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Parte 2
An´eis
R e f e r ˆe n c i a s Sobre a aritm´etica dos inteiros: N´umeros-Uma Introdu¸c˜ao a Matem´atica de C´esar Polcino Milies e Sˆonia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de S˜ao Paulo (Edusp), 2000. Para saber mais sobre an´eis e o dom´ınio principal dos inteiros: Curso de Algebra,´ Volume 1 de Abramo Hefez, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, Sociedade Brasileira de Matem´atica (SBM), 1998. Sobre an´eis, extens˜oes alg´ebricas de corpos e grupos: Introdu¸c˜aoa Algebra´ de Adilson Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.
A Matem´atica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos n´umeros para descrever diversas situa¸c˜oes do dia a dia.
Contamos com os n´umeros naturais, repartimos um bolo usando os n´umeros racionais, medimos comprimentos com os n´umeros reais, contabili- zamos preju´ızos com n´umeros negativos. Comparamos dois n´umeros inteiros, dois n´umeros racionais e dois n´umeros reais. Calculamos ra´ızes de polinˆomios com coeficientes reais com n´umeros complexos.
Estamos familiarizados com n´umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que est˜ao relacionados pelas seguintes inclus˜oes:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos est˜ao munidos com opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, que tˆem diversas propriedades.
Nosso objetivo ´e introduzir o estudo de estruturas alg´ebricas, abor- dando os conceitos de anel, dom´ınio, dom´ınio ordenado e dom´ınio principal, ideais de um anel comutativo, homomorfismo de an´eis e a fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais.
O conjunto dos inteiros ´e o primeiro exemplo de dom´ınio principal, ser´a estudado sobre o ponto de vista alg´ebrico e aritm´etico e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais.
Introduziremos o conceito de indu¸c˜ao, uma t´ecnica muito utilizada em demonstra¸c˜oes.
N˜ao faremos a constru¸c˜ao axiom´atica dos n´umeros naturais, usaremos apenas as no¸c˜oes intuitivas.
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(^31) U F F
Mostraremos que Q ´e um corpo ordenado e ´e o corpo de fra¸c˜oes de Z e faremos a constru¸c˜ao dos n´umeros racionais a partir dos n´umeros inteiros no contexto dos dom´ınios ordenados. Usaremos a divis˜ao euclidiana para escrever os n´umeros inteiros n˜ao- negativos em uma base b > 1.
M. L. T. Villela
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Conceito de anel
Exemplo 1 Todos os conjuntos listados acima s˜ao conjuntos munidos de opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2 (Anel) Um anel A ´e um conjunto munido com opera¸c˜oes de adi¸c˜ao ( + ) e de multiplica¸c˜ao ( · ), tendo as seguintes propriedades:
A1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a+b)+c = a+(b+c).
A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b = b + a.
A3 (Existˆencia de elemento neutro para a adi¸c˜ao) Existe θ ∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.
A4 (Existˆencia de sim´etrico) Para cada a ∈ A, existe a′^ ∈ A, tal que a + a′^ = a′^ + a = θ.
M1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c).
AM (Distributiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos a · (b +c) = a · b +a · c e (a + b) · c = a · c + b · c. Exemplo 2 N n˜ao ´e um anel. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao tˆem as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas n˜ao vale a propriedade A4. Exemplo 3 Z, Q, R e C, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos s˜ao an´eis, onde o elemento neutro para a adi¸c˜ao ´e o n´umero inteiro 0. Exemplo 4 Mn×n(R) = { X = (Xij) ; Xij ∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n } ´e um anel, com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de matrizes, definidas por:
Z = X + Y, onde Zij = Xij + Yij, para 1 ≤ i, j ≤ n;
Z = X · Y, onde Zij =
∑^ n k= 1
Xik · Ykj, para 1 ≤ i, j ≤ n,
para X, Y ∈ Mn×n(R).
De fato, a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao tˆem as propriedades A1, A2, A3, A4, M1 e AM, conforme j´a foi verificado em um curso b´asico de Algebra Linear.´
Volte a um texto de Algebra´ Linear, para recordar as opera¸c˜oes com matrizes e suas propriedades.
M. L. T. Villela
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Conceito de anel (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 1˜
Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1.
