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NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
1. ESPAÇOS VETORIAIS
1.1. ESPAÇO VETORIAL REAL
Seja um conjunto V ≠ φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar,
tais que ∀u, v ∈V, u+v ∈ Ve ∀α ∈ ℜ,∀u ∈ V, αu ∈ V. O conjunto V com as operações acima é chamado
espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades:
Em relação à adição:
A 1 − u + v = v + u , ∀u,v ∈ V(a adição deve ser comutatividade )
A 2 − (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u,v,w ∈ V(a adição deve ser associativa )
A 3 − ∃ 0 ∈ V , ∀u ∈ V, u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição)
A 4 − ∀u ∈ V, ∃ (-u) ∈ V, u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V)
Em relação à multiplicação por escalar:
M 1 − (α + β)u = αu + βu, ∀α,β ∈^ ℜe ∀u ∈^ V(a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de
escalares)
Μ 2 − α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ ℜe ∀u,v ∈ V(a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de
vetores)
M 3 − (αβ)u = α(βu), ∀α,β ∈ ℜe ∀u ∈ V(a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de
escalares)
M 4 − 1u = u, ∀u ∈ V(o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar)
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.
Exemplos de espaços vetoriais:
1. O conjunto ℜ ndas n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
- O conjunto M (^) mxndas matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
3. O conjunto Pn ={a 0 x n^ + a 1 x n^ −^1 + ... + a n ; a i ∈ ℜ} dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo
o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
- O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por
(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) , ∀ α∈ℜ.
1.2. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores v 1 ,v 2 ,...,vnde um espaço vetorial V. Um vetor v ∈V é combinação linear (CL)
dos vetores v 1 ,v 2 ,...,vnse existem os reais a 1 ,a 2 ,...,an, tais que a 1 v 1 + a 2 v 2 +...+anvn=v.
E1) Verifique se o vetor v = ( 1 ,− 8 ,− 7 )é combinação linear dos vetores v 1 = ( 3 ,− 2 , 1 )e v 2 = ( 4 , 1 , 5 ). Em caso
afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v 1 e v 2.
Importante: A combinação linear a 1 v 1 + a 2 v 2 +...+anvn=v pode ser representada matricialmente por
MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores v 1 ,v 2 ,...,vn, A é a matriz coluna formada pelos
coeficientes a 1 ,a 2 ,...,ane V é a representação matricial do vetor v.
E2) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1). E3) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
E4) Sejam os vetores v 1 = ( 2 ,− 1 , 2 ), v 2 = ( 0 , 3 ,− 2 )e v 3 = ( 4 , 2 , 0 ).
a) Escreva, se possível, o vetor v = ( 2 , 5 ,− 2 )como CL dos v etores v 1 e v 2.
b) Escreva, se possível, o vetor v 1 como CL dos vetores v 2 e v 3.
c) Determine o valor de “m” para que o vetor u = ( 6 , 0 ,m)seja CL dos vetores v 1 e v 2.
1.3. RESPOSTAS
E1) v = 3v 1 - 2v 2 E2) v = -3i + 2j E3) v = i + 3j – 2k E4) a) v = v 1 + 2v 2 b) Impossível c) m=
1.4. PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado
por u. v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
Se u = (x 1 , y 1 ) ∈ ℜ^2 e v = ( x 2 , y 2 ) ∈ ℜ^2 então u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2.
Se u = (x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ ℜ^3 e v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ ℜ^3 então u.v = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2.
E1) Determinar u. v ,sabendo que u = (1, -2) e v = (4,2).
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular
→ →
AB. BC.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
a) u. v = v. u
b) u .( v + w ) = u. v + u. w
c) α ( u. v ) = ( α u ). v = u .( α v ), com α ∈ℜ
d) u.u = | u |^2
1.5. MÓDULO DE UM VETOR
Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v. v.
No ℜ 2 , se v =(x,y ) então | v|= x^2 +y^2.
