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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Eduan de Oliveira Claro
Prof.ª Sônia
Física Experimental 1 - 198
Maringá, 25 de agosto de 2009
Resumo
No experimento reproduzido o objetivo foi deduzir as equações que regem o movimento de um corpo que se encontra em movimento circular uniforme. Um corpo com massa conhecida foi preso a uma plataforma rotatória. Após a determinação do raio de sua trajetória e a força resultante do sistema, foi então colocado em MCU. Através de uma série de medidas feitas a partir de forças resultantes diferentes a equação do movimento do corpo foi encontrada. O resultado obtido satisfaz a teoria do movimento circular uniforme e sua exatidão está de acordo com os padrões esperados para o tipo de aparelhagem utilizada.
I – Introdução
Quando uma partícula se move ao longo de uma circunferência com velocidade escalar constante, diz-se que está em movimento circular uniforme. Nessa situação a velocidade escalar, que é o módulo do vetor velocidade, permanece constante pois não há componente da aceleração paralelo (tangente) à trajetória. A aceleração atua totalmente perpendicular (normal) à trajetória e tem sentido apontado para o centro da circunferência, causando mudanças apenas na direção do vetor velocidade. A aceleração, chamada nesse caso de aceleração centrípeta (palavra cujo significado é “que se dirige para o centro”), pode ser relacionada de forma simples com o Raio e com a Velocidade Escalar da partícula. [1]
Para tal demonstração foram analisados os dados de uma partícula que se encontra em MCU. Na figura 1 (A), determinaram-se dois pontos A e B, e as velocidades respectivas em cada um dos pontos. Em (B), a variação do vetor velocidade ∆ foi encontrada. Em (C), o deslocamento escalar ∆S, que é o segmento de reta. [2]
Figura 1 [2] (A) - Movimento circular uniforme de uma partícula indo de uma posição A para B. VA = V (^) B = V. (B) - Determinação do vetor diferença ∆. (C) - Medida do arco ∆S =.
Como os triângulos de (B) e (C) são semelhantes, pode-se chegar à seguinte relação:
O módulo da aceleração média durante o intervalo de tempo ∆ é, portanto:
E através do limite dessa expressão quando , obtêm-se a aceleração instantânea denominada :
A fórmula da aceleração centrípeta, que é a única componente ativa da aceleração no MCU, foi então encontrada. [1]
Através da segunda lei de Newton,. Como no movimento circular uniforme existe uma aceleração, obrigatoriamente deverá existir alguma força resultante que atua no sistema responsável por essa aceleração. Tal força é chamada força centrípeta , tem mesma direção e sentido da e é calculada através da expressão:
apontado para o centro da trajetória. Através do “esquema” citado acima foi possível calcular já que a força resultante do sistema é igual à força peso do corpo suspenso. Um corpo suspenso de massa conhecida é pendurado. Sua força peso e consequentemente a são então determinadas. Para que essas duas forças sejam realmente iguais o centro de massa da massa M é alinhado ao centro de rotação do suporte lateral por meio do ajuste da presilha móvel. O anel móvel é então posicionado em torno do disco indicador para indicar a posição exata que o sistema deverá manter quando estiver em movimento_._ O corpo suspenso é desligado do sistema e, através de giros manuais, a plataforma é colocada em rotação. Para que o movimento seja realizado com velocidade escalar constante e para que a força resultante seja realmente igual à força peso do corpo suspenso , o anel deve sempre ficar entre o disco indicador.
Por meio de cronômetros o intervalo de tempo a cada dez rotações é medido cinco vezes. Calcula-se então o tempo médio de tais medidas e finalmente o período. Os resultados são apresentados na tabela 1. Tabela 1 – Dados obtidos no Procedimento experimental 1 49033,5 13,66 13,75 13,85 13,78 13,81 13,77 (1,377 ± 0,007) 98066,5 9,91 9,87 9,86 9,72 9,80 9,83 (0,983 ± 0,007) 117091,5 9,12 9,13 9,15 9,10 9,08 9,116 (0,912 ± 0,002) 136116,5 8,31 8,35 8,31 8,32 8,25 8,308 (0,831 ± 0,004) = massa do corpo em estudo = (158,1 ± 0,1) g = raio da trajetória = (15,00 ± 0,05) cm
Como a força resultante, que é a força peso do corpo suspenso , é constante durante o movimento, trata-se de um movimento circular uniforme. Pode-se construir, a partir de e ; a equação: (Eq. 1)
E como tais grandezas são conhecidas o valor da velocidade é calculado para cada situação, ou seja, para cada valor de força resultante. Os resultados são descritos na tabela 2.
