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Lista de exercícios probabilidade e estatística, Exercícios de Estatística

Universidade de Brasília (UnB)Estatística

Distribuição discreta, contínua. Estatística descritiva, inferência e probabilidade

Tipologia: Exercícios

2021

Compartilhado em 09/11/2021

matheus-de-sousa-8
matheus-de-sousa-8 🇧🇷

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bg1
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Estat´ıstica
3aLista de PE
1. Duas bolas s˜ao escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 8 bolas brancas, 4
pretas, e duas bolas laranjas. Suponha que um jogador ganha 2 reais por cada bola
preta selecionada e perde 1 real para cada bola branca selecionada. Seja Xo ganho do
jogador. Quais s˜ao os poss´ıveis valores de X, e quais s˜ao as probabilidades associadas
a cada valor?
2. Seja Xuma vari´avel aleat´oria discreta com P(X= 0) = 0,25, P(X= 1) = 0,125,
P(X= 2) = 0,125 e P(X= 3) = 0,5.
a) Construa o gr´afico da fun¸c˜ao probabilidade de massa e da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao
acumulada.
b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana de X.
c) Calcule a variˆancia de X.
d) Calcule as probabilidades P(0 < X < 1), P(X62), P(X > 3) e P(X > 2,5).
3. Suponha que a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria X´e dada por
F(x) =
0,se x < 0,
1
4,se 0 6x < 1,
1
2,se 1 6x < 2,
11
12 se 2 6x < 3,
1,se x>3.
a) Construa o gr´afico de F(x).
b) Encontre P(X=i), i= 1,2,3.
c) Encontre P1
2< X < 3
2.
4. Seja Xuma vari´avel aleat´oria que representa o n´umero de pe¸cas produzidas por uma
m´aquina em um per´ıodo de um dia. A probabilidade da m´aquina estar desligada em um
dia qualquer ´e 1
2(Se a m´aquina estiver desligada, ent˜ao ela n˜ao produz nenhuma pe¸ca).
A probabilidade da m´aquina estar ligada e produzir ipe¸cas ´e dada por P(X=i) = pi,
i= 1,2,3, . . . Pergunta-se:
a) Qual ´e o valor de p?
b) Qual a probabilidade da m´aquina produzir no m´aximo 5 pe¸cas em um dia?
c) Qual a probabilidade da m´aquina produzir um n´umero par de pe¸cas em um dia?
5. Seja Xuma vari´avel aleat´oria que assume os valores -1, 0 e 1 com as respectivas
probabilidades
P(X=−1) = 0,2,P(X= 0) = 0,5 e P(X= 1) = 0,3.
Encontre a esperan¸ca e a variˆancia de X.
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Universidade de Bras´ılia Departamento de Estat´ıstica

3 a^ Lista de PE

  1. Duas bolas s˜ao escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 8 bolas brancas, 4 pretas, e duas bolas laranjas. Suponha que um jogador ganha 2 reais por cada bola preta selecionada e perde 1 real para cada bola branca selecionada. Seja X o ganho do jogador. Quais s˜ao os poss´ıveis valores de X, e quais s˜ao as probabilidades associadas a cada valor?
  2. Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta com P(X = 0) = 0, 25, P(X = 1) = 0, 125, P(X = 2) = 0, 125 e P(X = 3) = 0, 5. a) Construa o gr´afico da fun¸c˜ao probabilidade de massa e da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada. b) Calcule o valor esperado, a moda e a mediana de X. c) Calcule a variˆancia de X. d) Calcule as probabilidades P(0 < X < 1), P(X 6 2), P(X > 3) e P(X > 2 , 5).
  3. Suponha que a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria X ´e dada por

F (x) =

0 , se x < 0 , (^14) , se 0 6 x < 1 , (^12) , se 1 6 x < 2 , (^1112) se 2 6 x < 3 , 1 , se x > 3. a) Construa o gr´afico de F (x). b) Encontre P(X = i), i = 1, 2 , 3. c) Encontre P

