v
é uma aplicação linear e designa-se por aplicação identidade.
- Dada uma matriz A ∈ M m × n ( \ ) a aplicação
T : \ n → \ m X → T(X) = AX é uma transformação linear.
- A aplicação T : P n → P n + p( x ) → T(p( x )) = x .p( x ) é uma transformação linear.
- O operador diferenciação é um operador linear, em particular D : P n → P n - p( x ) → D(p( x )) = p’( x ) é uma transformação linear.
- O operador integração é um operador linear, em particular I : P n → P n + p( x ) → I(p( x )) = (^) ∫ 0^ x p t dt ( )
é uma transformação linear.
Exercícios
1. Diga quais das seguintes aplicações são transformações lineares:
a) T : ^2 → ^2 , T( x , y ) = ( y , x ). b) T : \ 2 → \ 2 , T( x , y ) = ( x , 0). c) T : \ 2 → \ 2 , T( x , y ) = ( x , 1). d) T : \ 2 → \ 3 , T( x , y ) = ( x , y , x + y ). e) T : \ 2 → \ 3 , T( x , y ) = ( x , y + 2, x + y ). f) T : ^3 → \ , T( x , y, z ) = xyz.
g) T : M 2 × 2 ( \ ) → \ , T ⎛⎜^ ⎡⎢ ac^ bd ⎤⎥⎞⎟ ⎝ ⎣^ ⎦⎠
= 3 a - 4 b + c - d.
6. Seja T : \ 2 → ^2 uma aplicação linear definida por T( x , y ) = ( x , 2 x ) e
B ={ u = (1,2), v = (-1,3) } uma base de ^2. Verifique que {T( u ), T( v )} não é
base de ^2. Que conclusões pode tirar?
Teorema Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo, B = { v 1 , v 2 , ..., vn } uma base de V e w 1 , w 2 , ..., wn vectores em W (não necessariamente distintos). Então existe uma única transformação linear T : V → W tal que T( v (^) i ) = wi , i =1, ..., n.
Nota Repare-se que para conhecermos uma transformação linear basta que se conheçam as imagens dos vectores de uma base do espaço domínio, uma vez que todo o elemento do espaço domínio se pode escrever de modo único como combinação linear dos vectores de uma base.
Exercícios
7. Considere a base B = { u = (1,1), v = (1,0) } de ^2 e a transformação
linear T : \ 2 → ^2 tal que T( u ) = (1, -2) e T( v ) = (-4, 1). Determine a expressão de T( x , y ) e use-a para calcular T(5, -3).
8. Considere a base canónica de \ 3 e a transformação linear T : ^3 → ^3 tal que T(1, 0, 0) = (1, 2, 3), T(0, 1, 0) = (1, 0, -1) e T(0, 0, 1) = (0, -1, 2). Determine T( x , y , z ) e use o resultado para calcular T(2, -3, 1).
9. Considere a base B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de \ 3 e a transformação
linear T : ^3 → ^3 tal que T(1, 0, 0) = (1, 2, 3), T(1, 1, 0) = (0, -1, 2) e T(1, 1, 1) = (1, 0, 1). Determine T( x , y , z ).
10. Determine a transformação linear T : ^3 → ^2 tal que T(1, 1, 0) = (2, 1), T(1, 0, 1) = (1, -1) e T(0, 1, 1) = (0, 0).
11. Determine a transformação linear T : P 2 → P 3 tal que T( x^2 ) = x^3 , T( x - 1) = x e T( x + 1) = 0. Use o resultado para calcular T(2 x^2 + 3 x - 1). 12. Considere a transformação linear T : M (^2) × 2 ( \ ) → \ tal que
T ⎛⎜^ ⎡⎢^10 00 ⎤⎥⎞⎟ ⎝ ⎣^ ⎦⎠
= 3, T ⎛⎜^ ⎡⎢^01 10 ⎤⎥⎞⎟
⎝ ⎣^ ⎦⎠
= -1, T ⎛⎜^ ⎡⎢^11 00 ⎤⎥⎞⎟
⎝ ⎣^ ⎦⎠
= 0 e T ⎛⎜^ ⎡⎢^00 01 ⎤⎥⎞⎟ ⎝ ⎣^ ⎦⎠
= 2. Determine
T ⎛⎜^ ⎡⎢^ xz^ wy ⎤⎥⎞⎟ ⎝ ⎣^ ⎦⎠
5.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
Definição Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo e T : V → W uma transformação linear. i) Ao subconjunto de V Ker(T) = { v ∈ V : T( v ) = 0} chamamos núcleo de T. ii) Ao subconjunto de W Im(T) = { w ∈ W : ∃ v ∈ V, T( v ) = w } chamamos imagem de T.
