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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ

KÍLVIA MARIA VIANA ÁVILA

PÊNDULOS PARAMÉTRICOS: PONTO DE

SUSPENSÃO OSCILANTE E COMPRIMENTO

VARIÁVEL

FORTALEZA - CEARÁ

KÍLVIA MARIA VIANA ÁVILA

PÊNDULOS PARAMÉTRICOS: PONTO DE SUSPENSÃO OSCILANTE E

COMPRIMENTO VARIÁVEL

Monografia apresentada no Curso de Gradu- ação em Física do Centro de Ciências e Tec- nologia da Universidade Estadual do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Física.

Orientador: Prof. Dr. Marcony Silva Cunha

FORTALEZA - CEARÁ

KÍLVIA MARIA VIANA ÁVILA

PÊNDULOS PARAMÉTRICOS: PONTO DE SUSPENSÃO OSCILANTE E

COMPRIMENTO VARIÁVEL

Monografia apresentada no Curso de Gradu- ação em Física do Centro de Ciências e Tec- nologia da Universidade Estadual do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel.

Aprovada em: 20/07/

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Marcony Silva Cunha Universidade Estadual do Ceará – UECE Orientador

Prof. Dr. Kleiton do Carmo Mendes Universidade Estadual do Ceará – UECE

Prof. Dr. Hugo R. Christiansen Universidade do Vale do Acaraú - UVA

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter me amparado em todos os momentos da minha vida, me ajudando, orientando e incentivando a seguir. A Ele meus eternos agradecimentos.

A toda a minha família, pelo incentivo e apoio durante minha graduação, em particular aos meus pais, Antônio e Mercês.

Ao professor Dr. Marcony Silva Cunha pela orientação e paciência que tanto contribuíram para realização deste trabalho.

Aos amigos e colegas que conheci na UECE ao longo destes anos, pela ajuda e amizade. Em especial, aos amigos Bruno de Abreu, Andre Victor, Daniel Lima, Otávio Lavor e Marco Antônio.

Ao meu amigo José Gadelha, pelo imprescindível auxílio técnico no emprego do LaTeX.

A Sâmia Dávila pela amizade e apoio nessa monografia.

À todos os professores que contribuiram para minha formação durante este curso. Em especial, Alexandre Araújo Costa, João Bosco Verçosa Leal Junior, Kleiton do Carmo Mendes, Marcony Silva Cunha, Monica Figueiredo Lenz César, Silas Lenz César, dentre outros.

À Universidade Estadual do Ceará, por intermédio do Departamento de Física, pela oportunidade de realizar este curso.

Agradeço a todos que colaboraram de maneira direta ou indireta para a conclusão deste trabalho.

RESUMO

Em sistemas oscilantes, quando um dos parâmetros característicos varia com o tempo de forma a provocar uma oscilação, dizemos que o sistema sofre uma oscilação paramétrica. Neste trabalho estudaremos a dinâmica de dois tipos de osciladores paramétricos: pêndulo com ponto de suspensão oscilante e o pêndulo com comprimento variável. Mostraremos que, para pequenas oscilações, a equação do movimento pode ser descrita pela equação de Mathieu. Adicionalmente, mostraremos que a equação de Mathieu para o movimento é um caso particular da equação confluente de Heun. Utilizando métodos numéricos, exibiremos gráficos da equação de movimento dos pêndulos verificando que, para pequenas oscilações, a solução confluente de Heun (ou a função de Mathieu) é satisfatória para descrever o movimento nessas condições. Dependendo dos parâmetros utilizados mostraremos que o sistema pode ser regular ou irregular.

Palavras-Chave: Pêndulo paramétrico. Equação de Mathieu. Equação confluente de Heun..

.

ABSTRACT

In oscillating systems, when one of the characteristic parameters varies with time so as to cause an oscillation, we say that the system undergoes a parametric oscillation. In this work, we study the dynamics of two types of parametric oscillators: pendulum with oscillating suspension point and the pendulum with variable length. We show that for small oscillations, the equation of motion can be described by the Mathieu equation. Additionally, we show that the Mathieu equation for the motion is a special case of confluent Heun equation. Using numerical methods, we display graphs of the motion equation of pendulums noting that for small oscillations, the solution of confluent Heun (or Mathieu function) is satisfactory to describe the movement in these conditions. Depending on the parameters used we show that the system can be either regular or chaotic.

Keywords: Parametric pendulum. Mathieu equation. Confluent Heun equation.. .