Sejam X, Y, Z ∈ Mn×n(R). Para quaisquer i, j tais 1 ≤ i, j ≤ n, temos
Usamos a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao e adi¸c˜ao de matrizes e, sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸c˜oes do anel R: AM, A2, A1. Depois, novamente, usamos a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao e adi¸c˜ao de matrizes.
(X · (Y + Z))ij =
∑^ n
r= 1
Xir · (Y + Z)rj
∑^ n r= 1
Xir · (Yrj + Zrj)
∑^ n r= 1
(Xir · Yrj + Xir · Zrj)
∑^ n r= 1
Xir · Yrj +
∑^ n r= 1
Xir · Zrj
= (X · Y)ij + (X · Z)ij = (X · Y + X · Z)ij,
mostrando que X · (Y + Z) = X · Y + X · Z e vale AM.
Usamos duas vezes a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes e ap´os, sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸c˜oes do anel R: AM, M1, A2, A1. Depois, novamente, usamos duas vezes a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes.
(X · (Y · Z))ij =
∑^ n r= 1
Xir · (Y · Z)rj
∑^ n r= 1
Xir ·
( (^) n ∑ s= 1
Yrs · Zsj
∑^ n
r= 1
( (^) n ∑
s= 1
Xir · (Yrs · Zsj)
∑^ n
r= 1
∑n
s= 1
(Xir · Yrs) · Zsj
∑^ n s= 1
( (^) n ∑ r= 1
(Xir · Yrs)
· Zsj
∑^ n s= 1
(X · Y)is · Zsj
= ((X · Y) · Z)ij ,
mostrando que X · (Y · Z) = (X · Y) · Z e vale M1.
A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij = 0 para 1 ≤ i, j ≤ n, denotada por O, ´e o elemento neutro da adi¸c˜ao.
Lembramos que o sim´etrico de X ´e a matriz Y, tal que Yij = −Xij, para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Costumamos escrever Y = −X.
Exemplo 5 Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja F (I) o conjunto de todas as fun¸c˜oes de I em R, isto ´e, Vocˆe tem familiaridade com as fun¸c˜oes de vari´avel real e F (I) = { f : I −→ R | f ´e uma fun¸c˜ao }. valores reais.
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Conceito de anel (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 1˜
implicando que f + g = g + f e, assim, vale a propriedade A2.
O elemento neutro ´e a fun¸c˜ao o, tal que o(x) = 0 , para cada x ∈ I. Note que, para toda f ∈ F (I) e para todo x ∈ I,
(o + f)(x) = o(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x) ⇐⇒ o + f = f.
O n´umero real zero ´e elemento neutro aditivo, no anel R.
O elemento neutro aditivo ´e a fun¸c˜ao constante e igual a zero no intervalo I, valendo a propriedade A3.
Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o sim´etrico de f ´e a fun¸c˜ao g definida por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. O gr´afico do sim´etrico de f ´e obtido fazendo a simetria com respeito ao eixo x dos pontos do gr´afico de f.
Exemplo 6 Consideremos 2 Z = { 2x | x ∈ Z }, o conjunto dos n´umeros inteiros pares.
Vamos mostrar que 2 Z ´e um anel com a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao de n´umeros inteiros.
Primeiramente, observe que para quaisquer a, b ∈ 2 Z, existem x, y ∈ Z, tais que a = 2x, b = 2y e
a + b = 2x + 2y = 2 (x + y) ∈ 2 Z e a · b = 2x · 2y = 2 (2x · y) ∈ 2 Z.
Observe que x + y ∈ Z e 2x · y ∈ Z.
Logo, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao de n´umeros inteiros ´e fechada em 2 Z.
As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2 Z, pois essas propriedades valem em Z e 2 Z ´e um subconjunto de Z.
Como 0 = 2 · 0 ∈ 2 Z, ent˜ao 2 Z tem elemento neutro aditivo.
Al´em disso, o sim´etrico de a = 2x ´e a′^ = −2x = 2 (−x) ∈ 2 Z. x^ ∈^ Z^ ⇐⇒^ −x^ ∈^ Z.
Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e 2 Z ´e um anel.
Observamos que a multiplica¸c˜ao nos an´eis dos Exemplos 3, 5 e 6 ´e comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 ´e n˜ao-comutativa sempre que a ordem da matriz ´e maior do que 1.