2 < X <^32

  1. Seja X uma vari´avel aleat´oria que representa o n´umero de pe¸cas produzidas por uma m´aquina em um per´ıodo de um dia. A probabilidade da m´aquina estar desligada em um dia qualquer ´e 12 (Se a m´aquina estiver desligada, ent˜ao ela n˜ao produz nenhuma pe¸ca). A probabilidade da m´aquina estar ligada e produzir i pe¸cas ´e dada por P(X = i) = pi, i = 1, 2 , 3 ,... Pergunta-se: a) Qual ´e o valor de p? b) Qual a probabilidade da m´aquina produzir no m´aximo 5 pe¸cas em um dia? c) Qual a probabilidade da m´aquina produzir um n´umero par de pe¸cas em um dia?
  2. Seja X uma vari´avel aleat´oria que assume os valores -1, 0 e 1 com as respectivas probabilidades P(X = −1) = 0, 2 , P(X = 0) = 0, 5 e P(X = 1) = 0, 3. Encontre a esperan¸ca e a variˆancia de X.
  1. A partir de dados do ´ultimo censo, a assistente social de um centro de sa´ude constatou que, para as fam´ılias da regi˜ao, 20% delas n˜ao possuem filhos, 30% possui um filho, 35% possui dois filhos e as fam´ılias restantes se dividem igualmente entre trˆes, quatro ou cinco filhos. a) Determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada da vari´avel N , referente ao n´umero de filhos das fam´ılias na regi˜ao. b) Se uma fam´ılia ´e escolhida aleatoriamente nessa regi˜ao, qual a probabilidade de que o n´umero de filhos nessa fam´ılia seja maior o igual a 2? c) Calcule o valor esperado e a variˆancia da vari´avel N.
  2. Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta com a seguinte distribui¸c˜ao de probabilidades:

P(X = x) = kx, onde X assume os valores 1, 3 , 5 , 7.

a) Determine o valor de k. b) Calcule P(X < 5).

  1. Considere uma moeda viciada onde a probabilidade de ocorrˆencia da face cara ´e quatro vezes a probabilidade de ocorrˆencia da face coroa. Essa moeda ´e jogada trˆes vezes. Seja X o n´umero de caras que aparece. Determine a distribui¸c˜ao de probabilidades de X e tamb´em a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada.
  2. Considere o experimento de jogar dois dados sequencialmente e anotar os resultados. Seja X a vari´avel que computa a soma dos resultados observados nos dois dados. Encontre a distribui¸c˜ao de probabilidades da vari´avel X e calcule sua esperan¸ca.
  3. Suponha que o tempo X, em minutos, necess´arios para um oper´ario processar uma certa pe¸ca ´e uma vari´avel aleat´oria com a seguinte distribui¸c˜ao de probabilidades:

k 2 3 4 5 6 7 P(X = k) 0 , 1 0 , 1 0 , 3 0 , 2 0 , 2 0 , 1 a) Calcule E(X), o tempo m´edio de processamento de uma pe¸ca. b) Calcule Var(X). c) Para cada pe¸ca processada, o oper´ario ganha um fixo de R$ 2,00, mas se ele processa a pe¸ca em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 por minuto poupado (por exemplo, se o oper´ario processa a pe¸ca em 4 minutos, ele recebe a quantia adicional de R$ 1,00). Encontre o ganho m´edio do oper´ario por pe¸ca processada.

