NOME:
ASSINATURA:
1o. Exame (MODELO)
MAD 1501 – ÁLGEBRA LINEAR I, Prof. Bassani, 2o. Semestre 2010.
(Duração: 120 minutos; Sem Consulta; Não é permitido o uso de calculadoras)
(100 pontos equivale a grau 10,0)
1) a) Determine o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor 12i – 5j. b) Determine os
cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor (1, 2, 2). c) Determine a equação da reta que
passa pelo ponto (1, 0, 6) e é perpendicular ao plano 53
=
+
+
zyx . (20 pontos)
2) (a) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, -1) e tem normal paralela à reta com
equações paramétricas , tx 21 +−= ty 32
+
=
, e tz 41
+
=
. Determine também suas
interseções com os planos coordenados e faça um esboço do plano. (b) Qual relação (paralela,
perpendicular, coincidente ou concorrente) tem a reta 3x + 4y – 2 = 0 com a reta 2x + y – 6 = 0 ?
(20 pontos)
3) Escolha h e k de tal modo que o sistema formado pelas equações kxx =
−
21 3 e 26 21
−
=
+xxh
tenha (a) nenhuma solução, (b) uma única solução, e (c) número infinito de soluções. (10 pontos)
4) Sejam v1 = , v
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
4
2 = , v
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
10
6
12
3 = e y = . Para que valores de h o vetor y pertence ao
conjunto gerado por v
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
4
2
5
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
h
3
1
1 , v2 e v3 ? (10 pontos)
5) Sejam u = e . (a) O vetor u pertence ao subconjunto do
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
8
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
021
110
534
A3 gerado pelas
colunas de A ? Justifique sua resposta. (b) As colunas de A geram o 3 ? Explique-se. (20 pontos)
6) (a) Determinar o conjunto-solução do sistema formado pelas equações 6
3
2
2
4
1
2
=
−− xxx ,
15
3
5
2
10
1
5
−
=− xxx , 9
3
3
2
6
1
3
−
+
=xxx e 3
32
2
1−=
+
+
−
xxx ;
(b) descrever a geometria desse conjunto-solução. (20 pontos)