Universidade do Extremo Sul Catarinense
Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais
MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA A SIMULAÇÃO DE
PRECIPITAÇÕES DE CURTA DURAÇÃO
Edison Uggioni
Criciúma, SC
2009
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Modelagem Matemática Aplicada a simulações de Precipitações de curta duração Parte1, Notas de estudo de Engenharia Unificada Básica
Apostilas de Ciências Ambientais da Universidade do Extremo Sul Catarinense UNESC sobre a Modelagem Matemática Aplicada a Simulação de Precipitações de Curta duração, Modelagem estocástica, Modelagem da precipitação na Teoria do Processo Pontual.
Tipologia: Notas de estudo
2013
1 / 34
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Universidade do Extremo Sul Catarinense Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais
MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA A SIMULAÇÃO DE
PRECIPITAÇÕES DE CURTA DURAÇÃO
Edison Uggioni
Criciúma, SC 2009
EDISON UGGIONI
MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA A SIMULAÇÃO DE
PRECIPITAÇÕES DE CURTA DURAÇÃO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Ciências Ambientais da Universidade do Extremo Sul Catarinense para obtenção do Título de Mestre em Ciências Ambientais. Área de Concentração: Ecologia e Gestão de Ambientes Alterados Orientador: Prof. Dr. Álvaro José Back
Criciúma, SC 2009
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. Álvaro José Back, pela orientação, dedicação, amizade, apoio e as valiosas trocas de idéias durante toda a elaboração deste trabalho, proporcionando-me um amadurecimento profissional e pessoal; Aos amigos e aos meus colegas de classe mostrando que as diferenças, é que nos permitem crescer; À Universidade do Extremo Sul Catarinense - UNESC, pela concessão da bolsa e pela disponibilidade de tempo concedido na elaboração deste trabalho; A Empresa de Pesquisa e Extensão Rural de Santa Catarina, EPAGRI, por fornecer os dados utilizados na pesquisa; A meus pais Ambrósio e Lóide, que sempre estiveram nos apoiando, mesmo nos momentos mais difíceis de suas vidas, e pelo belo exemplo de vida.
RESUMO
Modelos matemáticos para o estudo da preservação e qualidade da água podem ser ferramentas úteis para a tomada de decisão no apoio à gestão de bacias hidrográficas. O planejamento e a gestão dos recursos hídricos em um país de grande porte como o Brasil envolvem, geralmente, bacias extensas com um vasto conjunto de elementos naturais e antrópicos. A precipitação pluviométrica é um dos elementos do clima que apresenta alta variabilidade temporal e espacial, e sua ocorrência em excessos, ou em déficit geralmente causam prejuízos à produção agrícola bem como transtornos a população em geral. Este trabalho teve como objetivo aplicar a modelagem matemática de série de dados de precipitação pluviométrica de curta duração para aplicação nos projetos de recursos hídricos. Foi utilizada a série de dados pluviográficos do período de outubro de 1980 a dezembro de
- Os dados de precipitação foram obtidos pela digitalização dos pluviogramas diários da estação meteorológica da Epagri, Urussanga, Sul de Santa Catarina (latitude 28,31º S, longitude 48,19º W). A resolução dos dados é da ordem de 0,1 mm, e, sempre que a precipitação observada num intervalo de tempo é menor que este valor, o intervalo é definido como seco. Para a simulação das séries de chuva horária o modelo estocástico adotado foi o modelo de pulsos retangulares de Bartlett-Lewis modificado com seis parâmetros. O ajuste dos parâmetros foi realizado tendo como base a minimização da função relacionada às expressões analíticas que definem a média, variância, e coeficiente de autocorrelação com retardo 1 e a probabilidade do período ser seco em relação aos valores estimados a partir dos dados observados. Foram ajustados os parâmetros para as séries de precipitação com durações de 1 hora, 30 min, 15 min, 10 min e 5 min, e posteriormente foram simuladas 10 séries com 100 anos de dados para cada duração estudada. A análise dos dados e os resultados nos levaram a concluir: que o ajuste dos parâmetros do modelo de Bartlett-Lewis modificado possibilita a simulação de chuvas com intervalos de duração de até 5 minutos preservando as propriedades estatísticas da precipitação em vários níveis de agregação temporal. Os totais anuais de chuva simulada para todos os intervalos de duração analisados permanecem dentro do intervalo de confiança de 95%. De forma geral observou-se a tendência de superestimativa da probabilidade dos períodos serem secos e subestimativa da covariância para intervalos de 24 horas, principalmente no verão. Para as séries de precipitação simulada com duração de 1 hora observou-se que a série de máximas anuais da série simulada manteve as características da série observada. Para as séries de precipitação simulada com duração de 30 minutos ou inferior observou-se subestimativas superior a 23% na média da série de máximas anuais, inviabilizando sua utilização direta na simulação de eventos extremos.
