Neja mat mod2 VI, Notas de estudo de Matemática

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MATEMÁTICA

e suas

TECNOLOGIAS

Professor

Volume 1 s Módulo 2 s Matemática

GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Governador Sergio Cabral

Vice-Governador Luiz Fernando de Souza Pezão

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

Secretário de Educação Wilson Risolia

Chefe de Gabinete Sérgio Mendes

Secretário Executivo Amaury Perlingeiro

Subsecretaria de Gestão do Ensino Antônio José Vieira De Paiva Neto

Superintendência pedagógica Claudia Raybolt

Coordenadora de Educação de Jovens e adulto Rosana M.N. Mendes

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Secretário de Estado Gustavo Reis Ferreira

FUNDAÇÃO CECIERJ

Presidente Carlos Eduardo Bielschowsky

PRODUÇÃO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)

Diretoria Adjunta de Extensão Elizabeth Ramalho Soares Bastos Coordenação de Formação Continuada Carmen Granja da Silva

Coordenação Geral de Design Instrucional Cristine Costa Barreto

Coordenação Geral Agnaldo Esquincalha Gisela Pinto

Coordenador Geral de Material Didático Wallace Vallory Nunes Elaboração André Luiz Cordeiro dos Santos André Luiz Martins Pereira Cleber Fernandes Érika Silos de Castro Gabriela dos Santos Barbosa Heitor Barbosa Lima de Oliveira Josemeri Araujo Silva Rocha Leo Akio Yokoyama Luciana Felix da Costa Santos Luciane de Paiva Moura Coutinho Patrícia Nunes da Silva Telma Alves

Coordenação de Design Instrucional Flávia Busnardo Paulo Vasques de Miranda

Design Instrucional Juliana Bezerra

Coordenação de Produção Fábio Rapello Alencar

3URMHWR*Ui¿FRH&DSD Andreia Villar

Imagem da Capa e da Abertura das Unidades Sami Souza

Diagramação Alessandra Nogueira Alexandre d' Oliveira André Guimarães Andreia Villar Bianca Lima Carlos Eduardo Vaz Juliana Fernandes

Ilustração Bianca Giacomelli Clara Gomes Fernando Romeiro Jefferson Caçador Sami Souza 3URGXomR*Ui¿FD Verônica Paranhos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 5

6OLUMEs-ØDULOs-ATEMÉTICAs5NIDADE

Conjuntos

André Luiz Cordeiro dos Santos, Gabriela dos Santos Barbosa, Josemeri Araujo Silva Rocha (coordenadora) e Luciane de Paiva Moura Coutinho

Introdução

Caro professor, a Unidade 1 do material do aluno traz algumas situações que envolvem o conceito de conjuntos. Ao iniciar este módulo, é importante que você tenha uma visão ampla da proposta apresentada.

A abordagem dos três objetivos destacados no módulo do aluno (reco- nhecer conjuntos e elementos, e definir relações de pertinência e inclusão; re- solver problemas envolvendo propriedades e operações com conjuntos; repre- sentar subconjuntos dos números reais e realizar operações com eles) pode ser enriquecida com algumas das atividades propostas neste material. A equipe que produziu este material procurou, a todo o momento, elaborar propostas que pu- dessem efetivamente ajudá-lo a desenvolver seu trabalho pedagógico nas aulas de matemática.

Como mostra o material do aluno, trabalhamos com a ideia de conjuntos em nosso dia a dia: ao fazer a relação de compras num supermercado, ao arrumar ma- teriais em prateleiras etc. Com as atividades aqui apresentadas, procuramos ampliar a possibilidade de resolver situações que envolvem os objetivos propostos.

Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade disparadora. Apresentaremos duas opções para esta atividade. Na primeira delas, chamada O barbeiro matemático, os alunos deverão refletir sobre um clássico pro- blema de linguagem, conhecido como o problema do barbeiro de Sevilla, que en- contra um paralelo na teoria dos conjuntos com o paradoxo de Russell. Na segunda opção, os alunos poderão jogar online e deverão classificar objetos, assim como organizá-los em conjuntos, segundo critérios previamente definidos no jogo.

Na Seção 1, você pode optar pela atividade Conjunto das notícias, em que os alunos deverão realizar uma pesquisa de opinião com os colegas e elaborar um diagrama, ou pela atividade Pesquisando na livraria, em que os alunos serão cha- mados a solucionar um problema relacionado à busca de livros, utilizando como metodologia a teoria dos conjuntos.

M

ATERIAL

DO

P

ROFESSOR

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 7

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo Unidade

Estimativa de aulas para essa unidade

Matemática 1 2 11 4 aulas

Titulo da unidade Tema

Conjuntos Conjuntos

Objetivos da unidade

Reconhecer conjuntos e elementos, e definir relações de pertinência e inclusão.