Figura 17 Funções de Mathieu Angular........................................ 43

Figura 18 Funções de Mathieu Radial.......................................... 44

Figura 19 Funções cem (à esquerda) e sem (à direita) com q = 1................. 45

Figura 20 Funções ce 1 (à esquerda) e se 1 (à direita) com q ∈ { 0. 1 , 1 , 5 , 10 , 15 }.... 45

Figura 21 Funções Je 0 (a direita) e Jo 1 (a esquerda) com q ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 }......... 46

Figura 22 Estabilidade da equação de Mathieu: regiões estavéis e instáveis (hachu- rada)................................................................ 47

Figura 23 Soluções da equação de movimento do pêndulo de comprimento varia- vél................................................................... 49

Figura 24 Soluções da equação de movimento do pêndulo com ponto de suspensão oscilante............................................................. 50

Figura 25 Comparação entre a evolução temporal da solução numérica da equação do pêndulo com ponto de suspensão oscilante (gráfico (a)) e a solução da equação de Mathieu (gráfico (b))..................................... 51

Figura 26 Pêndulo com ponto de suspensão oscilante........................... 57

Figura 27 Pêndulo com comprimento variável oscilando........................ 59

Figura 28 Evolução temporal de pêndulo com ponto de suspensão os cilante. No gráfico I temos um comportamento estável. No gráfico II temos um com- portamento caótico................................................... 61

Figura 29 Comparação entre a evolução temporal obtida através da solução de equa- ção de Mathieu (gráfico I) e solução numérica da equação do pêndulo com comprimento variável (gráfico II)...................................... 62

SUMÁRIO

• Figura 1 Energia potencial U (x) devido a uma força conservativa F (x).
• Figura 2 Sistema Massa-Mola.
  • T Figura 3 Energia mecânica total do oscilador harmônico e seus constituintes U e
• Figura 4 Pêndulo simples.
• Figura 5 Os três tipos de movimento do oscilador amortecido.
• Figura 6 Movimento do oscilador amortecido subcrítico.
• Figura 7 Movimento do oscilador amortecido crítico.
• Figura 8 Movimentos do oscilador com amortecimento supercrítico.
  • çado. Figura 9 Gráfico da amplitude versus frequência de um oscilador amortecido for-
• Figura 10 A ação de balançar em um balanço.
• Figura 11 Líquido em recipiente com movimento periódico na direção vertical.
• Figura 12 Circuito LC com a capacitância variando com o tempo.
• Figura 13 Navio APL China.
• Figura 14 Pêndulo com comprimento variável oscilando.
• Figura 15 Pêndulo com ponto de suspensão oscilante.
• Figura 16 Sistema de coordenadas elíptico.
• 1 INTRODUÇÃO
• 2 OSCILAÇÕES HARMÔNICAS
• 2.1 Oscilações Harmônicas
• 2.1.1 Oscilador harmônico simples
• 2.1.1.1 Pêndulo simples
• 2.2 Oscilações Amortecidas
• 2.2.1 Amortecimento Subcrítico
• 2.2.2 Amortecimento Crítico
• 2.2.3 Amortecimento Supercrítico
• 2.3 Oscilações Forçadas Amortecidas
• 2.3.1 Ressonância
• 3 OSCILAÇÕES PARAMÉTRICAS
• 3.1 Equação do movimento
• 3.2 Ressonância Paramétrica
• 3.3 Pêndulo Paramétrico
• 3.3.1 Pêndulo com comprimento variável
• 3.3.2 Pêndulo com ponto de suspensão oscilante
• 4 EQUAÇÃO DE MATHIEU
• 4.1 Equação de Mathieu
• 4.2 Origem da equação de Mathieu
• 4.2.1 Forma algébrica da equação de Mathieu
  • ente de Heun 4.3 Equação de Mathieu como um caso particular da Equação Conflu-
• 4.4 Funções de Mathieu
• 4.5 Estabilidade das soluções de Mathieu
  • DOS PÊNDULOS PARAMÉTRICOS 5 EQUAÇÃO DE MATHIEU PARA DESCREVER A DINÂMICA
  • ramétricos 5.1 Equação de Mathieu para descrever a dinâmica dos pêndulos pa-

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1 INTRODUÇÃO

As oscilações harmônicas são bastante estudadas nos cursos de mecânica básica devido sua importância e aplicabilidade em praticamente todas as áreas da Física. O pên- dulo simples é o sistema ideal normalmente utilizado para explorar as oscilações amor- tecidas, forçadas, acopladas, entre outras. Contudo existe um outro tipo de oscilação, dificilmente abordadas em livros-texto da graduação, com exceção de Landau e Lifchitz (2004), que são as chamadas oscilações paramétricas. Este trabalho tem como objetivo estudar e divulgar essa classe de oscilações.