Exercícios
13. Seja T : ^2 → ^2 uma transformação linear dada por T( x , y ) = (2 x - y , -8 x + 4 y ). a) Quais dos seguintes vectores pertencem ao núcleo de T: a.1) u = (5, 10) a.2) v = (3, 2) a.3) w = (1, 1). b) Quais dos seguintes vectores pertencem à imagem de T: b.1) u = (1, -4) b.2) v = (5, 0) b.3) w = (-3, 12). 14. Seja T : P 2 → P 3 uma transformação linear definida por T(p( x )) = x .p( x ). a) Quais dos seguintes vectores pertencem ao núcleo de T: a.1) p( x ) = x^2 a.2) q( x ) = 0 a.3) r( x ) = 1 + x. b) Quais dos seguintes vectores pertencem à imagem de T:
Demonstração. Suponhamos T injectiva e provemos que Ker(T) = {0}. Seja v ∈ Ker(T) então T( v ) = 0 e como T(0) = 0 então temos v = 0. Suponhamos agora que Ker(T) = {0} e provemos que T é injectiva. Sejam u e v quaisquer dois vectores de V tais que T( u ) = T( v ). Assim temos T( u ) - T( v ) = 0 e atendendo à linearidade temos ainda T( u - v ) = 0, donde concluímos que u - v ∈ Ker(T) e consequentemente u - v = 0, ou ainda u = v.
Nota Uma transformação linear T : V → W é sobrejectiva se Im(T) = W.
Exercícios
17. Prove que a aplicação linear S : ^3 → ^2 definida por S( x , y , z ) = ( x + y , x - y ) é sobrejectiva mas não é injectiva. 18. Prove que a aplicação linear T : ^2 → ^3 definida por T( x , y ) = ( x + y , x - y , x ) é injectiva mas não é sobrejectiva.
5.3 Matriz de uma Transformação Linear
Já concluímos que uma transformação linear T : V → W fica completamente definida se conhecermos as imagens T( v 1 ), T( v 2 ), ..., T( vn ), dos vectores de uma base B = { v 1 , v 2 , ..., vn } de V. Repare-se que cada um dos vectores T( v 1 ), T( v 2 ), ..., T( vn ), pode ser expresso de modo único como combinação linear dos vectores de uma base B’ = { w 1 , w 2 , ..., wm } de W.
Definição Dadas uma transformação linear T : V → W, uma base B = { v 1 , v 2 , ..., vn } de V e uma base B’ = { w 1 , w 2 , ..., wm } de W chamamos matriz da transformação linear T relativamente às bases B e B’ a
[ T^ ]BB' =^ [ T(^ v 1^ )]^ B' [ T(^ v^ 2 )]^ B' [ T(^ vn )]B'
com
[ T]^ BB'[ v ]B =^ [ T(^ v^ )]B',^ v^ ∈^ V.
Exercícios
19. Seja T : P 1 → P 2 uma transformação linear definida por T(p( x )) = x .p( x ). Determine a matriz de T relativamente às bases usuais de P 1 , {1, x } e de P 2 , {1, x , x^2 }. 20. Seja T : ^2 → ^3 a transformação linear definida por T( x , y ) = ( x , -5 x +13 y , -7 x + 16 y ). a) Determine a matriz de T relativamente às bases canónicas de ^2 e ^3. b) Determine a matriz de T relativamente às bases {(3, 1), (5, 2))} de ^2 e canónica de ^3. c) Determine a matriz de T relativamente às bases {(3, 1), (5, 2))} de ^2 e {(1, 0, -1), (-1, 2, 2), (0, 1, 2)} de ^3. 21. Seja T : P 2 → P 2 a transformação linear definida por T( ax^2 + bx + c ) = a (3 x - 5)^2 + b (3 x - 5) + c. a) Determine (^) [ T (^) ]BBpara B = {1, x , x^2 }. b) Determine T(3 x^2 + 2 x + 1). 22. Seja T : P 2 → P 1 a transformação linear definida por T( ax^2 + bx + c ) = -(2 b + 3 a ) x + ( b + c ).