Palavras-chave: Precipitação, Probabilidade, Recursos Hídricos.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Representação do modelo de pulsos retangulares de Bartlett-Lewis modificado (BACK, 1997). ......................................................................................................................... Figura 2.Valores médios de precipitação horária (mm) e probabilidade do intervalo ser seco (PD). ......................................................................................................................................... Figura 3. Parâmetros λ e μx do modelo de Bartlett-Lewis Modificado para intervalos de 1 hora. .......................................................................................................................................... Figura 4. Valores da duração média das células chuvosas (E[1/η]) e do número médio de células chuvosas (E[C]) para intervalos de 1 hora. ................................................................. Figura 5. Valores da intensidade média (mm/h) da série observada e da simulada. .............. Figura 6. Valores de F para variância da série simulada em relação a variância da série observada para intervalos de 1 hora. ....................................................................................... Figura 7. Valores da probabilidade do intervalo ser seco das séries observada e da simulada bem como o valor teórico do modelo para intervalos de 1 hora............................................... Figura 8. Valores da autocorrelação das séries observada e da simulada bem como o valor teórico do modelo para intervalos de 1 hora............................................................................. Figura 9. Totais anuais de chuva da série horária.................................................................... Figura 10. Aderência da série de máximas anuais de precipitação diária a distribuição de Gumbel. .................................................................................................................................... Figura 11. Aderência da série de máximas anuais de precipitação horária a distribuição de Gumbel ..................................................................................................................................... Figura 12. Parâmetros λ e μx do modelo de Bartlett-Lewis Modificado para intervalo de 30 minutos. .................................................................................................................................... Figura 13. Duração média das células chuvosas (E[1/η] ) e número médio de células chuvosas (E[C] ) para intervalos de 30 minutos. ..................................................................................... Figura 14. Parâmetros λ e μx do modelo de Bartlett-Lewis Modificado para intervalos de 15 minutos. .................................................................................................................................... Figura 15. Duração média das células chuvosas (E[1/η]) e número médiode células chuvosas (E[C]) para intervalos de 15 minutos. ...................................................................................... Figura 16. Parâmetros λ e μx do modelo de Brartlett-Lewis Modificado para intervalos de 10 minutos. .................................................................................................................................... Figura 17. Duração média das células chuvosas (E[1/η]) e número médiode células chuvosas (E[C]) para intervalos de 10 minutos. ...................................................................................... Figura 18. Parâmetros λ e μx do modelo de Brartlett-Lewis Modificado para intervalos de 5 minutos. .................................................................................................................................... Figura 19. Duração média das células chuvosas (E[1/η]) e número médiode células chuvosas (E[C]) para intervalos de 5 minutos. ....................................................................................... Figura 20.Variância da precipitação da série observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de janeiro a junho.................................................................................