No ℜ 3 , se v =(x,y,z ) então | v|= x^2 +y^2 +z^2.
E3) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,3), calcular | u | e | v |.
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m, -2), calcular m para que |
→ AB | = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
a) | u | ≥ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0
b) | -u | = | u | c) | α u | = | α |.| u |
E11) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
E12) a) θ = arc cos (3/5). b) 90o^ c) 0o^ d) 45o^ e) 90o^ f) 0o
E13) m = -4. E14) m = -3. E15) SIM. E16) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c.
2. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
2.1. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
E1) Sejam os vetores v 1 = ( 2 ,− 1 , 2 ), v 2 = ( 0 , 3 ,− 2 )e v 3 = ( 4 , 2 , 0 ).
a) Determine os vetores do ℜ^3 que podem ser escritos como CL dos vetores v 1 , v 2 e v 3.
b) Determine os vetores do ℜ^3 que podem ser escritos como CL dos vetores v 3 ev 4 = ( 2 , 1 , 0 ).
Seja A = {v 1 ,v 2 ,..,vn}um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e seja
S = {v ∈ V/v=a 1 v 1 +a 2 v 2 +...+anvn,ai∈ℜ}. O conjunto S, também representado por G(A) ou
[ v 1 ,v 2 ,...,vn], é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores v 1 ,v 2 ,...,vn.
E2) Se V = ℜ 2 , determine o subespaço gerado por:
a) v 1 = ( 1 , 2 ) b) v 1 = ( 1 ,− 2 )e v 2 = (− 1 , 2 ) c) v 1 = ( 1 , 0 )e v 2 =( 2 , 2 )
d) v 1 = ( 1 , 2 ), v 2 = ( 1 , 1 )e v 3 = (− 1 , 1 ) e) v 1 = ( 1 , 2 )e v 2 =( 0 ,− 1 )
E3) Se V = ℜ 3 , determine o subespaço gerado por:
a) v 1 = ( 1 , 3 , 2 ) b) v 1 = ( 1 , 3 , 2 )e v 2 = (− 2 ,− 6 ,− 4 ) c) v 1 = (− 1 , 1 , 2 )e v 2 =( 1 , 1 , 1 )
d) v 1 = ( 1 ,− 1 , 1 ), v 2 = (− 2 , 2 ,− 2 ) e v 3 = ( 1 , 1 , 1 ) e) v 1 = ( 1 , 0 , 0 ), v 2 = ( 0 , 2 , 0 )e v 3 =( 0 , 0 , 3 )
f) v 1 = ( 1 , 1 , 0 ), v 2 = ( 0 , 1 , 1 ), v 3 = ( 1 , 1 , 1 )e v 4 =( 2 , 0 ,− 1 )
2.2. RESPOSTAS
E1) a) ∀ v ∈ℜ^3 b) v=(2y,y,0) , y ∈ℜ
E2) a) {(^ x ,y)∈ℜ 2 /y= 2 x} b) {(^ x ,y)∈ ℜ^2 /y=− 2 x} c) ℜ 2 d) ℜ 2 e) ℜ^2
E3) a) {( x ,y,z)∈ ℜ^3 /y= 3 xez= 2 x} b) {( x ,y,z)∈ℜ^3 /y= 3 xez= 2 x}
c) {( x ,y,z)∈ ℜ^3 /x− 3 y+ 2 z= 0 } d) {( x ,y,z)∈ ℜ^3 /z=x} e) ℜ 3 f) ℜ^3
2.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam os vetores v 1 ,v 2 ,...,vnde um espaço vetorial V e a equação a 1 v 1 + a 2 v 2 +...+anvn= 0 (1).
Os vetores v 1 ,v 2 ,...,vnsão ditos linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita
apenas a solução trivial a 1 = a 2 =...=an= 0.
Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, então os vetores v 1 ,v 2 ,...,vnsão ditos
linearmente dependentes (LD).
