Modelos de Probabilidade Discreta, Notas de aula de Probabilidade e Estatistica

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Semana 06 e 07 - Modelos de Probabilidade Discreta

Modelos de fmp discretos

As condições são obrigatórias para um qualquer fmp De modo recíproco, qualquer série que satisfaça essas condições, pode servir como modelo discreto de fmp, como por exemplo as notáveis: binomial: binomial negativa: geométrica: Vandermonde: exponencial:

Experimento binomial e v.a. binomial

Um experimento binomial é composto por uma sequência de n tentativas independentes de Bernoulli, onde n é estabelecido antes do experimento e a probabilidade de sucesso p é constante de uma tentativa para a outra.

Uma v.a. binomial possui n+1 valores:

fmp e fda binomial

Se X tem a distribuição binomial, escreve-se X~Bin(n,p) e o fmp é dado:

fmp da hipergeométrica

Relação entre binomial e hipergeométrica

As médias das v.a. binomial e hipergeométrica são iguais As variâncias das duas v.a. diferem pelo fator (N - n)/(N - 1), denominado fator de correção de população finita. Esse fator é menor do que 1, de forma que a variável hipergeométrica tem variância menor do que a va binomial. O fator de correção pode ser escrito como (1 - n/N)/(1 - 1/N), que é aproximadamente 1 quando n é pequeno em relação a N Se o tamanho da população N e o número S da população M, aumentam mas a relação M/N se aproxima de p, então h(x; n, M, N) se aproxima de b(x; n, p). Para n/N pequeno, os dois são aproximadamente iguais, desde que p não esteja muito perto tanto de 0 como de 1 (regra prática n/N < 0.05 )

fmp binomial negativa

A fmp em relação ao número de falhas até obter o primeiro sucesso (r = 1) é denominada de variável aleatória geométrica e a fmp nb(x;1,p) é denominada distribuição geométrica

Processo de Poisson

Suponha uma experiência aleatória que consiste na contagem de ocorrências ao longo de um intervalo de números reais Se o intervalo pode ser particionado em subintervalos de tamanho suficientemente pequeno, tal que: ● a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo é zero ● a probabilidade de uma contagem em um subintervalo é a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo, e ● a contagem em cada subintervalo é independente de outros subintervalos então o experimento aleatório é chamado de processo de Poisson. A variável aleatória X que é igual ao número de contagens no intervalo é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = média de ocorrências no intervalo

Relação Poisson - Binomial

• Processo de Poisson - exemplo 3.41, pág.

condições da fdp - função densidade de probabilidade

A probabilidade atribuída a qualquer valor específico é zero e a probabilidade de um intervalo nãodepende da inclusão ou não de seus pontos extremos

FDA - função de distribuição acumulada

Relação entre fdp e FDA

Percentis de distribuição contínua