Baixe Notas de Algebra linear e outras Resumos em PDF para Física, somente na Docsity!
Algebra Linear
1. Introduction to Vectors
Notas:
i.
Exercícios
2. Solving Linear Equations
Notas:
i. Multiplicação de matrizes “AB”:
Se A tem n colunas ,B deve ter n linhas
ii. Uma matriz é invertivel se:
i. Eliminação produz n pivôs
ii. Só pode ter uma matriz invertida
iii. A solução para Ax = b é x = A
− 1
b
iv. Ax = 0 não pode ter inversa
v. Uma matriz 2x2 só pode ser invertivel se:
[
a b
c d
]
− 1
ad − bc
[
d − b
− c a
]
ad − bc
vi. Uma matriz diagonal tem inversa se nenhum
componenete é zero
iii. Para achar a inversa de uma matriz,começe por:
[ A I ]
Em seguida transforme essa matriz, por eliminação, em
[ I A
− 1
]
Exercícios
[
][
]
[
][
]
[
][
]
3. Vector Spaces and Subspaces
Notas:
i. Para matrizes invertiveis, x=0 é a única solução do
problema.
ii. Teorema importante:
Se uma matriz tem mais colunas do que linhas,existe
soluções não nulas.Deve então existir colunas livres sem
pivos
iii. O nullspace N(A) é composto por todas as soluções o do
problema Ax = 0
. Tais vetores estão em
R
n
iv. Para achar as soluções de Ax = 0 , escolha um ponto na
linha, logo todas a soluções estão nessa linha, em seguida
escolha o segundo componente como 1 para achar o
primeiro componente pela equação. Essa é a solução
especial:
v. reduced row echelon form R = rref (A) é a matriz com 0
em cima dos pivos e pivos =
vi. Rank= numero de pivos
vii. Em um sistema de Ax = b , as soluções existem se exister
uma linha de 0 tanto na matriz original quanto na
aumentada.
viii. Toda matriz “full column rank”: r = n tem as seguintes
propriedades:
o Todas as colunas são colunas de pivos
o Não existe soluções especiais
o O Nullspace contem só o vetor 0
o O sistema
Ax = b
tem uma solução ou nenhuma.
ix. Toda matriz “full row rank”: r = m. Tem uma ou infinita
soluções e essas outras propriedades:
o Todas as linhas tem pivos, e R não tem linhas de zero.
o
Ax = b
tem solução para cada lado b
o O “column space” é todo o espaço
R
m
o Existe
n − r = n − m
soluções especiais do nullspace.
x. Base é o conjuto de vetores que “gera” o espaço vetorial.
o Vetores independentes= sem vetores extra
o Gerar um espaço=minimo de vetores necessario para
gerar todos os outros
o Bases para um espaço= nem muito nem poucos vetores
o O numero de vetores na base é a dimensão do espaço
Ax = 0 →
[
]
[
a
b
c
d
e
]
{
a + 2 b + 2 c + 4 d + 6 e = 0
c + 2 d + 3 e = 0
→ a + 2 b = 0
iii. Fazendo b = 1 :
a + 2 b = a + 2 → a =− 2
iv. Logo a solução especial para variavel livre
x
2
é:
s
1
v. Para
x
4
{
a + 2 b + 2 c + 4 d + 6 e = 0
c + 2 d + 3 e = 0
→
{
a + 0 + 2 c + 4 + 0 = 0
c + 2 + 0 = 0
→ a = 0
vi. Logo a solução especial para
x
4
é:
s
2
vii. Para
x
5
{
a + 0 + 2 c + 0 +6.1= 0
c + 0 +3.1= 0
{
a + 2 c + 6 = 0
c + 3 = 0
→ c =− 3 ; a = 0
viii. Logo a solução especial para
x
5
é:
s
3
4. Orthogonality
Notas:
i.
Exercícios
5. Determinants
Notas:
ii.
Exercícios
6. Eigenvalues and Eigenvectors
Notas:
iii.
Exercícios
7. Linear Transformations
Notas:
iv.
Exercícios
8. Applications
Notas:
v.
Exercícios
9. Numerical Linear Algebra
Notas:
vi.
Exercícios
10. Complex Vectors and Matrices
Notas:
vii.
Exercícios
