Notas de Aula Algebra Linear, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Notas de Aula Algebra Linear e outras Notas de aula em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!

Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

= Q

Q

t

Q

t

Q =

PULINUS^ sq

Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes

Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matem´atica Aplicada Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica Universidade Estadual de Campinas E–mail: [email protected] www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Janeiro de 2012

• A Provas e Avalia¸c˜oes
  • A.1 Segundo Semestre de
    • A.1.1 Primeiro Teste
    • A.1.2 Primeira Prova
    • A.1.3 Segundo Teste
    • A.1.4 Segunda Prova
    • A.1.5 Segunda Chamada
    • A.1.6 Exame
  • A.2 Segundo Semestre de
    • A.2.1 Primeira Prova
    • A.2.2 Segunda Prova
    • A.2.3 Terceira Prova
    • A.2.4 Segunda Chamada
    • A.2.5 Exame
  • A.3 Primeiro Semestre de
    • A.3.1 Primeira Prova
    • A.3.2 Segunda Prova
    • A.3.3 Terceira Prova
    • A.3.4 Segunda Chamada
    • A.3.5 Exame
  • A.4 Segundo Semestre de
    • A.4.1 Primeira Prova
    • A.4.2 Primeira Prova (Substitutiva)
    • A.4.3 Segunda Prova
    • A.4.4 Terceira Prova
    • A.4.5 Segunda Chamada
    • A.4.6 Exame
  • A.5 Segundo Semestre de ii CONTE UDO´
    • A.5.1 Primeira Prova
    • A.5.2 Segunda Prova
    • A.5.3 Terceira Prova
    • A.5.4 Segunda Chamada
    • A.5.5 Exame
  • A.6 Segundo Semestre de
    • A.6.1 Primeiro Teste
    • A.6.2 Primeira Prova
    • A.6.3 Segundo Teste
    • A.6.4 Segunda Prova
    • A.6.5 Exame
  • A.7 Segundo Semestre de
    • A.7.1 Primeiro Teste
    • A.7.2 Primeira Prova
    • A.7.3 Segundo Teste
    • A.7.4 Segunda Prova
    • A.7.5 Exame
• B Gabarito das Avalia¸c˜oes
  • B.1 Segundo Semestre de
    • B.1.1 Primeira Prova
    • B.1.2 Segunda Prova
    • B.1.3 Terceira Prova
    • B.1.4 Segunda Chamada
    • B.1.5 Exame
  • B.2 Primeiro Semestre de
    • B.2.1 Primeira Prova
    • B.2.2 Segunda Prova
    • B.2.3 Terceira Prova
    • B.2.4 Segunda Chamada
    • B.2.5 Exame

©cPetronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP

A

Provas e Avalia¸c˜oes

Conte´udo

A.1 Segundo Semestre de 2008..................... 2 A.2 Segundo Semestre de 2006..................... 10 A.3 Primeiro Semestre de 2006..................... 19 A.4 Segundo Semestre de 2005..................... 28 A.5 Segundo Semestre de 2004..................... 40 A.6 Segundo Semestre de 1999..................... 48 A.7 Segundo Semestre de 1998..................... 53

Petronio Pulino 3

A.1.2 Primeira Prova

Quest˜ao 1. (2.5 Pontos)

Considere o subconjunto U do espa¸co vetorial real P 3 (IR) definido da forma:

U = { p(x) ∈ P 3 (IR) / p(−1) + p′(−1) = 0 e p(1) = 0 }.

onde p′^ indica a derivada de p. Verifique se o subconjunto U ´e um subespa¸co vetorial de P 3 (IR). Em caso afirmativo, determine uma base para o subespa¸co U.

Quest˜ao 2. (2.0 Pontos)

Considere o subespa¸co W do espa¸co vetorial real IR^4 gerado pelos elementos do conjunto S definido por: S = { (1, 0 , 1 , 2), (2, 1 , 1 , 2), (1, − 1 , 2 , 4) }.

Determine um subespa¸co U de IR^4 de modo que IR^4 = W ⊕ U.

Quest˜ao 3. (2.5 Pontos)

Sejam V um espa¸co vetorial real e γ = { v 1 , v 2 , v 3 } uma base ordenada de V.