Uma oscilação paramétrica é caracterizada quando a ação de uma força externa sobre o oscilador harmônico resulta em uma variação temporal dos parâmetros do sis- tema (LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Por exemplo, no pêndulo simples, quando aplicamos uma força que varia o comprimento periodicamente, estamos provocando oscilações pa- ramétricas no sistema. Esse tipo de oscilação encontra-se também em circuitos elétricos investigados por Mandelstam e Papalexi (1934).

Diferente dos osciladores harmônicos, a equação de movimento dos sistemas pa- ramétricos é formada por equações diferenciais com coeficientes variando no tempo, em geral, de forma periódica (NAYFEH; MOOK, 1995). Na maioria dos fenômenos, temos equações não lineares. Contudo, em alguns casos, podemos linearizar essas equações tornando-as mais simples, como é o caso da equação de Hill ou Mathieu.

Antes de explorar propriamente as oscilações paramétricas, no segundo capítulo, inicia-se uma revisão dos principais tipos de osciladores harmônicos estudados na litera- tura. São abordados os osciladores harmônicos livres, amortecidos e forçados, deduzindo as equações de movimento e enfatizando suas características principais. Essa revisão é importante para se fazer uma comparação com as oscilações paramétricas.

No terceiro capítulo se estuda de fato as oscilações paramétricas. Define-se e mostra-se diversos exemplos de osciladores paramétricos. Em seguida, são escolhidos dois exemplos principais: pêndulo com comprimento variável e pêndulo com ponto de suspen- são oscilante. Utiliza-se o formalismo lagrangeano para deduzir a equação de movimento desses dois sistemas.

Já no capítulo quatro, estuda-se a equação diferencial de Mathieu. Sua formação é deduzida a partir da equação de Helmholtz em coordenadas elípticas. Mostra-se, utili- zando uma mudança de variáveis, que a forma algébrica de Mathieu é um caso particular da equação de Heun. Apresenta-se o estudo de sua estabilidade pelo Teorema de Floquet e suas principais propriedades.

Para o capitulo final, transforma-se as equações de movimento dos dois pêndulos

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paramétricos em uma equação de Mathieu. A dinâmica dos sistemas é apresentada através dos gráficos das soluções. No apêndice A apresenta-se um trabalho, que deu origem a essa monografia, publicado nos anais do XVII Encontro de Iniciação à Pesquisa da UNIFOR.

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uma parábola e assim escrevê-la como (NUSSENZVEIG, 2002)

U (x) =^12 kx^2. (2.1)

Portanto, para pequenos desvios da posição de equilíbrio x 0 , a força que atua na partícula, em módulo, é

F (x) = −dUdx = − (^) dxd

2 kx

2

= −kx. (2.2)

Essa força, proporcional ao deslocamento, é restauradora porque a partícula tende a retornar à posição de equilíbrio. A equação (2.2) também é conhecida como lei de Hooke.

2.1.1 Oscilador harmônico simples

Um bloco de massa m preso a uma mola ideal de constante elástica k (positiva) é um bom exemplo de oscilador harmônico simples. Quando comprimida ou esticada, a mola exerce uma força no bloco, dada pela equação (2.2), no sentindo contrário ao deslocamento sempre puxando o bloco para a posição de equlíbrio. Na figura abaixo temos uma representação desse sistema (NUSSENZVEIG, 2002).

Figura 2: Sistema Massa-Mola. Fonte: Morin (2008).

Empregando a segunda lei de Newton, a equação de movimento do sistema massa- mola é

m¨x = −kx (2.3) x ¨ + (^) mkx = 0 (2.4) x ¨ + ω^20 x = 0, (2.5)

onde ω 02 = k/m.

Além do modelo massa-mola mostrado acima, qualquer sistema pode ser denomi- nado oscilador harmônico se sua dinâmica for representada pela equação de movimento (2.5). Então é válido dizer que tal sistema executa um movimento harmônico simples

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(MHS) (RESNICK; HALLIDAY, 1984). É importante ressaltar que estamos conside- rando apenas pequenas oscilações próxima da posição de equilíbrio.

A solução geral de um sistema que descreve um MHS é bastante conhecida na literatura, expressa por (LANDAU; LIFCHITZ, 2004)

x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), (2.6)

onde A é a amplitude das oscilações e ω 0 a frequência angular^2. O termo (ω 0 t + ϕ) é denominado fase, sendo ϕ a constante de fase.