O que ´e M 1 × 1 (R)?
De fato, ´e claro que a multiplica¸c˜ao nos inteiros, nos racionais e nos reais ´e comutativa.
Sejam x = a + bi, y = c + di ∈ C. Ent˜ao, a, b, c, d ∈ R, i^2 = − 1 e
Usamos aqui que a multiplica¸c˜ao de n´umeros reais ´e comutativa.
x · y = (a + bi) · (c + di) = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i = (c · a − d · b) + (d · a + c · b)i = (c + di) · (a + bi) = y · x ,
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(^37) U F F
Conceito de anel
mostrando que a multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos ´e comutativa. Para verificar a comutatividade da multiplica¸c˜ao em F (I), consideremos f, g ∈ F (I) e x ∈ I, ent˜ao (f · g)(x) = f(x) · g(x) = g(x) · f(x) = (g · f)(x)
Lembre que... a multiplica¸c˜ao de n´umeros reais ´e comutativa.
implicando que f · g = g · f. Para n ≥ 2 , o produto de matrizes n por n ´e n˜ao-comutativo, pois X · Y 6 = Y · X para as seguintes matrizes: X 11 = 1, X 12 = 1, X 21 = 0 e X 22 = 0 ; Y 11 = 1, Yij = 0 , para todo (i, j) 6 = (1, 1). Temos que
X · Y =
e
Y · X =
A multiplica¸c˜ao em 2 Z ´e a multiplica¸c˜ao de n´umeros inteiros, logo tamb´em ´e comutativa. Os fatos acima motivam a seguinte defini¸c˜ao. Defini¸c˜ao 3 (Anel comutativo) Dizemos que um anel A ´e comutativo se, e somente se, tem a propriedade: M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, a · b = b · a. Exemplo 7 Nos an´eis Z, Q, R, C, F (I) e 2 Z vale M2. No anel Mn×n(R), onde n ≥ 2 n˜ao vale M2.
Os an´eis dos Exemplos 3, 4 e 5 tˆem um elemento neutro multiplicativo, a saber:
- o n´umero inteiro 1 satisfaz para todo a ∈ A, temos a · 1 = 1 · a = a , nos casos A = Z, A = Q, A = R ou A = C;
- A matriz identidade I ∈ Mn×n(R), com os elementos da diagonal iguais a 1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0 , tem a propriedade
Matriz identidade I Iij =
{ 1 , se i = j 0 , se i 6 = j , para qualquer i,j com 1 ≤ i, j ≤ n.
M. L. T. Villela
U F F 38
Conceito de anel
x + y = (a + c) + (b + d)
2 ∈ Z[
2 ]
x · y = (a · c + 2b · d) + (a · d + b · c)
2 ∈ Z[
2 ]
(b) Mostre que Z[
2 ] ´e um anel. (c) Mostre que Z[
2 ] ´e um anel comutativo com unidade.
x + y ´e a adi¸c˜ao e x · y ´e a multiplica¸c˜ao de n´umeros reais, apenas reescrevemos as parcelas de modo conveniente, usando as propriedades comutativa, associativa e distributiva das opera¸c˜oes dos n´umeros reais. (^) 3. Seja Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z e i (^2) = − 1 }.
(a) Mostre que a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos ´e fe- chada em Z[i], verificando que: para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a + bi e y = c + di x + y = (a + c) + (b + d)i x · y = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i
x + y ´e a adi¸c˜ao de n´umeros complexos e x · y ´e a multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos. Z[i] ´e conhecido como o anel dos inteiros de Gauss.
(b) Mostre que Z[i] ´e um anel. (c) Mostre que Z[i] ´e um anel comutativo com unidade.
- Seja A =
X =
x 11 x 12 x 21 x 22
; xij ∈ Z, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2
o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros. Para X, Y, Z ∈ A, definimos a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao em A por:
Z = X + Y ⇐⇒ zij = xij + yij, com 1 ≤ i, j ≤ 2 Z = X · Y ⇐⇒ zij = xi1y1j + xi2y2j, com 1 ≤ i, j ≤ 2
Observe que as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao as usuais. Costumamos denotar A por M 2 × 2 (Z).
(a) Mostre que A ´e um anel com as opera¸c˜oes acima. (b) Mostre que A ´e um anel n˜ao-comutativo com unidade.