Determine (^) [ T] BB', onde B é a base usual de P 2 e B’ é a base usual de P1.
23. Considere a transformação linear T : ^2 → ^2 definida por
T( x , y ) = ( x - y , x + y ) e a base B = { u = (1, 1), v = (-1, 0)} de \ 2.
a) Determine (^) [ T] BB. b) Verifique a validade da fórmula (^) [ T] BB[ v ]B = (^) [ T( v )]B, para todo o v ∈ \ 2.
5.4 Inversa de uma Transformação Linear
Definição Dadas duas transformações lineares S : U → V e T : V → W definimos a composição de T e S por ToS : U → W u → ToS( u ) = T( S( u ) ).
Teorema A composição de transformações lineares é uma transformação linear. Demonstração. Exercício.
Teorema Sejam S : U → V e T : V → W duas transformações lineares e A, B e C bases dos espaços vectoriais U, V e W respectivamente. Então
[ ToS]^ AC=^ [ T]^ BC[ S]^ AB.
Definição Dada uma transformação linear T : V → W dizemos que T é invertível se existir uma transformação linear S, tal que ToS = idW e SoT = id (^) V. A S chamamos transformação inversa de T e simbolizamos por T-^.
Teorema Para uma transformação linear T são equivalentes as seguintes afirmações:
i) T é invertível
ii) T é injectiva
iii) Ker(T) = {0}.
Teorema Seja T : V → W uma transformação linear , A uma base de V e B uma base de W. Se T é invertível então
-1 B ⎡⎣ (^) T ⎤⎦A = (^) ([ ] ) A^1 T (^) B − .
Exercícios
29. Considere as transformações lineares
T : ^3 → ^3 , T( x , y , z ) = ( x + y , z + y , x + z y - x ), S : \ 4 → ^2 , S( a , b , c , d ) = ( a + b , c - d )
e as bases canónicas de ^2 , ^3 e ^4. Determine S o T de dois modos distintos.
30. Considere as transformações lineares
T : ^3 → ^3 , T( x , y , z ) = ( x + y , y -x ), S : ^2 → \ 4 , S( a , b ) = ( a , b - 2 a ,3 b , a + b )
e as bases canónicas de ^2 , ^3 e ^4. Determine S o T de duas maneiras distintas.
31. Considere as transformações lineares
T : \ 3 → P 2 , T( a , b , c ) = ( a - b ) + ( c - a ) x + bx^2 , S : P 2 → ^4 , S( ax^2 + bx + c ) = ( a - b , c )
e as bases usuais de P 2 , ^3 e \ 4. Determine S o T de duas maneiras distintas.
32. Considere a transformação linear
T : ^2 → \ 2 , T( x , y ) = ( x + 2 y , 2 x + 5 y )
e a base canónica de ^2. Determine T -1de dois modos distintos.
33. Considere a transformação linear
T : P 2 → \ 3 definida por T( ax^2 + bx + c ) = ( c - a , b , 2 c - a )
e as bases usuais de P 2 e ^3. Determine T-.
34. Em cada um dos casos seguintes mostre que T é invertível e determine
T-. a) T : P 2 → ^3 , T( ax^2 + bx + c ) = ( a + c , a , b - a ). b) T : \ 2 → \ 2 , T ⎡⎢ y^ x ⎤⎥ ⎣ ⎦
= ⎡⎢^52 12 ⎤⎥
x y
c) T : \ 2 → \ 2 , T ⎡⎢ xy^ ⎤⎥ ⎣ ⎦
= ⎡⎢^64 −−^32 ⎤⎥
x y
4. Determine o núcleo, a imagem, a nulidade e a característica das transformações lineares seguintes e verifique a validade do Teorema da Dimensão:
a) T : \ 3 → ^3 , T( x y z , , ) = ( x + 2 , z y − z x , + y ) b) T : ^3 →\ 3 dada por T( x y z , , ) = ( x + 2 y − z y , + 2 , z x + 3 y + z ) c) T : \ 4 → \ 2 , T x y z t ( , , , ) = (4 x + y + 5 z + 2 , t x + 2 y + 3 z ).