(a) Mostre que β = { v 1 + v 3 , v 2 + v 3 , v 1 + v 2 + v 3 } ´e uma base de V.

(b) Se o elemento v ∈ V tem como matriz de coordenadas [v]γ dada por:

[v]γ =

determine a matriz de coordenadas do elemento v em rela¸c˜ao `a base ordenada β.

Quest˜ao 4. (3.0 Pontos)

Considere a transforma¸c˜ao linear T : IR^3 −→ P 3 (IR) definida por:

T (1, 0 , 1) = 2 + x^2 + x^3 , T (0, 1 , 0) = 1 + x^2 e T (0, 0 , 1) = x^2 − x^3.

(a) Calcule T (a, b, c) para a transforma¸c˜ao linear T.

(b) Determine uma base para o subespa¸co Im(T ).

(c) A transforma¸c˜ao linear T ´e injetora?

4 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

A.1.3 Segundo Teste

No Teste temos quatro quest˜oes enumeradas, 0 , 1 , 2 e 3. O aluno deve fazer uma quest˜ao cujo n´umero ´e o resto da divis˜ao por 4 do ´ultimo algarismo de seu RA. Exemplo: RA 0314468 , que tem 8 como ´ultimo algarismo. Como o resto da divis˜ao de 8 por 4 ´e 0 , o aluno com esse RA deve fazer a Quest˜ao 0.

Quest˜ao 0. Considere a transforma¸c˜ao linear T : IR^2 −→ P 1 (IR) tal que

[T ]βγ =

[

]

onde β = { (0, 1) , (1, 1) } ´e a base ordenada para IR^2 e γ = { 1 + t , t − 1 } ´e a base ordenada para P 1 (IR).

(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR^2 de modo que T (a, b) = 1 + t.

(b) Determine explicitamente a express˜ao de T (a, b).

(c) Verifique se T ´e um isomorfismo de IR^2 em P 1 (IR). Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso T −^1 : P 1 (IR) −→ IR^2.

Quest˜ao 1. Considere a transforma¸c˜ao linear T : IR^2 −→ P 1 (IR) tal que

[T ]βγ =

[

]

onde β = { (1, 1) , (0, 1) } ´e a base ordenada para IR^2 e γ = { 1 , t − 1 } ´e a base ordenada para P 1 (IR).

(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR^2 de modo que T (a, b) = t − 1.

(b) Determine explicitamente a express˜ao de T (a, b).

(c) Verifique se T ´e um isomorfismo de IR^2 em P 1 (IR). Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso T −^1 : P 1 (IR) −→ IR^2.

6 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

A.1.4 Segunda Prova

Quest˜ao 1. (3.0 Pontos)

Considere a transforma¸c˜ao linear T : IR^4 −→ IR^3 definida por:

T (x, y, z, t) = (x − 2 y + t , 2 x + y − z , 5 y − z − 2 t).

(a) Determine uma base para o subespa¸co Ker(T ).

(b) Determine uma base para o subespa¸co Im(T ).

(c) Determine uma base γ para o espa¸co vetorial IR^4 contendo uma base de Ker(T ).

(d) Determine a matriz [T ]γβ , onde β ´e a base ordenada de IR^3 dada por:

β = { (1, 0 , 0) , (1, 1 , 0) , (0, 1 , 1) }.

Quest˜ao 2. (2.0 Pontos)

Considere T : IR^2 −→ P 1 (IR) a transforma¸c˜ao linear tal que

T (1, 1) = 1 − x e T (1, −1) = 1 + 3x.

Mostre que T ´e um isomorfismo de IR^2 em P 1 (IR). Determine explicitamente a express˜ao do isomorfismo inverso T −^1 (a 0 + a 1 x).

Quest˜ao 3. (2.5 Pontos)

Considere o espa¸co vetorial real IR^3 munido com o seguinte produto interno

〈 u , v 〉 = 2x 1 x 2 + y 1 y 2 + 4z 1 z 2 ,

onde u = (x 1 , y 1 , z 1 ) e v = (x 2 , y 2 , z 2 ). Dados os elementos

w 1 = (1, 0 , 1) e w 2 = (1, 1 , 1) ,

determine dois elementos v 1 , v 2 ∈ IR^3 de modo que

w 2 = v 1 + v 2 ,

com { v 1 , w 1 } um conjunto linearmente dependente e { v 2 , w 1 } um conjunto ortogonal com rela¸c˜ao ao produto interno definido acima.