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.
a) v 1 = ( 1 , 2 , 3 )e v 2 =(− 2 ,− 4 ,− 6 )
b) v 1 = ( 0 , 1 , 2 ), v 2 = ( 1 , 2 , 3 )e v 3 =( 1 , 3 , 0 )
c) v 1 = ( 1 ,− 1 , 2 ), v 2 = ( 2 , 0 , 3 )e v 3 =( 0 ,− 2 , 1 )
2.4. PROPRIEDADES
a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores é CL dos demais.
b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.
2.5. RESPOSTAS
E1) a) LD b)LI c) LD
2.6. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Seja B = {v 1 ,v 2 ,...vn}um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:
a) B é LI; b) B gera V.
E1) Seja B o conjunto dado pelos vetores v 1 = (1,0), v 2 = (-2,0) e v 3 = (1,2). Verifique se B é uma base do ℜ 2.
a) B = { v 1 } b) B = { v 1 , v 2 } c) B = { v 1 , v 2 , v 3 } d) B = { v 1 , v 3 }
E2) Seja B o conjunto formado pelos vetores v 1 = ( 1 , 2 , 0 ), v 2 = ( 0 , 1 , 1 ), v 3 = (− 1 , 0 , 0 )e v 4 = ( 1 , 1 ,− 1 ).
Verifique se B é uma base do ℜ 3.
a) B = { v 1 , v 2 } b) B = { v 1 , v 2 , v 3 } c) B = { v 1 , v 2 , v 4 } d) B = { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 }
2.7. PROPRIEDADES
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.
2. Se B = { v 1 , v 2 ,..., vn } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de “n”
vetores é LD.
3. Se B = { v 1 , v 2 ,..., v n} é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único
como combinação linear dos vetores de B.
4. Todas as bases de um espaço vetorial V têm o mesmo número de vetores.
Exemplo : Qualquer base do ℜ 2 tem 2 vetores e qualquer base do ℜ 3 tem 3 vetores.
Observações:
a) No sistema de eixos adotado no ℜ 2 , temos dois vetores padrão i = (1,0) e j = (0,1).
y
1 j = (0,1) 1 0 i = (1,0) x
b) No sistema de eixos adotado no ℜ 3 , temos três vetores padrão i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).
z
1 k = (0,0,1) 1
0 j = (0,1,0) y
1 i = (1,0,0) x
E5) Seja a matriz A = (^)
, determine :
a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v = (1,-1,1), usando a matriz A. c) a imagem de v = (1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u, tal que f(u) = 0. E6) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y) = (x+2y,x-y,3x-5y) E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear: a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x
E8) Um operador linear no ℜ^2 é definida pela matriz [ ] (^)
f. Determine u e v , tal que :
a) f(u)=u b) f(v)=-v
E9)Um operador linear no ℜ^3 é definido pela matriz
A. Determine v e w tais que:
a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3)
E10)Um operador linear é definido pela matriz A =
. Determine v (^) ≠ 0 e u (^) ≠ 0 tal que:
a) Av = 5v b) Au = -2u
3.3. TL DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA
Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matriz canônica de f.
E11) Seja f: ℜ 2 →ℜ^3 a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4, -3). Determine:
a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei
E12) Seja f: ℜ^3 →ℜ^2 a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1). Encontre
f(x,y,z) e [f]. E13) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f]. E14) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
3.4. COMPOSTA DE DUAS TL
Sejam f 1 : V → W e f 2 : W → U transformações lineares. A composta de f 2 com f 1 é a TL f 2 of 1 : V → U
definida por (f 2 of 1 )(v) = f 2 (f 1 (v)).