Resolver problemas, envolvendo propriedades e operações com conjuntos.

Representar subconjuntos dos números reais e realizar operações com eles.

Seções

Páginas no material do aluno

Para início de conversa... 5 a 8

Seção 1 – Conjuntos e elementos 9 a 26

Seção 2 – Conjuntos Numéricos 26 a 35

Seção 3 – Subconjuntos da Reta Real: os intervalos 35 a 42

Avaliação 43

O que perguntam por aí? 43

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.

Applets

São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis para os alunos.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

Seção 2 – Conjuntos numéricos

Páginas no material do aluno

26 a 35

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Bingo dos conjuntos

Uma cartela para cada alu- no ou dupla de alunos, fichas para sorteio e planilha para marcação como as que seguem no pen drive

Trata-se de um jogo de bingo onde o aluno deverá identificar o lugar adequado na cartela para marcação do número sorteado.

A atividade pode ser reali- zada individu- almente ou em dupla.

30 minutos

Pesquisando os conjuntos numéricos no dia a dia

Classificados de jornais e revis- tas, bulas de remédio, livros de receita, pan- fletos de cam- panhas publici- tárias, extratos bancários, contas de água, luz e telefone, uma cola, uma tesoura e uma cartolina ou pa- pel pardo para cada grupo.

A atividade sugere uma pesquisa de situações cotidianas onde os números naturais, inteiros, racionais e reais podem estar presentes.

A atividade pode ser realizada em grupos de quatro a cinco componentes.

30 minutos

Seção 3 – Subconjuntos da reta real: os intervalos

Páginas no material do aluno

35 a 42

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Memória dos intervalos

Para cada du- pla, um con- junto de cartas como o que foi disponibi- lizado no pen drive

Como num jogo da memória tradicional, os alunos deverão formar pares de cartas que, neste caso, não serão idênticas, mas deverão pertencer ao mesmo intervalo.

Duplas. 30 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 11

Tipos de

Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Construindo segmentos e estimando raízes quadradas

Um par de esquadros, um compasso, uma calcula- dora e uma folha de papel A4 para cada trio. Um par de esquadros e compasso para lousa.

Nesta atividade, com o auxilio de construções geométricas, propomos a representação do intervalo ª¬ (^)  2 , 3 º¼ na reta numérica dos reais

Duplas ou trios.

30 minutos

Avaliação

Páginas no material do aluno

43

Tipos de

Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Avaliação da Unidade

Cópias da folha de atividades

Incentivar o registro das aprendizagens por meio de algumas perguntas que não privilegiem exclusivamente a linguagem matemática

Individual 40 minutos

O que perguntam por aí?

Páginas no material do aluno

43

Tipos de

Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Avaliação

Cópia da folha de atividades

Questão dissertativa que complementa a seção “O que perguntam por aí? ”

Turma orga- nizada em duplas ou indi- vidualmente

10 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 13

Caso ninguém da turma tenha conseguido perceber que a situação do barbeiro de Sevilha gera um paradoxo,

uma ideia é fazer com que os alunos pensem nas duas possibilidades de classificação/organização de o barbeiro fazer

ou não sua própria barba.

Provoque seus alunos com as perguntas:

O que acontecerá se ele fizer a própria barba?

E se ele não fizer a própria barba?

Em seguida, analise com sua turma as consequências dessa classificação, em relação às duas características do

barbeiro dadas inicialmente. Eis uma sugestão:

a. Faz a própria barba.

Consequência: Se fizer a própria barba, não pode fazer a própria barba, para não violar a característica 2.

b. Não faz a própria barba

Consequência: Se não fizer a própria barba, então tem de fazer a própria barba, devido à característica 1.

Esse é um clássico problema da linguagem que encontra um paralelo na teoria dos conjuntos, com o paradoxo

de Russell. Os paradoxos originaram as famosas crises nos fundamentos matemáticos e causaram grande incômodo

para os matemáticos que buscavam uma matemática perfeita, completa e livre de contradições. Em 1931, os Teore-

mas de Gödel vêm como resposta à tentativa sobre-humana de fazer a Matemática uma espécie de conhecimento

intocável. Após 1931, muitos matemáticos ainda continuavam incomodados, agora não mais com os paradoxos, po-

rém com a tentativa de assimilação da prova que abalaria toda uma estrutura e provaria que a Matemática, apesar de

bela e fascinante, pode não ser perfeita.