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Figura 21. Variância da precipitação da série observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de julho a dezembro. ....................................................................... Figura 22. Probabilidade do intervalo ser seco da série de precipitação observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de janeiro a junho.................................... Figura 23. Probabilidade do intervalo ser seco da série de precipitação observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de julho a dezembro................................ Figura 24. Covariância da precipitação da série observada e simuladas nos diferentes intervalos de duração para os meses de janeiro a junho. .......................................................... Figura 25. Covariância da precipitação da série observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de julho a dezembro. ....................................................................... Figura 26. Autocorelação da precipitação da série observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de janeiro a junho. .......................................................... Figura 27. Autocorelação da precipitação da série observada e simulada nos diferentes intervalos de duração para os meses de julho a dezembro. ...................................................... Figura 28. Totais anuais de chuva da série de 30 minutos. ..................................................... Figura 29. Totais anuais de chuva da série de 15 minutos. ..................................................... Figura 30. Totais anuais de chuva da série de 10 minutos. ..................................................... Figura 31. Totais anuais de chuva da série de 5 minutos. ....................................................... Figura 32. Aderência da série de máximas anuais de precipitação de 30 minutos a distribuição de Gumbel............................................................................................................. Figura 33. Aderência da série de máximas anuais de precipitação de 15 minutos a distribuição de Gumbel............................................................................................................. Figura 34. Aderência da série de máximas anuais de precipitação de 10 minutos a distribuição de Gumbel. ............................................................................................................................... Figura 35. Aderência da série de máximas anuais de precipitação de 5 minutos a distribuição de Gumbel ................................................................................................................................
LISTA DE SÍMBOLOS
a = taxa de decaimento do campo de precipitação gerado por uma célula Correl = Coeficiente de autocorrelação com retardo 1 Covar = Autocovariância com retardo de 1 (mm²) cov[Yi, Yi+ τ] = autocovariância com retardo τ (mm^2 ) Var =variância da precipitação no intervalo (mm²) d =. distância do ponto p á célula 1 = esperança do máximo valor do campo de precipitação gerado por uma célula E(Yh) = média da precipitação no intervalo de h horas (mm) exp = exponencial F.= Freqüência fi = função analítica fo = valor observados h = hora k = índice mensal do calendário (k=1 para janeiro, 2 para fevereiro, ...) km = quilômetro ln = logaritmo neperiano m = número de funções consideradas min = minuto mm = milímetro
n k^ (^ h^ )= número total de intervalos de tempo de h horas no mês k;
n = número de anos de dados nd = número observado de intervalos PD = probabilidade do intervalo ser seco ρ(h,1) = coeficiente de autocorrelação com retardo 1 S = desvio padrão dos valores observados na série de máximas anuais Sn = desvio padrão da variável reduzida y T = período de retorno t = tempo ( min ou h) Var[Yh] = variância dos valores de precipitação no intervalo de h horas (mm^2 ) X(t) = variável randômica
X (^) T =precipitação máxima X ( u (^) p , vp ) = precipitação total
X ( β) = precipitação média
x = média dos valores observados na série de máximas anuais Yi (,^ hj ,^ ) k = valor de precipitação total do j-esimo intervalo do ano i para o mês k
γ(h) = variância observada para o intervalo de tempo h horas (mm-2) Yn = média Sn = desvio padrão da variável reduzida y w = variância do número de células associado a um agrupamento λ = parâmetro do modelo de MPRBL k = parâmetro do modelo de MPRBL φ = parâmetro do modelo de MPRBL η = parâmetro do modelo de MPRBL α = parâmetro de forma da distribuição gama υ = parâmetro de escala da distribuição gama μx = valor esperado da intensidade da célula ( mm h-¹) μk(h) = média observada para o intervalo de tempo de h horas (mm); φd = proporção de intervalos de h horas de duração sem chuva