5. Para cada uma das seguintes transformações lineares, determine a matriz que a representa na base canónica:
a) T : \ 3 → ^3 , T x y z ( , , ) = ( x + 2 , z y − z x , + y ) b) Simetria: S : ^3 → ^3 , S x y z ( , , ) = −( x , − y , − z )
c) Homotetia: H : ^3 → ^3 , H x y z ( , , ) = λ( x y z , , )
d) Rotação de um ângulo θ do plano em torno da origem:
R : \ 2 → ^2 , R e ( 1 ) = (cos θ ,sen θ), R ( e 2 ) = −( sen θ ,cos θ)
6. Seja T : ^3 →\ 2 a transformação linear dada por T( x y z , , ) = (2 x − y + z , 3 x − y − 2 z ).
Considere as bases
A = (^) { a 1 (^) = (1, 1, 1), a 2 (^) = (0, 1, 1), a 3 = (0, 0, 1)}, B = (^) { b 1 (^) = (2, 1), b 2 = (5, 3)}, C = canónica de ^3 e^ D = canónica de^ ^2. Determine:
a) (^) [ T (^) ] CD b) (^) [ T (^) ] AD c) (^) [ T (^) ] CB d) (^) [ T (^) ] A B.
7. Dadas as bases A = { a 1 = (1, 1), a 2 = (0, 1)},
B = { b 1 = (1, 2, 0), b 2 = (1, 0, − 1), b 3 = (1, −1, 3) }, C = canónica de ^2 e
D = canónica de ^3 , determine a transformação linear cuja matriz é:
a) (^) [ ]
= ⎢^ − ⎥
T 1 2
C D b)^ [^ ]
= ⎢^ − ⎥
T 1 2
A D c)^ [^ ]
= ⎢^ − ⎥
T 1 2
C B d)^ [^ ]
T 1 2
A B
= ⎢^ − ⎥
8. Seja T : ^3 →^3 uma aplicação linear. Considere em ^3 as bases
C = { Base canónica de \ 3 } e V = { v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 0, 0)}.
Supondo que [ ]
T 3 3 1
V C
= ⎢^ − − ⎥
a) Determine T( v 1 ), T( v 2 ) e T( v 3 ).
b) Defina a aplicação T.
c) Determine T(4,5,6).
5.6 Exercícios de Revisão
1. Seja a aplicação: T : ^2 → \ 3 , T( x y , ) = ( x + ky x , + k y , ). Verifique em que
casos T é linear: a) k=x R: N b) k= 1 R: N c) k= 0 R: S
2. a) Determine a transformação linear T : ^2 →\ 3 tal que
T(-1, 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1,0). R: T( x ,y ) = ( - 2 x+ y,-x+ y,-x ) b) Encontre o vector v tal que T( v ) = (-2, 1, -3). R: (3,4)
3. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares e
verifique a validade do Teorema da Dimensão:
a) T : ^2 → ^2 , T( x y , ) = (3 x − y , − 3 x + y )
R: Ker T ( ) = { ( x ,3 x ), x ∈ }, Im( T ) = {( − y y , ), y ∈}
b) T : ^2 → ^3 , T( x y , ) = ( x + y , x , 2 y )
R: Ker T ( ) ={( 0,0)}, Im( T ) = {( x y z , , )∈ ^3 : 2 x − 2 y − z = 0 }
c) T : ^3 → ^2 , T( x y z , , ) = ( x + 2 y − z , 2 x − y + z )
R: Ker T ( ) = {( x , 3 , 5 − x − x ), x ∈ \ } , Im( T )=^2
- Capítulo 5 Transformações Lineares
- 5.1 Definição e Exemplos
- 5.2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
- 5.3 Matriz de uma Transformação Linear
- 5.4 Inversa de uma Transformação Linear..........................................
- 5.5 Exercícios (Aulas Práticas)............................................................
- 5.6 Exercícios de Revisão