- Seja F (R) = { f : R −→ R, f fun¸c˜ao }. Para qualquer f, g ∈ F (R), as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multi- plica¸c˜ao de fun¸c˜oes s˜ao definidas por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para qualquer x ∈ R e (f · g)(x) = f(x) · g(x), para qualquer x ∈ R.
(a) Mostre que com essas opera¸c˜oes F (R) ´e um anel.
Copie o que foi feito no Exemplo 5, fazendo as modifica¸c˜oes convenientes. Na verdade, vocˆe pode verificar que F(I) ´e um anel, para qualquer intervalo I da reta real.
(b) Mostre que F (R) ´e um anel comutativo. (c) Mostre que F (R) ´e um anel com unidade.
M. L. T. Villela
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Propriedades elementares (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 2˜
Propriedades elementares
Mostraremos agora algumas propriedades elementares, v´alidas em um anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´etrico e, quando existe, do elemento neutro multiplicativo.
Proposi¸c˜ao 1 (Unicidade) Seja A um anel. Ent˜ao, (i) o elemento neutro aditivo ´e ´unico; (ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, ´e ´unico; (iii) o sim´etrico ´e ´unico. Demonstra¸c˜ao: (i): Sejam θ e θ′ elementos neutros aditivos do anel A. Ent˜ao,
θ = θ′^ + θ = θ′,
onde a primeira igualdade segue do fato de θ′^ ser elemento neutro da adi¸c˜ao e a segunda, de θ ser elemento neutro da adi¸c˜ao.
Logo, θ = θ′^ e o elemento neutro aditivo ´e ´unico.
(ii): Seja A um anel com unidades e e e′. Ent˜ao,
e = e′^ · e = e′,
onde a primeira igualdade segue do fato de e′^ ser unidade e a segunda, de e ser unidade.
Logo, e = e′^ e o elemento neutro multiplicativo ´e ´unico.
(iii) Sejam a′^ ∈ A e a′′^ ∈ A sim´etricos de a ∈ A.
Ent˜ao, θ = a + a′′, θ = a′^ + a e
a′^ = a′^ + θ = a′^ + (a + a′′) = (a′^ + a) + a′′^ = θ + a′′^ = a′′,
onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adi¸c˜ao.
Logo, o sim´etrico ´e ´unico.
Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´etrico e do elemento neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anel A:
- o elemento neutro da adi¸c˜ao pelo s´ımbolo 0 ;
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(^41) U F F
Propriedades elementares (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 2˜
Logo, −(a · b) = (−a) · b.
(iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para vocˆe tentar, fazendo as modifica¸c˜oes convenientes.
a · (b − c) ( =^1 ) a · (b + (−c)) ( = 2 ) a · b + a · (−c) ( = 3 ) a · b − a · c.
Em (1) usamos a defini¸c˜ao de subtra¸c˜ao, em (2), a distributividade AM e em (3), o item (ii).
(iv) Seja A um anel com unidade 1. Ent˜ao, 0 = 1 + (− 1 ). Multiplicando `a direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributi- vidade, obtemos:
O s´ımbolo − 1 deve ser lido como ”o sim´etrico da unidade”.
0 = 0 · a = ( 1 + (− 1 )) · a = 1 · a + (− 1 ) · a = a + (− 1 ) · a,
significando que (− 1 ) · a ´e o sim´etrico de a. Como denotamos o sim´etrico de a por −a, da unicidade do sim´etrico, temos −a = (− 1 ) · a.
A igualdade −a = a · (− 1 ) ´e an´aloga e vocˆe deve tentar fazer repetindo a id´eia acima, mas fazendo a multiplica¸c˜ao por a `a esquerda.
Vimos na Se¸c˜ao anterior que h´a an´eis sem unidade. Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o s´ımbolo 1 , propositadamente, diferente do s´ımbolo 0 do elemento neutro aditivo. Por quˆe?
Suponhamos que no anel A temos 1 = 0. A igualdade ao lado deve ser lida como ”os elementos neutros aditivo e multiplicativo s˜ao iguais”.