É claro que nosso objetivo não é ir tão longe com nossos alunos, mas que tal discutir com a turma sobre a ideia

de paradoxo? Peça para que eles pensem em exemplos de situações paradoxais. Pergunte-os sobre o que pensam a

respeito da possibilidade de existirem paradoxos na Matemática. Que tal dizer a seus alunos que a Matemática por

algum tempo enfrentou uma grande crise, devido aos paradoxos que surgiram?

Essa atividade que acabamos de realizar é um caminho interessante para mostrar aos seus alunos que o racio-

cínio matemático pode ir muito além dos óbvios cálculos

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Jogando com objetos

computadores com acesso à Internet ou computador com datashow e acesso à In- ternet

Neste jogo online, os alunos deverão classificar objetos e organizá-los em conjuntos, segundo critérios previa- mente escolhidos pelo pro- fessor (ou até mesmo pelos alunos).

Individual- mente ou em dupla

30 minutos

Aspectos operacionais

Professor, leve sua turma até o laboratório de informática de sua escola. Em seguida, peça para que os alunos acessem o link http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/objetos/classifique_i2.htm.

Para começar o jogo, escolha ou peça para que os alunos escolham um critério de classificação na caixa de seleção ao lado da frase “Vamos formar um conjunto de”. São quatro opções de classificação:

ƒ Objetos de Madeira

ƒ Objetos de Plástico

ƒ Material de Escrita

ƒ Objetos de Metal

Em seguida, peça para que os alunos arrastem cada objeto que atende ao critério escolhido para o interior da região fechada. Após arrastarem todos os objetos que atendam ao critério selecionado para a região fechada, peça que eles cliquem em “Conferir” para ver se o conjunto formado obedece ao critério estabelecido.

Clicando em “Novo Jogo”, os alunos poderão jogar novamente, modificando o critério estabelecido na partida anterior.

Ao final do jogo, você pode sugerir dois desafios à sua turma. Basta clicar em ”Desafio” e pedir para que eles reflitam sobre:

ƒ Que critério poderia ser estabelecido para que todos os objetos pertencessem ao conjunto?

ƒ Que critério poderia ser estabelecido para que nenhum dos objetos pertencesse ao conjunto?

Professor, caso sua escola não possua laboratório de informática, você pode propor esta atividade, fazendo a projeção do jogo em sala para que toda turma participe. Para isso, você precisará de apenas 1 (um) computador com acesso à Internet e 1 (um) data show.

Aspectos pedagógicos

Este jogo é uma boa alternativa para você, professor, introduzir a noção de conjuntos na sua turma. Nele, você pode trabalhar intuitivamente as noções de:

ƒ Estabelecimento de critérios – para estabelecer a classificação

ƒ Classificação – analisando os critérios e nomeando os objetos conforme suas características

ƒ Organização – arrumando os objetos de determinada característica em um conjunto

ƒ Diagrama – como uma maneira visual de organização

a. Jornal

b. Internet

c. Tv

d. Outros

Lembre a seus alunos que o entrevistado pode escolher mais de uma opção.

Com o resultado da pesquisa individual, reúna todos os dados da turma no quadro, conforme a tabela abaixo:

Canal de informação Quantidade

Jornal

Internet

Tv

Jornal e Internet

Internet e Tv

Jornal e Tv

Outros

Anote ao lado de cada item quantas pessoas responderam a cada uma das opções. Por fim, entregue uma cartolina a turma e peça para que eles representem o resultado final em um diagrama.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 17

Aspectos pedagógicos

Professor, esta atividade é uma boa oportunidade de criar uma interação entre você e a turma, uma vez que

você ficará sabendo um pouco mais sobre a maneira como os alunos informam-se. A segunda etapa desta atividade

gerará uma interação entre a própria turma, uma vez que eles deverão se estruturar para elaborar o diagrama de Venn

e representar os dados desta pesquisa.

Além desses ganhos interpessoais, nesta atividade você terá a oportunidade de trabalhar os conceitos de inter-

seção, união entre conjuntos e, principalmente, a metodologia para elaborar o diagrama de Venn.

Ressalte com seus alunos os seguintes aspectos:

A escolha de 2 (duas) ou 3 (três) opções resultará na interseção entre os conjuntos. Sendo assim, a opção Inter-

net e TV, por exemplo, deve ser representada na região pontuada em vermelho.

Analogamente, as opções por TV e jornal; jornal e Internet; jornal, TV e Internet devem ser representadas nas

respectivas regiões. Não se esqueça de ressaltar a possibilidade pela opção Outros, que deve ser representada exter-

namente aos conjuntos que representam jornal, TV e Internet.

Professor, uma dúvida recorrente é sobre a representação dos objetos nas regiões de interseção. Caso a turma

encontre dificuldades, uma alternativa é colorir cada conjunto com cores diferentes e ver onde as cores sobrepõem-

-se. Desta maneira, a região, por exemplo, colorida com verde e vermelho será a região de interseção entre o conjunto

que representa quem optou por jornal e TV.