Petronio Pulino 7

Quest˜ao 4. (2.5 Pontos)

Considere o seguinte subespa¸co vetorial W do espa¸co vetorial real IR^4 dado por:

W = { (x, y, z, t) ∈ IR^4 / z + t = 0 e x − y = 0 }.

Utilizando o Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal para o espa¸co vetorial real IR^4 contendo uma base ortogonal do subespa¸co W , com rela¸c˜ao ao produto interno canˆonico de IR^4.

Petronio Pulino 9

A.1.6 Exame

Quest˜ao 1. (2.5 Pontos)

Considere o subconjunto U do espa¸co vetorial real IMn(IR) dado por:

U = { A ∈ IMn(IR) / At^ = A e tr(A) = 0 }.

(a) Mostre que U ´e um subespa¸co vetorial de IMn(IR).

(b) Considerando o espa¸co vetorial IM 3 (IR), exiba uma base para o subespa¸co U.

Quest˜ao 2. (2.5 Pontos)

Considere os subespa¸cos W 1 e W 2 do espa¸co vetorial real IR^3 dados por:

W 1 = { (x, y, z) / 3 x − 2 y + z = 0 } e W 2 = { (x, y, z) / 2 x + y − 4 z = 0}.

(a) Determine a dimens˜ao dos subespa¸cos W 1 + W 2 e W 1 ∩ W 2.

(b) Encontre uma base de IR^3 que contenha uma base do subespa¸co W 1 e tamb´em uma base do subespa¸co W 2.

Quest˜ao 3. (2.5 Pontos)

Considere o operador linear T : P 1 (IR) −→ P 1 (IR) dado por:

T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(1).

Sejam β = { 1 , 7 − 4 x } e γ = { q(x), 2 x − 1 } bases para P 1 (IR) tais que

[T ]βγ =

3 s − 1 1

(a) Determine o polinˆomio q(x) e o parˆametro s ∈ IR.

(b) T ´e um automorfismo? Em caso afirmativo, determine o automorfismo inverso.

Quest˜ao 4. (2.5 Pontos)

Seja W o subespa¸co de IR^4 dado por:

W = { (x, y, z, t) ∈ IR^4 / x + y = 0 e 2 x − y + z = 0 }.

Determine uma base ortogonal para cada um dos subespa¸cos W e W ⊥, com rela¸c˜ao ao produto interno usual de IR^4.

10 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

A.2 Segundo Semestre de 2006

A.2.1 Primeira Prova

Quest˜ao 1. (2.5 Pontos)

Considere o espa¸co vetorial real IR^2 e os seguinte subespa¸cos U =

(x, y) ∈ IR^2 / y = 3 x

e W =

(x, y) ∈ IR^2 / y = − 2 x

Verifique se o seguinte subconjunto U ∪ W =

(x, y) ∈ IR^2 / (x, y) ∈ U ou (x, y) ∈ W

´e um subespa¸co vetorial de IR^2.

Quest˜ao 2. (2.5 Pontos)

Sejam V um espa¸co vetorial sobre o corpo IF e u, v, w elementos distintos de V. Prove que o conjunto { u, v, w } ´e linearmente independente em V se, e somente se, o conjunto { u + v, u + w, v + w } ´e linearmente independente em V.

Quest˜ao 3. (2.5 Pontos)

Considere o espa¸co vetorial real IM 2 (IR) e os seguintes subespa¸cos

U =

{ [

a b c a

]

; a , b , c ∈ IR

e W =

{ [

0 a −a b

]

; a , b ∈ IR

(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespa¸cos: U , W , U ∩ W e U + W.

(b) IM 2 (IR) = U ⊕ W? Justifique sua resposta.

Quest˜ao 4. (2.5 Pontos)

Considere o espa¸co vetorial IR^2. A matriz de mudan¸ca da base ordenada γ = { u 1 , u 2 } , onde u 1 = (1, 1) e u 2 = (− 2 , 2), para a base ordenada α = { v 1 , v 2 } ´e dada por:

[I]γα =

[

]

(a) Determine a base ordenada α.