Ent˜ao, para todo a ∈ A, temos
a = a · 1 = a · 0 = 0 ,
onde a primeira igualdade ´e conseq¨uˆencia de 1 ser o elemento neutro multi- plicativo e a ´ultima, do item (i) da Proposi¸c˜ao 2. Logo, A = { 0 }.
N˜ao tem a menor gra¸ca estudar esse anel. Portanto, quando tratamos, teoricamente, de an´eis com unidade supo- mos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo s˜ao diferentes, isto ´e, 1 6 = 0.
Defini¸c˜ao 5 (Divisores de zero) Seja A um anel. O elemento n˜ao-nulo a ∈ A ´e um divisor de zero se, e somente se, existe um elemento n˜ao-nulo b ∈ A tal que a · b = 0 ou b · a = 0.
Exemplo 9 a. No anel F (I), onde I = (−1, 1), s˜ao divisores de zero as fun¸c˜oes f, g : I −→ R definidas por
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(^43) U F F
Propriedades elementares
f(x) =
1, se x ∈ (−1, 0) 0, se x ∈ [0, 1)
e g(x) =
0, se x ∈ (−1, 0)
f · g = 0 , pois f(x) · g(x) = 0 ,^ 2,^ se^ x^ ∈^ [0, 1) para todo x ∈ (−1, 1). b. No anel M 2 × 2 (R) s˜ao divisores de zero as seguintes matrizes
X =
e Y =
Os an´eis comutativos com unidade sem divisores de zero s˜ao chamados de dom´ınios. Defini¸c˜ao 6 (Dom´ınio) Seja A um anel comutativo com unidade. A ´e um dom´ınio se, e somente se, tem a propriedade: M4 se a · b = 0 , ent˜ao a = 0 ou b = 0.
Observamos que a propriedade M4 ´e equivalente a:
Sejam P e Q propriedades e ∼ P e ∼ Q, respectivamente, suas nega¸c˜oes. Ent˜ao, P =⇒ Q ´e equivalente a ∼ Q =⇒∼ P.
M 4 ′^ se a 6 = 0 e b 6 = 0 , ent˜ao a · b 6 = 0.
Exemplo 10 O anel dos n´umeros inteiros Z ´e um dom´ınio, pois o produto de dois inteiros n˜ao-nulos ´e um inteiro n˜ao-nulo. Proposi¸c˜ao 3 (Lei do cancelamento) Seja A um dom´ınio. Se a · b = a · c com a 6 = 0 , ent˜ao b = c. Demonstra¸c˜ao: Se a · b = a · c, ent˜ao somando −a · b a ambos os membros dessa igualdade, obtemos 0 = a · b − a · b = a · c − a · b = a · (c − b). Como a 6 = 0 , pela propriedade M4, 0 = c − b. Somando b, a essa ´ultima igualdade, temos b = 0 + b = (c − b) + b ( =^1 ) c + (−b + b) = c + 0 = c.
Em (1) usamos a propriedade associativa da adi¸c˜ao (A1). Defini¸c˜ao 7 (Elemento invert´ıvel) Seja A um anel com unidade. Um elemento a ∈ A ´e dito invert´ıvel se, e somente se, existe um elemento a′^ ∈ A, tal que a · a′^ = a′^ · a = 1. Nesse caso, dizemos que a′^ ´e inverso de a e a ´e inverso de a′. Exemplo 11 No anel M 2 × 2 (Z) das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros,
a matriz X =
´e invert´ıvel e X′^ =
´e seu inverso, pois
verificamos, facilmente, que X · X′^ = X′^ · X = I.
Volte ao Exerc´ıcio 4 da Se¸c˜ao anterior. Nesse anel, a unidade, conhecida como matriz identidade, ´e I = (^10 )
!