Caso os alunos não se interessem pela elaboração do diagrama, leve-os para realizá-lo no computador – utili-

zando o programa Paintbrush, por exemplo.

Se houver uma resistência dos estudantes em perguntar aos colegas de turma, sugira que seus alunos postem

a enquete em suas redes sociais. Nesse caso, algumas pessoas podem vir a responder a mais de uma vez a enquete.

Que tal discutir essa situação com sua turma, aproveitando para fazer uma análise crítica das enquetes / pesquisas de

opinião que são realizadas?

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 19

Deixe aproximadamente uns 10 minutos para que os alunos possam anotar o problema e pensar sobre ele. Em

seguida, realize uma discussão coletiva.

Caso a turma não se interesse pela proposta, que tal dizer a seus alunos que os sites de buscas funcionam,

utilizando essa ideia/metodologia.

Aspectos pedagógicos

Antes que a turma comece a resolver o problema, faça uma breve revisão quanto à simbologia utilizada na

teoria dos conjuntos:

ƒ União ( ‰ ) de dois conjuntos A e B como sendo o conjunto composto pelos elementos que pertençam a, pelo menos, um dos dois conjuntos, isto é a A ou a B.

ƒ Interseção ( ˆ^ ) de dois conjuntos A e B como sendo o conjunto composto pelos elementos que pertençam aos dois conjuntos, isto é tanto a A quanto a B.

Além da resolução escrita, você pode desenhar um diagrama de Venn, indicando a opção correta e confirmar

a opção D, como no diagrama abaixo:

Como a resposta correta é a letra D (última opção), analise cada item com sua turma.

Em relação a:

Letra a) B = {livros importados} e C = {livros infanto-juvenis}

B ‰^ C geraria um conjunto que contém todos os livros importados e todos os livros infanto-juvenis da livraria,

o que não contemplaria o livro procurado.

Letra b) B = {livros importados} e E = {livros literatura}

B ˆ^ E geraria um conjunto que contém todos os livros importados de literatura da livraria, o que não contem-

plaria a obra nacional.

Letra c) C = {livros infanto-juvenis} e D = {livros didáticos}

C ‰ D geraria um conjunto que contém todos os livros didáticos e infanto-juvenis da livraria, o que não con- templaria uma obra de literatura.

Letra d) A = {livros nacionais} e E = {livros literatura}

B ˆ^ E geraria um conjunto que contém todos os livros nacionais de literatura da livraria, o que contemplaria a obra Primeiras Estórias do Guimarães Rosa como um dos elementos do conjunto.

Professor, esta é uma boa atividade para trabalhar união e interseção de conjuntos de maneira interdisciplinar e contextualizada. Isto porque ela envolve uma obra de literatura brasileira, que pode ser utilizada pelo professor de lite- ratura da turma, e utiliza métodos de busca no computador. Além disto, permite que você discuta em sala maneiras in- teressantes de solucionar questões de múltipla escolha. Uma boa sugestão é essa que acabamos de apresentar: analisar todas as alternativas para certificar-se de que a opção escolhida é realmente a correta, independente de a resposta já ter sido encontrada numa das opções anteriores. Caso o aluno tenha pouco tempo, uma maneira alternativa de resolver o problema é eliminando opções similares cuja característica já tenha sido descartada. Por exemplo, na letra a já havíamos visto que o conjunto B era de livros importados (que não abrange o livro procurado). Logo, a opção b, que também se referia ao conjunto B, já poderia ter sido eliminada sem passar por uma análise mais detalhada.

Seção 2 – Conjuntos numéricos

Páginas no material do aluno

26 a 35

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição Sucinta

Divisão da Turma

Tempo Estimado

Bingo dos conjuntos

Uma cartela para cada alu- no ou dupla de alunos, fichas para sorteio e planilha para marcação como as que seguem no pen drive

Trata-se de um jogo de bingo onde o aluno deverá identificar o lugar adequado na cartela para marcação do número sorteado.

A atividade pode ser reali- zada individu- almente ou em dupla.

30 minutos

Aspectos operacionais

No bingo tradicional, cada participante recebe, antes de o jogo começar, uma cartela com alguns números. Em seguida, um indivíduo, que chamaremos de cantor, sorteia e fala em voz alta números que podem ou não estar nas cartelas individuais. Na medida em que os participantes encontram os números sorteados em suas cartelas, assinalam com um X ou colocam um grãozinho de feijão sobre eles, fazendo o preenchimento da cartela. O participante que preencher a cartela mais rapidamente ganha o jogo.