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IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Engenharia e Ciência da Computação
Cálculo 1
Módulo 14 – Regra da Cadeia
Teorema: Regra da Cadeia
Se y = f ( u ), u = g ( x ), e as derivadas du
dy e dx
du existem, ambas, então a função
composta definida por y = f ( g ( x ))tem derivada dada por
f ' ( u ) g '( x ) f '( g ( x )) g '( x ) dx
du
du
dy
dx
dy = = =
Dem: Se F ( x )= f ( g ( x )), pela definição alternativa de derivada, temos
x a
f gx f g a F x x a −
→
'( ) lim
Iremos multiplicar o numerador e o denominador por g ( x )− g ( a ), obtendo,
x a
gx ga
g x ga
f g x f ga
g x ga
g x ga
x a
f gx f ga F x x a x a −
→ →
lim ( ) ( )
'( ) lim
Como u = g ( x )e u 1 (^) = g ( a ), podemos escrever o limite acima como,
.lim
'( ) lim
1
1
1
f u g x f g x g x x a
gx ga
u u
f u f u F x u u x a
→ →
Exemplo 1: Calcule a derivada de ( ) 3 5
2 f x = x −.
Observando a função f dada podemos escrever
2 u = x − e y = u, e, pela Regra da Cadeia,
2 −
x
x x dx u
du
du
dy
dx
dy
Exemplo 2: Calcule a derivada de
10 f ( x )= ( 3 x − 2 ).
9 9 f ' ( x )= 10 ( 3 x − 2 ) 3 = 30 ( 3 x − 2 )
OBS: Lembre-se que você deve derivar a função de “fora para dentro”, ie, da função mais
externa, para mais interna.
Exercício 1: Calcule a derivada da função dada.
a)
3 2 f ( x )= 5 x − x + 4 b)
4 7 f ( x )= ( x − 4 x + 4 )
c) 2 3 2 ( 4 6 7 )
x x
f x d)
2 4 f ( x )= ( 7 x + x + 6 )
e)
3 2 2 f ( x )= ( 6 x − 7 ) ( 8 x + 9 ) f)
6
2
x
f x x
g) 5 5 32
x
f x h)
3 3 2 f ( x )=( 4 x + 2 ) ( 2 x + 3 x )
Exercício 2: (i) Determine equações da tangente e da normal ao gráfico da equação em P ;
(ii) Determine a coordenada- x no gráfico em que a tangente é horizontal.
a) ( 4 8 3 ) ;
2 4 y = x − x + P ( 2 , 81 ) b) ;
5
x
f x x P ( 1 , 32 )
Exercício 3: Calcule a primeira e a segunda derivadas.
a) f ( x )= 3 x + 1 b)
5 f ( x )= ( 4 x + 7 )
Exercício 4: Se um objeto de massa m tem velocidade v , então sua energia cinética K é
dada por
2
K = mv. Se v é uma função do tempo t , use a regra da cadeia para
estabelecer uma fórmula para dt
dK .
Derivando da função mais externa
(potência 10) para mais interna (3x-2)
Exercício 5: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que
y = f ( x ), calcule y '.
a) 8 10
2 2 x + y = b) 2 1
3 2 3 x + x y + y =
c) x + y = 100 d) 7
2 x + xy =
Exercício 6: Determine o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação em P.
a) xy + 16 = 0 ; P ( − 2 , 8 ) b) 2 1 0
3 2 3 x − x y + y − = ; P ( 2 ,− 3 )
Exercício 7: Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que
y = f ( x ), calcule y '',se existir.
a) 3 4 4
2 2 x + y = b) 1
3 3 x − y =
Respostas
Exercício 1 : a) 3 2 2 3 ( 5 4 )
x x
x f x ; b)
3 4 6 f ' ( x )= 28 ( x − 1 )( x − 4 x + 4 )
c) 2 4 ( 4 6 7 )
x x
x f x ;
d)
2
2 3
x
x f x x x ;
e) ' ( ) 2 ( 6 7 ) ( 8 9 )( 168 112 81 )
2 2 2 f x = x − x + x − x + ;
f)
5 2 2 3
f '( ) x 12 x x x x
g) 5
6 4 5 ' ( ) 5 ( 32 )
− f x = − x x − ;
h) ' ( ) 12 ( 4 2 ) ( 2 3 )( 6 2 5 1 )
2 3 3 2 f x = x + x + x x + x + x +
Exercício 2 : a) (i) y − 81 = 864 ( x − 2 ); ( 2 ) 864
y − = x ; (ii) 2
b) (i) y = 32 ; x = 1 ; (ii) ± 1
Exercício 3 : a) 2
1 2 ( 3 1 )
x
f x ; 2
3 4 ( 3 1 )
x
f x
b)
4 f ' ( x )= 20 ( 4 x + 7 ) ;
3 f ' '( x )= 320 ( 4 x + 7 )
Exercício 4 :
dt
dv mv dt
dK
Exercício 5 : a)
y
x y
= ; b) 2 2
2
x y
x xy y
c) x
y y ' =− ; d) x
x xy y y
Exercício 6 : a) 4; b)
23
Exercício 7 : a) 3 4
y
y = − ; b) 5
y
x y =−