M. L. T. Villela
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Propriedades elementares
Exemplo 16 a. Pelo exerc´ıcio 1 da se¸c˜ao anterior, nZ ´e um subanel de Z. b. Pelo exerc´ıcio 2 da se¸c˜ao anterior, Z[
2 ] ´e um subanel de R. c. Pelo exerc´ıcio 3 da se¸c˜ao anterior, Z[i] ´e um subanel de C. d. Pelo exerc´ıcio 4 da se¸c˜ao anterior, M 2 × 2 (Z) ´e um subanel de M 2 × 2 (R). Proposi¸c˜ao 5 Um subconjunto n˜ao-vazio B de um anel A ´e um subanel de A se, e somente se, (i) se a, b ∈ B, ent˜ao a + b ∈ B; (ii) se a, b ∈ B, ent˜ao a · b ∈ B; (iii) (^0) A ∈ B; (iv) se b ∈ B, ent˜ao −b ∈ B. Demonstra¸c˜ao : Suponhamos que B ´e um subanel de A. Ent˜ao, as opera¸c˜oes de A est˜ao fechadas em B e logo, (i) e (ii) s˜ao v´alidas; al´em disso, todo elemento de B tem sim´etrico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando b ∈ B, por (iv), −b ∈ B e, por (i), (^0) A = b + (−b) ∈ B. Logo, (^0) B = (^0) A ∈ B. Reciprocamente, suponhamos v´alidas as propriedades (i) a (iv) em B. Logo, as opera¸c˜oes de A est˜ao fechadas em B e valem A3 e A4. As propri- edades A1, A2, M1 e AM valem em B porque s˜ao v´alidas em A e B ⊂ A. Portanto, B ´e um anel com as opera¸c˜oes de A. Exemplo 17 Z[
3 ] ´e um subanel de R. De fato, sejam a, b, c, d ∈ Z. Ent˜ao, com a adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais, temos: (a + b
3 ) + (c + d
3 ) ( =^1 ) a + c + b
3 + d
3 ( = (^2 ) a + c) + (b + d)
Em (1) usamos A1 e A2 e 3 ; em (2), A1 e AM do anel R. Em (3) usamos AM, M2 e em (4), A2 e A1 do anel R. (a^ +^ b
3 )(c + d
3 ) ( =^3 ) a · c + a · d
3 + b · c
3 + 3b · d ( = 4 ) (a · c + 3b · d) + (a · d + b · c)√3.
Al´em disso, a + b
3 = 0, a, b ∈ Z se, e somente se, a = b = 0 e −(a + b
3 ) = (−a) + (−b)
3 ∈ Z[
3 ], para quaisquer a, b ∈ Z.
Defini¸c˜ao 10 (Subcorpo) Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K ´e um subcorpo de L se, e somente se, K ´e um corpo com as opera¸c˜oes de L.
M. L. T. Villela
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Propriedades elementares (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 2˜
Exemplo 18 (1) Q ´e um subcorpo de R. (2) R ´e um subcorpo de C. (3) Q ´e um subcorpo de Q(
(4) Q(
2 ) ´e um subcorpo de R. (5) Q(i) ´e um subcorpo de C.
Veja os exerc´ıcios 12 e 13, item (a)
Agora, para cada dom´ınio D vamos construir um corpo K, chamado corpo de fra¸c˜oes de D, tal que
(i) D ⊂ K
(ii) as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de D s˜ao as de K.
(iii) se L ´e um corpo contendo D como subanel, ent˜ao K ⊂ L.
As condi¸c˜oes acima significam que todo dom´ınio D ´e subanel de um corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima ´e o corpo de fra¸c˜oes de D.
Para isto, consideramos o conjunto
S = D × D{ 0 } = {(a, b) ; a, b ∈ D e b 6 = 0 }.
Para (a, b), (c, d) ∈ S, definimos
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c.
Proposi¸c˜ao 6 A rela¸c˜ao bin´aria acima ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em S.
Demonstra¸c˜ao: De fato, para todo (a, b) ∈ S, temos a · b = b · a, logo (a, b) ∼ (a, b).
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d). Ent˜ao, a · d = b · c e d · a M2 = a · d = b · c M2 = c · b. Logo, (c, d) ∼ (a, b). Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Ent˜ao, a · d ( =^1 ) b · c
e c · f ( =^2 ) d · e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por b, obtemos a · d · f = b · c · f = b · d · e. Pelas propriedades M2 e M1 da multiplica¸c˜ao em D, temos d · (a · f) = d · (b · e). Como d 6 = 0 , pela lei do cancelamento em D, temos a · f = b · e. Portanto, (a, b) ∼ (e, f).
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Propriedades elementares (^) PARTE 2 - SEC¸ AO 2˜
Logo, a b··dc = (^) ba′′··cd′′ (^) ˙. Agora devemos mostrar: A1, A2, A3, A4, AM, M1, M2, M3, concluindo que K ´e um anel comutativo com unidade. Observe que as propriedades das opera¸c˜oes de K s˜ao induzidas das propriedades das opera¸c˜oes de D.