σ^2 = variância das células em torno do centro do agrupamento
σ =: desvio padrão entre o centro do agrupamento e suas células
Σ = somatório % = percentagem
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1 INTRODUÇÃO
Os recursos hídricos tanto no Brasil como em todo o mundo, não estão tendo a atenção necessária dos governos e também pela população em geral. Isto nos leva a enfrentar num futuro muito próximo desafios relacionados com o aproveitamento e controle desses recursos hídricos. Segundo Uggioni (2005), para os estudos de preservação e utilização dos recursos hídricos é de grande interesse o conhecimento da distribuição temporal e espacial da precipitação, para todos que estão envolvidos nos desafios futuros, principalmente para a manutenção e aproveitamento em escalas desejáveis desses recursos. Em muitos casos o sucesso ou o fracasso de um empreendimento que envolve atividades agrícolas ou não, depende muito da ocorrência de precipitação, observados a sua duração e quantidade. Em sua publicação Barth et. al. (1987), que trata de modelos para gerenciamento de recursos hídricos, diz que a água é recurso natural, renovável pelos processos físicos do ciclo hidrológico. A Terra comporta-se como um destilador, em que a água, após evaporar-se dos oceanos, dos lagos, dos rios e da superfície terrestre, precipita-se sob a forma de chuva, neve e gelo, corre pela superfície, infiltra-se no subsolo, escoa pelos aqüíferos, é absorvida pelas plantas e transpirada para a atmosfera, da qual torna a precipitar-se, e, assim, sucessivamente. A água distribui-se de modo irregular, no tempo e no espaço, em função das condições geográficas, climáticas e meteorológicas. Para tanto devemos considerar a água como recurso finito e de ocorrência aleatória, embora, recurso renovável. Com a capacitação tecnológica o homem procura entender os fenômenos do ciclo hidrológico, mensurando as suas fases. Os impactos sobre o meio ambiente, associados ao desenvolvimento de atividades pelo homem em uma bacia hidrográfica, estão fortemente inter-relacionadas e têm, a cada dia, se tornado mais evidentes. Dado a este fator devemos ter a concepção de uma gestão integrada dos recursos naturais em várias partes do mundo, inclusive em países em desenvolvimento como o Brasil. Modelos matemáticos para o estudo da preservação e qualidade da água podem ser ferramentas úteis para a tomada de decisão no apoio à gestão de bacias hidrográficas. O planejamento e a gestão dos recursos hídricos em um país de grande porte como o Brasil envolvem, geralmente, bacias extensas com um vasto conjunto de elementos naturais e antrópicos.
13 A precipitação pluviométrica é um dos elementos do clima que apresenta alta variabilidade temporal e espacial, e sua ocorrência em excessos ou em déficit geralmente causam prejuízos a produção agrícola bem como transtornos a população em geral. Para dimensionar as obras de engenharia executadas para contornar os problemas de excesso ou falta de chuva são utilizados valores de chuva associadas a riscos de ocorrência, chamadas chuva de projeto. Essas chuvas são obtidas por meio de análises de longas séries de dados observados, e portanto só podem ser obtidas em locais com longos registros históricos da precipitação. No Brasil existe relativa facilidade de obter dados de chuva de duração diária, porém para chuvas de menor duração, dado a escassez de equipamentos registradores esses dados dificilmente são disponíveis, e quando existem são séries relativamente curtas e apresentam muitas falhas nos registros de dados. A utilização da modelagem matemática para simulação de chuvas apresenta a grande vantagem de obtenção de longas séries de dados sem falhas, possibilitando a simulação do funcionamento de sistemas hidrológicos e a estimativa dos riscos de ocorrências de eventos extremos como secas e estiagens. Existem vários modelos largamente usados para a simulação de chuvas diárias, no entanto, poucos trabalhos foram apresentados para testar modelos para chuvas de curta duração. Neste sentido destacam-se os modelos de pulsos retangulares em que vários trabalhos (RODRIGUES-ITURBE, 1988; BACK, 1997; DAMÉ, 2001; DAMÉ et al., 2006) mostraram serem eficientes na simulação de chuvas de duração horária, preservando as características das séries de dados observadas. Na área da engenharia de drenagem há grande carência de informações de chuvas de durações inferiores a 1 hora, em muitas ocasiões necessita-se de dados de chuva com duração de 5 minutos. A aplicação de modelos matemáticos na geração de séries de dados de chuva poderá suprir essa carência de informações, no entanto há necessidade de avaliar a possibilidade de aplicar esses modelos para simulação de chuvas com duração inferior a uma hora e também de avaliar a sua aplicação na estimativa de intensidades de chuvas extremas.