(b) Determine o elemento u ∈ IR^2 tal que [u]α =

[

]

12 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Quest˜ao 4. (2.0 Pontos)

Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, com dim(V ) = n, e T um operador linear sobre V tal que Im(T ) = Ker(T ). Pede–se:

(a) Mostre que n ´e par.

(b) Considerando V = IR^4 , determine um operador linear T sobre V com essas propriedades.

Petronio Pulino 13

A.2.3 Terceira Prova

Quest˜ao 1. (2.0 Pontos)

Sejam V um espa¸co vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear sobre V , λ ∈ IF e Eλ o subconjunto de V definido por:

Eλ = { v ∈ V / T (v) = λv }.

Prove que T (Eλ) ⊂ Eλ.

Quest˜ao 2. (3.0 Pontos)

Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre o corpo IF e T um operador linear sobre V. Pede–se:

(a) Se v ∈ V ´e um autovetor de T , quantos autovalores associados a v podem existir, no m´aximo? Justifique sua resposta.

(b) Se λ = 0 ´e um autovalor de T , podemos afirmar que T n˜ao ´e um operador injetor? A rec´ıproca ´e verdadeira? Justifique suas respostas.

(c) Se o operador linear T possui somente dois autovalores distintos λ 1 e λ 2 com dim(Vλ 1 ) = n − 1, prove que T ´e um operador diagonaliz´avel.

Quest˜ao 3. (3.0 Pontos)

Seja T : IR^2 −→ IR^2 um operador linear definido por T (x, y) = (5x − 6 y , x). Pede–se:

(a) Calcule os autovalores e os autovetores do operador T.

(b) Exiba uma base para cada um dos autoespa¸cos do operador T.

(c) Utilizando o resultado do item (a), calcule os valores de a, b, c, d ∈ IR, tais que

T 8 (x, y) = (ax + by , cx + dy) ,

onde T n^ : IR^2 −→ IR^2 ´e o operador linear definido por:

T 0 = I e T n^ = T n−^1 ◦ T para todo natural n ≥ 1.

Petronio Pulino 15

A.2.4 Segunda Chamada

Quest˜ao 1. (2.5 Pontos)

Diga se ´e Falsa ou Verdadeira cada uma das afirma¸c˜oes abaixo, justificando sua resposta.

(a) Existe uma transforma¸c˜ao linear T : IR^4 −→ IR^3 que ´e injetora.

(b) Existe uma transforma¸c˜ao linear T : IR^4 −→ P 2 (IR) que ´e sobrejetora.

(c) Subconjuntos de um conjunto linearmente dependente s˜ao linearmente dependentes.

(d) Os espa¸cos vetoriais P 4 (IR) e IM 2 (IR) s˜ao isomorfos.

(e) Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita com dim(V ) = n, U e W subespa¸cos de V com dim(U ) > n 2

e dim(W ) > n 2

. Ent˜ao, U ∩ W = { (^0) V }.

Quest˜ao 2. (2.5 Pontos)

Considere o subconjunto U do espa¸co vetorial real IMn(IR) definido por:

U = { A ∈ IMn(IR) / At^ = A e tr(A) = 0 }

(a) Mostre que U ´e um subespa¸co vetorial de IMn(IR).

(b) Considerando o espa¸co vetorial IM 3 (IR), exiba uma base para o subespa¸co U.

Quest˜ao 3. (2.5 Pontos)

Considere a transforma¸c˜ao linear T : IR^2 −→ IR^3 tal que

[T ]βγ =

onde β ´e a base canˆonica de IR^2 e γ = { (1, 0 , 1), (− 1 , 0 , 1), (0, 1 , 0) } ´e uma base ordenada de IR^3. Pede–se

(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).

(b) Determine uma base para Im(T ).

(c) A transforma¸c˜ao T ´e injetora? Justifique sua resposta.

16 Algebra Linear e suas Aplica¸´ c˜oes: Notas de Aula

Quest˜ao 4. (2.5 Pontos)

Considere o operador linear T sobre P 2 (IR) definido por:

T (a + bx + cx^2 ) = (3a + 2b + c) + (b − c)x + 2cx^2.

Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T , exibindo uma base para cada um dos autoespa¸cos de T. O operador T ´e diagonaliz´avel? Justifique sua resposta.