Faremos algumas delas.
A2: a b + (^) dc = a·d b+·db ·c= c·b d+·bd· a= (^) dc + a b Em^ D^ valem M2 e A2.
A3: O elemento neutro da adi¸c˜ao ´e 01 , pois para todo a b ∈ K temos
(^01) + a b = 0 ·b 1 +·b 1 ·a= a b.
M1:
(a b ·^
c d
· e f = (^) ba··cd · e f = ( (ab··cd))··ef = a b··((cd··ef)) = a b · c d··ef = a b
( (^) c d ·^
e f
M3: O elemento neutro multiplicativo, a unidade de K, ´e 11 , pois para todo a b ∈^ K^ temos 1 1 ·^
a b =^
1 ·a 1 ·b =^
a b Falta verificar as Verifique as outras propriedades. propriedades: A1, A4 e M2. Observe que a b = 01 se, e somente se, a = a · 1 = b · 0 = 0. Assim, todo a b 6 = 01 ´e invert´ıvel e b a ∈ K ´e seu inverso, pois a b· b a = a b··ba = 11.
(ii) Observamos que a 1 = b 1 ∈ K se, e somente se, a = b.
Podemos ver D como um subconjunto de K, identificando cada a ∈ D com a 1 ∈ K. Neste caso, D = {a 1 ; a ∈ D} e
a 1 +^
b 1 =^
a· 1 +b· 1 1 · 1 =^
a+b 1 ,^
a 1 +^
−a 1 =^
0 1 e^
a 1 ·^
b 1 =^
a·b 1 · 1 =^
a·b
A segunda igualdade significa que −a 1 = − 1 a. Logo, D ´e um subanel de K.
(iii) Se L ´e um corpo que cont´em D como subanel, ent˜ao para quaisquer a, b ∈ D com b 6 = 0 temos: a · b−^1 ∈ L e
a·b−^1 = c·d−^1 se, e somente se, a·d = (a·b−^1 )(b·d) = (c·d−^1 )(b·d) = b·c.
Logo, K ⊂ L. .
Veja os Exerc´ıcios 12 e 13, item (d).
Exemplo 19 (1) O corpo dos n´umeros racionais Q =
{a b ;^ a, b^ ∈^ Z^ e^ b^6 =^0
´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z. (2) O corpo Q(
2 ) ´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z[
2 ].
(3) O corpo Q(i) ´e o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio Z[i].
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Propriedades elementares
Exerc´ıcios
- Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades:
(a) Se a + c = b + c, ent˜ao a = b. (b) Se a + b = a para algum a, ent˜ao b = 0. (c) −(a + b) = −a − b. (d) Se A tem unidade 1 , ent˜ao − 1 ´e invert´ıvel.
- Seja A um dom´ınio. Mostre que valem as seguintes propriedades:
(a) a^2 = 0 se, e somente se, a = 0. (b) se a · b = 0 e b 6 = 0 , ent˜ao a = 0. (c) a^2 = a se, e somente se, a = 0 ou a = 1.
- Mostre que todo corpo ´e um dom´ınio.
- Sejam A e B an´eis e A × B = {(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.
(a) Mostre que A × B ´e um anel com as opera¸c˜oes: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d),
onde na primeira coordenada a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao s˜ao do anel A e na segunda coordenada, do anel B. (b) Mostre que se A e B s˜ao an´eis com unidades (^1) A e (^1) B, respectiva- mente, ent˜ao A × B ´e anel com unidade. (c) Mostre que A × B tem divisores de zero. (d) Determine os elementos invert´ıveis de A × B, se A e B s˜ao an´eis com unidades (^1) A e (^1) B, respectivamente.
- Seja A um anel com unidade. Definimos A∗^ = {a ∈ A ; a ´e invert´ıvel }. Para cada anel A determine A∗:
(a) A = M 2 × 2 (Z). (b) A = Z × Z. (c) A = Z[i] = {a + bi ∈ C ; a, b ∈ Z}. (d) A = Q.
- Sejam A = Z × Z e B = Z × { 0 }. Mostre que:
M. L. T. Villela
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