A substituição t → t + 2π/ω 0 na equação (2.6) resulta em

x(t) = A cos[ω 0 (t + 2π/ω 0 ) + ϕ] (2.7) = A cos[ω 0 t + 2π + ϕ] (2.8) = A cos(ω 0 t + ϕ). (2.9)

Observa-se então que a equação original é restaurada. Fisicamente, o termo 2 π/ω 0 é denominado período τ de oscilação, que é o tempo que o sistema leva para retorna a posição inicial, ou seja, realizar um ciclo. Para o oscilador harmônico, a fórmula é dada por

τ =^2 π ω 0 = 2π

m k

percebe-se que o período de oscilação é independente da amplitude.

A energia total do oscilador harmônico é

E = T + U =^12 m x˙^2 +^12 kx^2 =^12 mω 02 A^2. (2.11)

No gráfico 3 verifica-se que a energia total é constante, conserva-se no decorrer do tempo. Quando a energia potencial U (t) é zero (posição de equilíbrio), a energia cinética T (t) é máxima. Quando o deslocamento é máximo, a energia cinética se anula e temos, neste instante, somente energia potencial. Portanto, de acordo com a equação (2.11), a energia total é proporcional apenas ao quadrado da amplitude.

(^2) O subíndice zero indica a frequência natural do oscilador.

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Usando a componente tangencial, encontra-se a equação de movimento do pên- dulo simples dada por θ^ ¨ +

(g l

sin θ = 0. (2.14)

A equação diferencial acima é não linear e sua solução analítica não se conhece. Contudo, estuda-se seu comportamento para pequenos ângulos, ou seja, sinθ ≈ θ. Assim, reescreve-se a equação (2.14) como

θ^ ¨ + ω^20 θ = 0, (2.15)

com ω^20 = g/l. Vemos que a equação que descreve o pêndulo simples tem a mesma forma da equação (2.5), que caracteriza um MHS.

O período de oscilações do pêndulo foi descoberto por Galileu Galilei quando observava as oscilações de um candelabro, na catedral de Pisa, chegando a conclusão que o período das pequenas oscilações do pêndulo dependia somente do comprimento (isocronismo das pequenas oscilações), dado pela equação abaixo (MONTEIRO, 2006).

τ = 2 π ω 0 = 2π

l g.^ (2.16)

É importante lembrar que o pêndulo simples só descreve um MHS para pequenas oscilações, no qual a força tangencial fica proporcional ao deslocamento, Ftan = −mgθ, constituindo uma força restauradora.

2.2 Oscilações Amortecidas

De acordo com a seção anterior, o movimento de um oscilador harmônico seria contínuo, oscilaria sem cessar. Contudo, na prática, observa-se que o movimento diminui gradualmente. De acordo com Landau e Lifchitz (2004), isso acontece devido a interação do meio com o sistema que tende a retardar o movimento. Por exemplo, quando nos balançamos numa rede, o atrito do supote da rede com a parede e a resistência do ar tendem a reduzir o balanço até parar.

Nessa seção será estudado o movimento de sistemas com a presença de atrito que ocasiona a dissipação de energia em forma de calor. O movimento desses sistemas é amortecido por atrito e denomina-se movimento harmônico amortecido (MHA).

É válido considerar que a força de atrito ou amortecimento é proporcional a velocidade (NUSSENZVEIG, 2002). Assim, equação de movimento de um MHA é dada

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por m¨x = −kx − b x,˙ (2.17)

em que −b x˙ é a força de amortecimento que atua no sentido oposto ao da velocidade (b > 0 ).

Reorganizando a equação (2.17), tem-se:

x ¨ + 2γ x˙ + ω 02 x = 0, (2.18)

sendo γ = 2 bm o coeficiente de amortecimento e ω 02 = (^) mk a frequência de oscilação do sistema livre de atrito (frequência natural).

A solução geral da equação (2.18) diferencial linear de 2a^ ordem com coeficientes constantes é x(t) = Aep^1 t^ + Bep^2 t, (2.19)

onde p 1 , 2 = −γ ±

γ^2 − ω^20. Examina-se a solução, equação (2.19), apresentando uma interpretação física aos resultados. Para isso denomina-se ω c^2 = γ^2 − ω^20 como uma nova frequência, o que possi- bilita 3 tipos de movimento:

  

ω^2 c > 0 Amortecimento Supercrítico ω^2 c = 0 Amortecimento Crítico ω^2 c < 0 Amortecimento Subcrítico

Figura 5: Os três tipos de movimento do oscilador amortecido. Fonte: Adaptado de Thornton e Marion (2011).