  1. Um pintor produz pelo menos um quadro por dia (esse pintor pode produzir 1, 2 , 3 ,... quadros por dia). Seja X uma vari´avel aleat´oria que denota o n´umero de quadros produzidos por esse pintor em um dia qualquer. A distribui¸c˜ao de probabilidades de X ´e dado por P(X = k) = (0, 5)k, para k = 1, 2 ,... a) Calcule P(X < 10). b) Calcule E(X).
  1. Uma companhia de seguros vendeu ap´olices a 20 pessoas com mesma idade e condi¸c˜oes de sa´ude. De acordo com as t´abuas atuariais, a probabilidade de que uma pessoa nas condi¸c˜oes dos assegurados sobreviva 10 anos `a data dos contratos ´e de 0,9. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: a) todas as pessoas sobrevivem; b) nenhuma sobrevive; c) sobrevivem ao menos 5 pessoas; d) sobrevivem ao menos 15 pessoas; e) morrem exatamente 3 pessoas; f) morrem no m´aximo 2 pessoas; g) morrem no m´ınimo 5 pessoas; h) valor m´edio e variˆancia do n´umero sobreviventes; i) valor m´edio e variˆancia do n´umero de mortos.
  2. Uma certa doen¸ca pode ser curada atrav´es de procedimento cir´urgico em 80% dos casos. Dentre os que tem essa doen¸ca, sorteamos 15 pacientes que ser˜ao submetidos `a cirurgia. A partir de alguma suposi¸c˜ao adicional que julgue necess´aria, calcule as probabilidades abaixo. a) Todos serem curados. b) Pelo menos dois n˜ao serem curados. c) Ao menos 10 ficarem livres da doen¸ca.
  3. Bact´erias de uma certa classe aparecem na ´agua `a taxa m´edia de 0,8 por cm^3. Calcule a probabilidade de que em 5 cm^3 de ´agua tenhamos: a) no m´ınimo duas bact´erias; b) pelo menos 13 bact´erias; c) nenhuma bact´eria; d) no m´aximo sete bact´erias.
  4. A taxa de suic´ıdios num certo pa´ıs ´e de 1 para cada 250.000 habitantes por semana. Considere uma cidade de 500.000 habitantes e responda aos itens abaixo. a) Qual a probabilidade de ocorrerem 6 ou mais suic´ıdios numa semana? b) Vocˆe utilizaria o mesmo modelo se em vez de suic´ıdios a quest˜ao tratasse da dengue? Justifique.
  5. Por engano 3 pe¸cas defeituosas foram misturadas a boas pe¸cas formando um lote com 12 pe¸cas no total. Escolhendo-se ao acaso, com reposi¸c˜ao, 4 dessas pe¸cas, determine a probabilidade de encontrar: a) pelo menos 2 pe¸cas defeituosas; b) no m´aximo uma pe¸ca defeituosa; c) no m´ınimo uma pe¸ca boa.
  6. Considere uma urna com 10 bolas brancas e 20 bolas vermelhas. Retira-se uma amostra de 5 bolas, uma a uma. Qual a probabilidade de 3 bolas serem brancas se:

a) a amostra for sem reposi¸c˜ao? b) a amostra for com reposi¸c˜ao?

  1. Quando a moeda 1 ´e lan¸cada, aparece cara com probabilidade 0,4. Quando a moeda 2 ´e lan¸cada, aparece cara com probabilidade 0,7. Uma dessas moedas ´e escolhida aleatoriamente e lan¸cada 10 vezes. a) Qual ´e a probabilidade de que a moeda mostre cara exatamente 7 vezes? b) Tendo em conta que no primeiro lan¸camento apare¸ca cara, qual ´e a probabilidade condicional de que apare¸ca cara exatamente 7 vezes?
  2. O n´umero de vezes que uma pessoa contrai um resfriado em um determinado ano ´e uma vari´avel aleat´oria de Poisson com parˆametro λ = 5. Suponha que uma nova droga (com base em grandes quantidades de vitamina C) acaba de ser comercializada e que ela reduz o parˆametro de Poisson a λ = 3 para 75% da popula¸c˜ao. Para os outros 25% da popula¸c˜ao, a droga n˜ao tem efeito significativo sobre o resfriado. Se um indiv´ıduo experimenta a droga por um ano e tem 2 resfriados nesse per´ıodo, qual a probabilidade de que a droga seja ben´efica para ele?
  3. Uma vari´avel aleat´oria Y tem densidade Poisson com parametro λ = 2. Obtenha:

a) P(Y < 2) b) P(2 6 Y < 4) c) P(Y > 0) d) P(Y = 1|Y < 3).