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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Precipitação
O processo de precipitação pluviométrica é entendido como sendo a água proveniente do vapor d’água da atmosfera que é depositada na superfície terrestre em forma de chuva, orvalho, granizo, neblina, neve ou geada. Para que ocorra a precipitação, é necessário que o peso das gotas de água seja maior que o das forças que as mantêm em suspensão, de tal forma que adquiram uma velocidade de queda superior á das componentes verticais dos movimentos atmosféricos. Conforme Back (1997), para as condições de clima do Brasil, somente as chuvas têm importância no que se refere a problemas de geração de escoamento superficial. As principais características da precipitação são: a duração, o volume total precipitado, sua distribuição temporal e a distribuição espacial. Segundo Goulart (1991), as chuvas se classificam em :
- Frontais;
- Orográficas;
- Convectivas. As chuvas frontais são formadas da interação de massas de ar quentes e frias, ou seja, do movimento de massas de ar de regiões de alta pressão, para regiões de baixa pressão. Desta forma, o ar mais quente e úmido é impulsionado para cima, resfriando-se e condensando-se, de forma a ocasionar as chuvas. São chuvas de grande duração e de média a alta intensidade (TUCCI, 1993). As frentes frias podem ter largura de cerca de 500 km, enquanto que a frente quente atinge faixas com largura inferior de até 300 km. Em Santa Catarina as frentes frias assumem grande importância na distribuição das chuvas durante o ano todo. As chuvas orográficas formam-se quando os ventos quentes e úmidos que sopram do oceano para o continente, encontram uma barreira montanhosa, elevando-se e resfriando adiabaticamente. Neste ponto, ocorre a condensação do vapor, a formação de nuvens e a ocorrência de chuvas. As características das chuvas orográficas dependem da altitude e conformação do relevo e da direção do vento, porém em geral são chuvas de intensidade variável e grande duração, abrangem áreas relativamente pequenas e caracterizam-se por
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serem freqüentes. Em Santa Catarina as chuvas orográficas determinam os maiores totais pluviométricos próximo a Serra do Mar e Serra Geral. As chuvas convectivas são caracterizadas por serem de grande intensidade e curta duração distribuindo-se sobre áreas mais restritas, podendo causar inundações em pequenas bacias hidrográficas. Ocorrem quando o ar úmido é aquecido na vizinhança do solo, e criam- se camadas de ar que se mantêm em equilíbrio instável. Desta forma uma brusca ascensão local de ar menos denso atingirá seu nível de condensação com formação de nuvens e até precipitações. Essas chuvas são em geral de curta duração e alta intensidade, abrangendo áreas relativamente pequenas. Células convectivas atingem áreas de 25 a 30 km² com nuvem que podem se elevar até 15 km gerando grandes intensidades de chuva.
A ocorrência de um tipo de chuva não exclui o outro. O efeito orográfico pode se fazer sentir tanto para as perturbações dos sistemas frontais quanto para as trovoadas de convecção térmica. Na Região Sul é comum, nos meses mais quentes, as frentes frias virem acompanhadas de trovoadas ao longo da linha frontal, observando-se pancadas de chuvas fortes seguidas de chuvas de menor intensidade e maior duração. As chuvas mais intensas e persistentes tendem a ocorres quando a atividade convectiva é associada à frente fria. Nessas situações ocorrem as chuvas pré-frontais, em que elevados volumes são precipitados em curtos intervalos de tempo, funcionando a convecção térmica como um gatilho de detonação da instabilidade (BACK, 2002). As precipitações independentemente do tipo em que sejam classificadas, ocorrem na forma de células de chuva, que são pontos de taxas de chuvas elevadas (GOULART, 1991). Essas células agrupam-se e dão origem às tormentas, que são uma perturbação meteorológica acompanhada de fenômenos como chuva, relâmpagos, trovões e vento. Burlando e Rosso (1993), consideram que se conhecendo os mecanismos de formação da precipitação, bem como das formas como essa ocorre, percebe-se a complexidade envolta nesse fenômeno. Considera-se a chuva como principal entrada de água nas bacias hidrográficas, decorrendo a partir dela a resposta da bacia, que será função da interceptação, das condições antecedentes de umidade do solo, da topografia, do tipo e cobertura do solo, e da evaporação. A movimentação contínua, a ascensão e a dissipação das massas de ar determinam a variação temporal e espacial das precipitações (GOULART, 1991). Para as medidas de precipitação exprime-se a quantidade de chuva pela altura de água caída e acumulada sobre uma superfície plana e impermeável. Ela é avaliada por meio
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precipitação pluvial, e sua variação ao longo de um cultivo, são significativos para a obtenção de rendimentos satisfatórios, visto que esses fatores são determinantes para o sucesso nos cultivos. Ribeiro e Lunardi (1997) salientam a importância da caracterização da precipitação para o planejamento de atividades agrícolas, como também no dimensionamento de reservatórios de água, na elaboração de projetos de proteção e conservação de solos e em atividades de lazer e esportes.
