Baixe Coordenadas e Transformações em Cálculo Vectorial e outras Esquemas em PDF para Engenharia Militar, somente na Docsity!
Eletromagnetismo – CEL
Prof. Pedro S. Almeida
Sala 4273-E
[email protected]
Depto. Circuitos Elétricos
Engenharia Elétrica
Faculdade de Engenharia
Eletromagnetismo– CEL0 65
«Formulário de Cálculo Vetorial & Eletromagnetismo»
Vetores unitários
Coordenadas retangulares –
x y z
a a a
Coordenadas cilíndricas –
ρ z
a , a , a
Coordenadas esféricas –
r θ
a a a
Transformação de coordenadas
2 2
1
2 2 2 2 2
2 2
1 1
x cos r sen cos
y sen r sen sen
z r cos
x y r sen
y
tan
x
r x y z z
x y
tan tan
z z
Transformação de coordenadas de componentes vetoriais
x r
y r
z r
x y r
x y
r x y z z
A A cos A sen A sen cos A cos cos A sen
A A sen A cos A sen sen A cos sen A cos
A A cos A sen
A A cos A sen A sen A cos
A A sen A cos
A A sen cos A sen sen A cos A sen A cos
A
x y z z
A cos cos A cos sen A sen A cos A sen
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Cálculo Vetorial
y z
x y x y z
y x x y z
y x
z y x y z
x
z
A B
A B A A A
A B B B B
A B
A B A A A
A B
x x y z
z
y
z x y z
x
y
a a a a
a
a
a a a a
a
a
Elementos vetoriais diferenciais de comprimento
dx dy dz
d d d dz
dr r d r sen d
x y z
ρ z
r θ
a a a
L a a a
a a a
Elementos vetoriais diferenciais de área
2
dy dz dx dz dx dy
d d dz d dz d d
r sen d d r sen dr d r dr d
x y z
ρ z
r θ
a a a
S a a a
a a a
Elementos diferenciais de volume
2
dx dy dz
dV d d dz
r sen dr d d
Operações multiplicativas vetoriais
(válidas para qualquer sistema de coordenadas)
x x y y z z
y z z y z x x z x y y x
| || | cos(A B) A B A B A B
| || | sen(A B)
A B A B A B A B A B A B
n
x y z
A B A B
A B A B a
a a a
Coordenadas retangulares –
x y z
y z x
z x y
a a a
a a a
a a a
Coordenadas cilíndricas –
ρ z
z ρ
z
a a a
a a a
a a a
Coordenadas esféricas –
r
r
r θ
θ
a a a
a a a
a a a
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Regra de Sarrus para produto vetorial:
Cálculo Vetorial
Coordenadas esféricas:
2 r 2 r r r
2 2
2 2
r r r sen
A
(r A ) (A sen ) 1 1 1
r r r sen r sen
(A sen ) A 1
r sen
(rA ) A 1 1
r sen r
1 (rA ) A
r r
r
r r r r sen
r
a a a
A
A a
a
a
2
2 2 2
2 2 r
r 2 2
2 r
2 2 2 2 2
2 r
2 2 2 2 2
sen
r sen
A
2A 2 (A sen )
A
r r sen
A
A 2 A 2 cos
A
r sen r r sen
A
2 A 2 cos A
A
r sen r sen r sen
r
θ
A a
a
a
Propriedades:
A B A B
A B A B
A 0
Identidades:
2
2
2 2 2
A A Α
A A A
A B A B A B
A A A
Cálculo Vetorial
Teoremas de cálculo vetorial
Teorema da Divergência:
S V
d dV
A S A
Teorema de Stokes:
C S
d d
A L A S
Circulação de um campo conservativo F (campo irrotacional):
Se
P
d
F L
independe do caminho P, então
C
d 0
F L
e
F 0 .
Para
C
d 0
F L
e
F 0 ,
F
(pois
0
).