  1. A aplica¸c˜ao de fundo anti-corrosivo em chapas de a¸co de 1 m^2 ´e feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma vari´avel aleat´oria Poisson de parˆametro λ = 1 por m^2. Se uma chapa ´e sorteada ao acaso para ser inspecionada, calcule a probabilidade de: a) encontrarmos pelo menos 1 defeito; b) no m´aximo 2 defeitos serem encontrados; c) encontrar de 2 a 4 defeitos; d) n˜ao mais de um defeito ser encontrado.
  2. Seja X uma vari´avel aleat´oria que denota o n´umero de navios petroleiros que chegam a determinada refinaria por dia. Vamos considerar que X segue uma distribui¸c˜ao de Poisson com parˆametro λ = 2. As atuais instala¸c˜oes do porto podem atender no m´aximo trˆes petroleiros por dia. Se mais de trˆes petroleiros aportarem por dia, os excedentes a trˆes dever˜ao seguir para outro porto. a) Em um dia qualquer, qual ´e a probabilidade de se precisar mandar petroleiros para outro porto? b) De quanto dever˜ao as atuais instala¸c˜oes ser aumentadas para permitir manobrar todos os petroleiros, em pelo menos 90% dos dias? c) Qual a probabilidade de, em um dia qualquer, exatamente dois petroleiros terem que ir para outro porto? d) Qual ´e o n´umero esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente neste porto?

Universidade de Bras´ılia Departamento de Estat´ıstica

Respostas

  1. Seja X o ganho do jogador, ent˜ao

P(X = −2) =^2891 , P(X = −1) =^1691 , P(X = 0) = 911

P(X = 1) =^3291 , P(X = 2) = 918 , P(X = 4) = 916

  1. b) 1,875. c) 1,61. d) Os valores s˜ao, respectivamente, 0; 0,5; 0 e 0,5.
  2. b) As probabilidades s˜ao

P(X = 1) =^14 , P(X = 2) = 125 e P(X = 3) = 121.

c) P

2 < X <^32

  1. a) 1/3. b) 1/162. c) 5/8.
  2. E(X) = 0, 1 e Var(X) = 0, 49.
  3. b) 0,5. c) 1,64.
  4. a) 105/176. b) 35/44.
  5. P(X = 0) = 1251 , P(X = 1) = 12512 , P(X = 2) = 12548 e P(X = 3) = 12564.
  6. E(X) = 7.
  7. a) 4, 6. b) 2, 04. c) 2, 75.
  8. a) 511/512. b) 2.

c) R$ 3000, 00.

  1. O jogo n˜ao ´e justo para o jogador.
  2. a) 2 + 2p(1 − p). b) 6p^4 − 12 p^3 + 3p^2 + 3p + 3.
  3. p∗.
  4. p > 1 / 2.
  5. a)

k

5

)k ( 1 5

) 25 −k

b) 0,0274; 0,0038; 0,9962; 0,9726; 0,3933; 0,2066; 0,3225 e 0,1358. c) A aleatoriedade das respostas.

  1. a) 0,1216. b) 0. c) 1. d) 0,9888. e) 0,1901. f) 0,6769. g) 0,0432. h) 18 e 1,8. i) 2 e 1,8.
  2. a) 0,0352. b) 0,8329. c) 0,9389.
  3. a) 0,9084. b) 0,0003. c) 0,0183. b) 0,
  4. a) 0,0166. b) Sim.
  5. a) 0,2617. b) 0,7383. c) 0,9961.
  6. a) 0, 1599.