Baixe Nocoes Basicas TN e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Teoria dos Números
1 Noções Básicas
A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o con- junto Z = {..., − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ...}. Ela permite resolver de forma imediata problemas que seriam muito difíceis de outra forma, por exemplo:
Problema 1
- Seja p um número primo tal que p > 3. Prova que p^2 − 1 é múltiplo de 24.
- Encontra dois inteiros x e y tais que x^2 + y^2 + 1 seja múltiplo de 4.
- Encontra um inteiro n tal que 2 n^ − 1 é múltiplo de n
- Encontra um inteiro n tal que 2 n^ + 1 é primo e n é múltiplo de 5.
Se já conseguires resolver todos estes problemas, então este texto não é para ti. Se não, verás que no final te vão parecer meros exercícios! Comecemos com algumas definições:
Definição 1 (Divide) Sejam a e b dois inteiros. Diz-se que a divide b, ou que b é múltiplo de a, ou ainda que a é um divisor de b, se existe um inteiro c tal que ac = b. Escreve-se: a|b.
Lembra-te que trabalhamos com todos os inteiros e não apenas com os positivos, e temos, por exemplo, − 3 | 9 , 4 | 28 , 5 | − 15 e − 73 | − 146. Os números 1 e − 1 são chamados as unidades, porque dividem todos os inteiros, ou seja 1 |n e − 1 |n qualquer que seja o inteiro n. Por outro lado o 0 não divide nenhum inteiro, excepto ele próprio. Na realidade qualquer inteiro divide-se a ele mesmo, ou seja, verifica-se n|n, para todo o inteiro n. Abaixo enunciamos mais algumas propriedades:
Teorema 1 Neste teorema e ao longo do resto do texto, letras representam números inteiros.
- a|b implica que a|bc e que ac|bc
- a|b e b|c implica que a|c
- Se a|b e a|c, então a|b + c
- Se a|b e b|a, então a = b ou a = −b
- Se a|b e a ≥ 0 e b ≥ 0 então a ≤ b
- an|am e a 6 = 0 implica que n|m
Convence-te de que o teorema é verdade, não achamos necessário dar aqui uma demonstração rigorosa. Os divisores de um número n são os números que o dividem, obviamente. A próxima definição é fundamental em Teoria dos Números e certamente já conheces:
Definição 2 (primo) Um inteiro positivo a diz primo se a tem 4 divisores.
Por exemplo, o 73 é primo, porque os seus únicos divisores são 73 , − 73 , 1 e − 1. Por outro lado o 6 não é primo porque, para além dos 4 divisores tem ainda o 2 , o 3 , o − 2 e o − 3. 1 não é primo porque só tem dois divisores. Certamente conheces, da escola primária, o chamado algoritmo da divisão que passamos a enunciar numa forma um pouco mais geral:
Teorema 2 Sejam a e b inteiros (não necessariamente positivos) tais que b 6 = 0. Então dividindo a por b obtemos um único quociente q ∈ Z e um único resto r tal que 0 ≤ r < |b| que verificam a igualdade a = qb + r
O que o teorema diz é que existe um único r < |b| positivo tal que a − r é múltiplo de b. Nota que os múltiplos de b são os mesmos que os de −b. Por exemplo se a = 7 e b = 3 temos q = 2 e r = 1. Se a = − 7 e b = 3 temos q = − 3 e r = 2. Se a = − 73 e b = − 19 temos q = 4 e r = 3, porque −73 = 4 × (−19) + 4. A próxima definição também já deve ser conhecida da escola:
Definição 3 (Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum) Sejam a e b inteiros, não ambos 0. Definimos o seu máximo divisor comum como o maior inteiro positivo d tal que d|a e d|b. Escrevemos d = (a, b) Analogamente definimos a mínimo múltiplo comum de a e b ao menor inteiro positivo m tal que a|m e b|m. Escrevemos m = [a, b].
Exercício 4 Prova que (a, b) = (a, b − a).
Problema 3 (IMO 1959) Prova que a fracção 2114 nn^ + 4+ 3 é irredutível para todo o n inteiro.
Teorema 4 (Lema de Euclides) Se a|bc e (a, b) = 1, então a|c.
Demonstração.Usando o Teorema anterior, sejam s e t tais que 1 = as + bt. Multiplicando os dois lados da igualdade por c obtemos c = cas + bct. Como a|cas e a|bc, a|c.