Tabela 2 – Resultados baseados nos dados da tabela 1
Medida
N°
Força Período Velocidade
1 (490 ± 1)10² (1,377 ± 0,007) (68,4 ± 0,6) 2 (981 ± 1)10² (0,983 ± 0,007) (96 ± 1) 3 (1171 ± 1)10² (0,912 ± 0,002) (103,3 ± 0,6) 4 (1361 ± 1)10² (0,831 ± 0,004) (113,4 ± 0,9)
O objetivo geral dos próximos passos é encontrar a relação matemática entre a velocidade de rotação e a força centrípeta, que é a força resultante em um MCU.
Pela teoria sabe-se que a velocidade de um corpo com massa constante em MCU pode ser influenciada pela força resultante e pelo raio da trajetória. Como nesse procedimento foram mantidos constantes a massa do corpo e o raio da trajetória, a relação entre velocidade e força centrípeta pode ser analisada diretamente.
II.2 – Etapa 1
Nesta etapa o objetivo foi determinar as equações de movimento de um corpo em movimento circular uniforme, através da normalização dos dados obtidos em II.1.
Através das informações contidas na tabela 2, os valores de e foram normalizados e são apresentados na tabela 3.
Tabela 3 – Dados normalizados de força e velocidade Medida N° Força () Velocidade () 1 1 1 2 2,00 1, 3 2,39 1, 4 2,78 1,
Analisando as duas grandezas foi encontrada a seguinte proporcionalidade: (Eq. 2)
E para que isso possa ser descrito em forma de uma função: (Eq. 3)
O gráfico x foi construído e a partir dele calculado o valor da constante , já que ela é igual ao coeficiente angular da reta do gráfico. (figura 3)
(Eq. 10)
A partir da segunda lei de Newton, , isola-se a parcela que representaria a aceleração no caso da Eq. 10. E como em um movimento circular uniforme a força resultante é na verdade a força centrípeta, a aceleração também é centrípeta. (Eq. 11)
O desvio de 2,18% é razoável se tratando do tipo de aparelhagem usada e dos erros sistemáticos. O objetivo foi alcançado. A partir de medições experimentais consegui-se encontrar as equações que determinam o movimento de um corpo em MCU.
II.3 – Etapa 2
Nesta etapa o objetivo foi determinar as equações de movimento de um corpo em movimento circular uniforme, através da linearização dos dados obtidos em II.1.
Através dos valores de e contidos na tabela 2, foi confeccionado o gráfico x. (figura
Figura 4 - Gráfico da curva x
Como o gráfico x resultou em uma curva, é possível deduzir a seguinte proporcionalidade entre as duas grandezas: (Eq. 12)
E então, transformando em uma função obtém-se: (Eq. 13)
Para descobrir os valores das constantes e , a Eq. 13 foi linearizada e é apresentada abaixo: (Eq. 14)
O gráfico x foi então construído. (figura 5)
Figura 5 – Gráfico da reta x
Como é igual ao coeficiente angular da reta: (Eq. 15)
Atualizando a Eq. 14: (Eq. 16)
A partir dos dados obtidos na figura 5 os valores de e foram substituídos na Eq. 16, e o valor de foi então encontrado: (Eq. 17)
Reformulando a Eq. 13, obtém-se: (Eq. 18)
Analogamente aos passos da etapa II.2, para que a Eq. 18 valha para qualquer situação é necessário generalizá-la. Sabendo que na verdade representa a divisão da massa do corpo pelo raio da sua trajetória, tem-se: (Eq. 7)