2.2 Modelagem Matemática
Bassanesi (2002) define modelagem matemática como a arte que transforma situações reais em problemas matemáticos e após obter os resultados interpreta-os na linguagem do mundo real. A modelagem matemática, em seus vários aspectos, é um processo que avalia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para atingir sobre ela e transformá-la. Em suas publicações Krioukv (1996) afirma que os primeiros passos da Matemática foram também os primeiros passos da modelagem matemática e baseia-se no fato de que a Matemática surgiu de algumas tarefas práticas por meio de formalização de qualquer coisa com o objetivo de economizar esforços nas operações com as mesmas. O que segundo ele é a essência da modelagem. Já para Bald (1993) define modelagem matemática como o estudo de situações reais e problemas no qual a linguagem para compreensão, simplificação e resolução utilizada é a Matemática. Um modelo é considerado apropriado até que surja outro melhor que o substitua. Portanto um bom modelo é aquele que serve como base para a formulação de novos modelos. Uma das alternativas para se obter dados de chuva do ponto de vista da sua ocorrência é através da formulação de modelos matemáticos que auxiliam no planejamento ambiental. Estudos feitos por Clarke (1975), modelos matemáticos são representação de sistemas complexos que envolvem equações acompanhadas de expressões lógicas, que relacionam variáveis e parâmetros. Os fenômenos hidrológicos podem ser estudados através de um modelo matemático caracterizado por observações sistemáticas do fenômeno.
19 Para uma boa modelagem matemática de um fenômeno hidrológico, devemos ter bem distintos o fenômeno e o modelo matemático a ser empregado. O professor J. Neymann escreve: Todas às vezes que empregamos Matemática, a fim de estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por construir um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenômenos. Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos pormenores devem ser desprezados. O bom resultado do modelo, depende de que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem importância na elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode estar correta e, não obstante, estar em grande discordância com os dados observados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas, não sejam confirmadas. Geralmente é bastante difícil afirmar com certeza se um modelo matemático especificado é ou não adequado, antes que alguns dados de observação sejam obtidos. A fim de verificar a validade de um modelo, deveremos deduzir certo número de conseqüências de nosso modelo e, a seguir, comparar esses resultados previstos com observações (NEYMAN; SCOTT, 1958).
2.3 Modelagem estocástica
Paiva (2001), descreve a modelagem estocástica da precipitação como sendo muito útil para ser empregada nos estudos que envolvem os fenômenos hidrológicos como escoamento superficial, infiltração e erosão do solo. A modelagem da precipitação não é uma tarefa simples devido à variabilidade temporal e espacial exibida por esse fenômeno. Um Processo Estocástico é definido como uma coleção de variáveis randômicas (X(t)) indexadas por um parâmetro t pertencente a um conjunto T. Freqüentemente T é tomado para ser o conjunto dos inteiros não-negativos e X(t) representa uma característica mensurável de interesse no tempo t. Os processos estocásticos são de interesse para descrever o procedimento de um sistema operando sobre algum período de tempo, com isso, em termos formais, a variável randômica X(t) representa o estado do sistema no parâmetro (geralmente tempo) t (PAIVA, 2001). Em suas pesquisas Waymire e Gupta (1981) mencionam que ao longo do tempo, muitos modelos são propostos, e está claro que não existe uma forma única de modelagem. Isso, pelas características do fenômeno em si, pelas ferramentas matemáticas e estatísticas disponíveis, bem como pelo objetivo que se deseja atingir quando se modela esse processo. As chuvas pela sua grande importância na agricultura e nos ramos da engenharia , tem possibilitado muitas pesquisas utilizando-se ferramentas matemáticas como propostas para modelar todo esse processo.