Se (a, b) 6 = 1 o teorema pode não ser verdade. Por exemplo 4 | 6 × 14 = 84, mas 4 6 | 6 e 4 6 | 14. Uma consequência importante deste lema é o conhecido Teorema fundamental da Aritmética que passamos a enunciar:
Teorema 5 (Fundamental da Aritmética) Seja n > 1 um inteiro. Então existem números primos positivos p 1 < p 2 < ... < pk e números inteiros positivos a 1 , a 2 , ..., ak tais que
n = pa 11 × pa 22 × ... × pa kk
Para além disso essa decomposição em primos é única.
Demonstração.A prova que apresentamos não é rigorosa, mas deve dar a ideia geral da demonstração: A primeira parte é bastante natural. Provemos por indução em n: para n = 2 é imediato (porque 2 é primo). Se n > 2 é primo também já está, se não, podemos escrever n = ab com a e b menores que n. Então usando a hipótese de indução em a e b, conseguimos escrever n da forma desejada. Para a segunda parte, se n = pa 11 × pa 2 2 × ... × pa kk = qa 1 1 × qa 2 2 × ... × q ja j, p 1 divide a expressão da direita, por isso um dos qi tem de ser igual a p 1. A mesma coisa para os outros pl e assim os primos do lado esquerdo estão todos no lado direito e trocando os seus papéis vemos que os primos têm de ser os mesmos. Para obtermos a igualdade dos expoentes apenas precisamos de dividir pela menor potência de cada primo e ver que esse primo não pode dividir nenhum dos membros da expressão. O teorema diz que podemos escrever todo o inteiro positivo como o produto de primos, e que esses primos são sempre os mesmos. Por exemplo 6 = 2 × 3 e 100 = 2^2 × 52 , mas se factorizarmos 100 como o produto de primos, eles são sempre o 2 e o 5 , cada um “duas vezes”.
2 Congruências
A ferramenta mais poderosa em Teoria dos números é a aritmética modular, que provém da noção de congruência.
Definição 4 Sejam a, b e n inteiros, n > 1. Então diz-se que a é congruente com b módulo n e escreve-se a ≡ b (mod n) se n|b − a.
Por exemplo, a ≡ b (mod 2 ) se são ambos pares ou ambos ímpares e a ≡ b (mod 3 ) se são ambos da forma 3 k, ambos da forma 3 k + 1 ou ambos da forma 3 k + 2. Números negativos também são comtemplados na definição, por isso 73 ≡ − 45 (mod 59 ). Se dividirmos a por n e obtemos resto r, então a ≡ r (mod n), porque a = qn + r e assim n|a − r = qn. Então a ≡ 0 (mod n) se e só se n|a.
Teorema 6
- a ≡ a (mod n)
- Se a ≡ b (mod n), então b ≡ a (mod n)
- Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então a + c ≡ b + d (mod n)
- Se a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n), então ac ≡ bd (mod n)
- Se a ≡ b (mod n), então ac ≡ bc (mod nc)
- Se a ≡ b (mod n), então ac^ ≡ bc^ (mod n)
- Se a ≡ b (mod n), e c|n, então a ≡ b (mod c)
Demonstra estes resultados. Não deves ter dificuldades se usares a definição. Apresentamos de seguida vários exemplos que ilustram bem as potencialidades desta ferramenta:
Exemplo 1 Encontra o resto de 62009 a dividir por 37.
Demonstração. 62 = 36 ≡ − 1 (mod 37 ), e assim 62009 = 6 × (6^2 )^1004 ≡ 6 × (−1)^1004 = 6 (mod 37 ). Assim o resto da divisão é 6 , porque 62009 − 6 é múltiplo de 37.
Exercício 5 Calcula o resto da divisão de 42009 por 63.
Demonstração.Escrevemos a expansão decimal de n: n = akak− 1 ...a 1 a 0 , onde cada ai representa um dígito. Então n = 10kak + 10k−^1 ak− 1 + ..., 10 a 1 + a 0. Mas 10 ≡ 1 (mod 9 ), logo 10 s^ ≡ 1 s^ ≡ 1 (mod 9 ) para qualquer s ≥ 1 e assim n ≡ ak + ... + a 0 = f (n) (mod 9 )
Problema 5 Prova que a soma dos dígitos de um quadrado pefeito nunca pode ser 2009
Problema 6 Quantos n existem entre 1 e 2009 tais que 5 |n^2 − 3 n + 4?
Se já resolveste todos os problemas até aqui, incluindo os do início, deixamos-te agora dois problemas que talvez não consigas resolver já mas que será um mero exercício no final da próxima sessão:
Problema 7 Seja un = 2n^ + 3n^ + 6n^ − 1 para n ≥ 1. Encontra todos os inteiros a tais que a é primo com todos os elementos da sequência.
Problema 8 Encontra todos os inteiros n para os quais existe um inteiro a tal que 2 n^ − 1 |a^2 + 9.
