NavierStokes - UNB, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Soluções das Equações de

Navier-Stokes

Monitor: Nuno Jorge S. Dias

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Equações de Navier-Stokes

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Equações de Navier-Stokes

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Cartesian Coordinates Cylindrical Coordinates

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas Escoamento em Regime Permanente: Campo de Velocidade:

∂ t

u=u( y)→ ∂ u ∂ x

Equações de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas, reduzem-se a: y→ ∂ p ∂ y

z→ ∂ p ∂ z

dp dx +μ d 2 u d y 2 p= p ( x)

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Análise de escalas aos termos de advecção e de difusão ( u ∂ u ∂ x )

U

2 L

2 u ∂ x 2

U

L

2 ∂ 2 u ∂ y 2

U

h 2

2 u ∂ y 2

2 u ∂ x 2 0 =− d p d x +μ d 2 u d y 2 Então para a direção “x”: ∂ p ∂ x

pL− p 0 L =−G p 0

p L

=−G

μ d 2 u d y 2

d p d x Integrando duas vezes em relação a y u=−

G

2 μ y 2 +C 1 y +C 2 As constantes de integração são encontradas através das condições de contorno do problema

Monitor: Nuno Jorge S. Dias L d u Caso II: Escoamento acontece por deslizamento da placa superior; não existe gradiente de pressão U u=−

G

2 μ y 2 +C 1 y +C 2 Condições de Contorno u ( y=d )=U ; u( y= 0 )= 0 Aplicando as Condições de Contorno em: u ( y= 0 )= 0 ⇒C 2 = 0 u ( y=d )=U ⇒C 1 =

U

d u ( y)=

U

d y Conhecido como escoamento de Couette entre placas paralelas

Monitor: Nuno Jorge S. Dias L d u Caso III: Escoamento acontece pela existência de um gradiente de pressão ; placa superior e inferior imóvel p 0 p L u=−

G

2 μ y 2 +C 1 y +C 2 Condições de Contorno u ( y=d )= 0 ; u( y= 0 )= 0 Aplicando as Condições de Contorno em: u ( y= 0 )= 0 ⇒C 2 = 0 u ( y=d )= 0 ⇒ C 1 =

G

2 μ d u ( y)=

G

2 μ y (d − y) Conhecido como escoamento de Hagen-Poiseuille entre placas paralelas

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Escoamento em Tubo Capilar: Hagen-Poiseuille r z L p 0 pL Considerações do problema

1. Comprimento (L) muito maior que o raio (a)
2. Condição de Axissimetria
3. Escoamento Unidirecional
4. Escoamento em Regime Permanente L≫a ∂ ∂ θ

uθ= 0 ∂ ∂ t

u=u( r) ê (^) z =uz (r ) O escoamento se desenvolve na direção z

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Equação da Continuidade 1 r ∂(r ur) ∂ r

∂ uz ∂ z = 0 r∼a^ ;^ z∼L^ ;^ uz∼U^ ur∼U^ a L ⇒ u r ≪ 1 ⇒ u r

Desta forma as equações de Quantidade de Movimento ficam :

r ∂(r ur) ∂ r

∂ uz ∂ z

r → 0 =− ∂ p ∂ r θ→ 0 =− ∂ p ∂ θ z → 0 =− ∂ p ∂ z +μ (

2 u z ∂ r 2

r ∂ u z ∂ r ) 1 r d dr ( r d uz dr )

r [^ r d 2 uz d r 2

d uz dr ]

d 2 uz d r 2

r d uz d r Nota que: ∂ p ∂ z

pL− p 0 L =−G p 0 >^ pL=−G

Monitor: Nuno Jorge S. Dias uz (r)=−

G

4 μ r 2 +C (^2) Condição de Contorno uz (r=a)= 0 O problema a ser resolvido é:

=> u

z (r)=^ G a 2 4 μ [

( r a ) 2 ] ● (^) Velocidade Máxima (centro do capilar) uz (r= 0 )= G a 2 4 μ

Monitor: Nuno Jorge S. Dias ● (^) Vazão Q=∫ u. dA=∫ 0 a u(r) 2 π r dr a (^2) π r d r d r Q=∫ 0 a [

G

4 μ

(a

2 −r 2

2 ] dr= π G a 4 8 μ Q= π G a 4 8 μ A conhecida Equação de Hagen-Poiseuille Por outro lado: (^) Q=U A⇔Q=U π a 2 Igualando à Eq. de Hagen-Poiseuille: U = G a 2 8 μ Comparando a velocidade média com a máxima: U^ =^

u z (r= 0 )

Monitor: Nuno Jorge S. Dias ● (^) Fator de Atrito no Capilar Q= π a 4 G 8 μ ⇔π a 2 U = π a 4 Δ p 8 μ L ⇔ Δ p= 8 μ L U a 2 ⇔ Δ p=

64 ν ρ L U d 2 Δ p=

64 νρ L U d 2 ⇔Δ p= (

ρ(U ) 2 ) 64 ν L d 2 U ⇔ Δ̃ p=

U d ν d L ⇔ ̃Δ p=

R e x R e x = U d ν d L =R e d L

ν= μ ρ Viscosidade cinemática

Monitor: Nuno Jorge S. Dias Tubo Capilar: Viscosímetro Medindo a Vazão e a Diferença de Pressão pode-se aferir sobre a viscosidade do fluido Q=∫ u. dA=∫ 0 a u(r) 2 π r dr=∫ 0 a 2 π u r dr Integração por partes: (^) ∫ v. ds=v s−∫ s dv v=u ⇒ dv=du⇔ dv= γ˙ dr (^) γ˙= du dr ds=r dr ⇐ s= r 2 2 Segue que: (^) Q= 2 π

[(

u r 2

a −∫ 0 a r 2 γ˙ dr

]

⇔Q=−π∫ 0 a r 2 γ˙ dr