W
w=f 1 (v)= [f 1 ].v
f 1 f 2 [f 1 ] [f 2 ]
V U f 2 of 1 v u= f 2 (w)= [f 2 ].[f 1 ].v [f 2 of 1 ] = [f 2 ]. [f 1 ]
Importante: A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E15) Sejam os operadores lineares definidos por f 1 (x,y) = (3x+y , y-x) e f 2 (x,y) = (2x-y , 3x). a) as matrizes das compostas f 1 of 2 e f 2 of 1.
b) as leis das compostas f 1 of 2 e f 2 of 1. E16) Sejam as TLdadas por f 1 (x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f 2 (x,y,z) = ( x-y , y -z). Determine: a) as matrizes das compostas f 1 of 2 e f 2 of 1. b) as leis das compostas f 1 of 2 e f 2 of 1.
3.5. RESPOSTAS
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v E4) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5)
E5) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z ∈ℜ
E6) A =
E7) a) A = (^)
b) A =
c) A = (^) [ 1 1 ] d) A =[3]
E8) a) (y , y) , y ∈ ℜ b) (x , 0) , x ∈ ℜ. E9) a) (3z , z , z) , z ∈ℜ b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ∈ℜ
E10) a) (x , 3x) x ∈^ ℜ b) NE
E11) a) (7 , 26 , -7) b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y) c) (7 , 26 , -7)
E12) f(x,y,z) = (2x– 4y–2z,3x+y–z ), [ f ] = (^)
E13) f(x,y) = (3x+4y,-2x,x+2y), [ f ] =
. E14) f(x,y,z) = (x+2y+4z,–y+3z), [ f ] =
E15) a)
e
b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
E16) a)
e (^)
b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
4. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
4.1. DEFINIÇÃO
Seja f:V→ V um operador linear. Um vetor não-nulo v∈ V é chamado vetor próprio ou autovetor
de f se existe λ ∈ℜ, tal que f(v) = λ v. O real λ é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao vetor próprio v.
E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e o s valores próprios correspondentes do operador linear f. y f(v 2 ) v 3 f(v 3 ) v 1 v 2
0 x
f(v 1 )
b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y) c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)
d) da matriz A =
E6) Sabendo que λ = 2 é valor próprio de A =
calcule os vetores próprios correspondentes.
4.3. RESPOSTAS
E1) v 1 =(2,2), λ 1 =− 1 e v 2 =(4,2), λ 2 = 2.
E3) a) (16,24) b) (-2,2 ) c) (8/3,4) d) ( -1/2 , 1/2 )
E4) a) Sim λ = 6 b) Não
E5) a) λ 1 =− 1 , v 1 = (x,−x),x≠ 0 e λ 2 = 6 e v 2 = ( 5 t, 2 t), t ≠ 0
b) λ 1 =− 1 , v 1 = (x,−x),x≠ 0 e λ 2 = 4 e v 2 = ( 2 t, 3 t), t ≠ 0
c) λ 1 =− 1 , v 1 = ( 0 ,− 3 z,z),z≠ 0 e λ 2 = 1 e v 2 = (−z,z,z), z ≠ 0 e λ 3 = 2 , v 3 =( 0 , 0 ,z),z≠ 0
d) λ 1 =− 6 , v 1 = ( 0 , 3 t,− 2 t),t≠ 0 e λ 2 = 0 e v 2 = (x, 0 , 0 ), x ≠ 0 e λ 3 = 6 , v 3 =( 0 , 3 t, 2 t),t≠ 0
E6) v= (x ,y ,- x - 2y), com x e y não simultaneamente nulos
5. BIBLIOGRAFIA
ANTON, Howard, RORES, Chris. Algebra Linear com aplicações. 8 .ed. Ed. Bookman.
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G. Algebra Linear. Ed. Harbra, 1980.
KOLMAN, Bernard. Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6 .ed. Ed. Prentice-Hall do Brasil,
LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. Livros Técnicos e Científicos S. A., 1999.
MOREIRA, Francisco Leal. Álgebra linear e geometria analítica , Material Didático, FAMAT/PUCRS,
STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. McGraw-Hill, 1987.