Álgebra complexa e fasores
Unidade imaginária:
2
j 1
Complexos conjugados:
2 2
2 2
j * j
j j *
j
( ) j( )
j
Fórmula de Euler:
j
e cos j sen
Forma polar (fasores):
j
2 2
1
z j Z e
Z cos
Zsen
Z | z |
tan
j
j
j( )
j( )
z ( j ) Z e
se
p ( j ) P e
z p ( j )( j ) MP e
z ( j ) M
e
p ( j ) P
Equação de onda
Unidimensional:
2 2
2
2 2
u(z, t) u(z, t)
c
t z
Geral:
2
2 2
2
c 0
t
Solução: qualquer função do tipo
(z ct)
(onda viajante em z com velocidade c)
z
x
y
Eletrostática
Lei de Coulomb
3
( )
q
(V / m)
4 | |
m q
m q
r r
E
r r
Fluxo elétrico e Lei de Gauss
S
d Q (C)
D S
(1ª eq. Maxwell)
Energia e Potencial Elétrico
AB AB
A
AB
B
W qV (J)
ddp V E d L (V J / C)
Como
C
d 0
E L
(campo conservativo, LKT vetorial),
então existe um campo escalar V tal que
E V
(consequência da 3ª eq. Maxwell para
t
B
)
Condições de fronteira
Condutor-espaço livre –
t t
n 0 n S
D E 0
D E
Dielétrico-dielétrico –
t1 t 2
n1 n 2
E E
D D
Capacitância
S
A( )
AB
B( )
d
Q
C cte. (F C / V)
V
d
D S
E L
Equações de Poisson & Laplace
2 v
2
V
V 0
Magnetostática
Lei de Biot-Savart
3
I d ( )
d
4 | |
m I
m I
L r r
H
r r
Superposição:
2
C
I d
(A / m)
4 R
R
L a
H
Lei Circuital de Ampère
C
d I
H L
(4ª eq. Maxwell para
t
D
)
Fluxo magnético e Lei de Gauss para o magnetismo
S
B d S (Wb V s)
S
d 0
B S
(2ª eq. Maxwell)
Potencial magnético vetorial
C
I d
(V s / m)
4 R
L
A
d
C
B A
A L
(consequência da 2ª eq. Maxwell)
Condições de fronteira
Entre dois meios –
n1 n 2
t1 t 2 n
B B
H H K
Indutância
S
C
d
L cte. (H Wb / A)
I
d
B S
H L
Equação vetorial de Poisson
2
A J
Efeitos Eletromagnéticos em Alta Frequência
Efeito pelicular
r
(r) e
S
J J
Profundidade de penetração –
2 1
f
Linhas de transmissão
Equações do telégrafo (p/ correntes e tensões senoidais, LT ao longo de z):
2 2 2 2 2 2
d d
V(z, t) R I(z, t) L I(z, t) V(z) V(z) 0
dz dt z
d d
I(z, t) G V(z, t) C V(z, t) I(z, t) I(z) 0
dz dt z
Solução –
z z
o o
V(z) V e V e
Cte. propagação –
j R j L G j C j LC
Impedância Característica –
0
R j L R j L L
Z
G j C C
Velocidade de fase –
p
1
v
LC
Coeficiente de reflexão –
L 0
L 0
Z Z
Z Z
Antenas
Dipolo Hertziano (
d ) –
Id
4 R
z
A a
Solução para campo distante –
2
jkr
2
0 jkr
0
I d k
H j e sen
4 k r
I d k
E j e sen
4 k r
Resistência de radiação –
2
med
rad 0 2 2
P 2 d
R 2
I 3
L (H/m), C(F/m),
R(Ω/m), G (S/m)
Triângulo de Leis da Eletrostática em R
3
CARGA
CAMPO,
FLUXO
POTENCIAL,
TENSÃO
V
3
V
(
)
1
(
)
(
)dV
4
|
|
m
q
m
q
m
q
r
r
E r
r
r
r
2
V
V
V
D
E V
V
V
V(
dV
q
m
m
q
r
r
r
r
C
E d L 0
C
V E d L
( ), ( )
m m
E r D r
V( )
m
r
V
q, ( )
q
r
Campo
conservativo:
Gauss
Poisson
Coulomb
(implica na
existência de V)
Triângulo de Leis da Magnetostática em R
3
ELEMENTO DE
CORRENTE
CAMPO,
FLUXO
POTENCIAL
VETORIAL
3
C
d
I
m
I
m
m
I
L
r
r
H r
r
r
2
A
J
C
d
I
H
L
J
H
B A
V
dV
I
m
m
I
J r
A r
r
r
B 0
Inexistência
de monopolos
magnéticos:
Ampère
Poisson vetorial
Biot-Savart
( )
m
A r
I d L J ,
(implica na
existência de A )
( ), ( )
m m
H r B r
t
B
E
S
f.e.m. d
t
B S
campos variantes
no tempo
t
D
H J
S
f .m.m. I d
t
D S
v
t
J
