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Notas de Aula - 30/11/

Profo: José Sérgio Domingues

Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES

Curso de Licenciatura Plena em Matemática

Sumário

• 1 Diagonalização de Matrizes
• 2 Diagonalização de Operadores
• 3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais
  • 3.1 Formas Bilineares
  • 3.2 Matriz de uma Forma Bilinear
  • 3.3 Forma Bilinear Simétrica
  • 3.4 Formas Quadráticas
• 4 Forma Canônica de Jordan
• 5 Teorema Espectral
  • 5.1 Operadores Auto-Adjuntos
  • 5.2 Teorema Espectral
• 6 Referências

Em outras palavras, o corolário nos garante que, se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de uma base de autovetores.

2 Diagonalização de Operadores

Denição 2.1. Dizemos que o operador linear T : V → V é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T.

Portanto, de acordo com o corolário acima, para vericar se um operador linear é di- agonalizável, basta mostrar que a matriz associada a esse operador possui n autovalores distintos.

Exemplo 2.2. Verique que T : R^3 → R^3 dado por T (x, y, z) = (3x− 3 y− 4 z, 3 y+5z, −z), não é diagonalizável. A matriz associada a esse operador linear em relação à base canônica é

A = [T ]αα =

portanto, o seu polinômio característico é dado por det(A − λI 3 ) e seus autovalores são as soluções da equação característica det(A − λI 3 ). Para o nosso exemplo, temos

A − λI 3 =

   

3 − 3 − 4 0 3 5 0 0 − 1

    −

   

λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

    =

   

3 − λ − 3 − 4 0 3 − λ 5 0 0 − 1 − λ

   

Então, P (λ) = 0 ⇐⇒ det(A − λI 3 ) = (3 − λ)^2 (− 1 − λ) = 0 ⇐⇒ λ 1 = 3 e λ 2 = − 1.

• Para λ 1 = 3, temos:

(A − 3 I 3 )v = 0 ⇐⇒

   

0 − 3 − 4 0 0 5 0 0 − 4

   

   

x y z

    =

   

0 0 0

    ⇐⇒

   

− 3 y − 4 z = 0 5 z = 0 − 4 z = 0

⇐⇒ x = α e y = z = 0. Portanto, W 1 = {(α, 0 , 0) | α ∈ R} = {α(1, 0 , 0) | α ∈ R}

• Para λ 2 = − 1 , temos:

(A+I 3 )v = 0 ⇐⇒

   

4 − 3 − 4 0 4 5 0 0 0

   

   

x y z

    =

   

0 0 0

    ⇐⇒

   

4 x − 3 y − 4 z = 0 4 y + 5 z = 0 0 = 0

⇐⇒ x = 16 α , y = −^54 α e z = α. Portanto, W 2 = {( 16 α , −^54 α, α) | α ∈ R} = {α( 161 , −^54 , 1) | α ∈ R} Neste caso, temos apenas dois autovetores L.I para T , e portanto não existe uma base de R^3 constituída só de autovetores de T. Isto signica este operador não é diagonalizável.

Exemplo 2.3. Mostre que T : R^2 → R^2 onde T (x, y) = (− 3 x + 4y, −x + 2y), é diagonalizável. De acordo com o que estudamos anteriormente, para mostrar que T é diagonalizável, basta vericar que a matriz associada a este operador linear possui o número de autoval- ores distintos igual a 2, pois neste caso, V = R^2 e dim(R^2 ) = 2.

Pois bem, em relação à base canônica α, temos que A = [T ]αα =

 −^3

. Logo,

det(A − λI 2 ) = 0 ⇐⇒ det

 −^3 −^ λ^4 − 1 2 − λ

 (^) = 0 ⇐⇒ (− 3 − λ)(2 − λ) + 4 = 0

⇐⇒ λ^2 + λ − 2 = 0 ⇐⇒ λ 1 = 1 e λ 2 = − 2.

Como a matriz A possui dois autovalores distintos, pelo Corolário 1.5, V = R^2 possui uma base formada por autovetores de T. E portanto, pela Denição 2.1, T é diagonalizável.

Exemplo 2.4. No exemplo anterior, vimos que λ 1 = 1 6 = λ 2 = − 2. O leitor pode vericar que dois autovetores linearmente independentes associados a λ 1 e λ 2 são, respectivamente, V 1 = (1, 1) e V 2 = (4, 1). Pelo Corolário 1.5, uma base de V = R^2 é β = {V 1 , V 2 }. Vamos encontrar [T ]ββ e observar de que tipo ela será.

ii. P (x, y 1 + y 2 ) = x(y 1 + y 2 ) = xy 1 + xy 2 = P (x, y 1 ) + P (x, y 2 ) P (x, ay) = xay = a(xy) = aP (x, y)

Exemplo 3.3. Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈, 〉. O operador linear B : V X V → R denido por (v, w) 7 → 〈v, w〉 é uma forma bilinear pelas propriedades de produto interno.

3.2 Matriz de uma Forma Bilinear

Seja V um espaço vetorial e B : V X V → R uma forma bilinear. Se α = {v 1 , ..., vn} é uma base de V , podemos associar a B uma matriz ([B]αα), denominada matriz da forma bilinear B, na base α, da seguinte forma:

Como α é base de V , tomando v, w ∈ V podemos escrever

v = x 1 v 1 + ... + xnvn e w = y 1 v 1 + ... + ynvn.

Então,

B(v, w) = [x 1 ... xn] ·

B(v 1 , v 1 ) · · · B(v 1 , vn) ...... ... B(vn, v 1 ) · · · B(vn, vn)

y 1 ... yn

Portanto,

B(v, w) = [v]′ α · [B]αα · [w]α

Exemplo 3.4. Seja B : R^2 X R^2 → R a forma bilinear dada por B(v, w) = −x 1 y 1 + 2 x 2 y 1 + 5x 2 y 2 onde v = (x 1 , x 2 ) e w = (y 1 , y 2 ). Então, se α = {e 1 , e 2 } é a base canônica de R^2 , temos:

B(e 1 , e 1 ) = B((1, 0), (1, 0)) = − 1 · 1 + 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 = − 1 B(e 2 , e 1 ) = B((0, 1), (1, 0)) = − 0 · 1 + 2 · 1 · 1 + 5 · 1 · 0 = 2 B(e 1 , e 2 ) = B((1, 0), (0, 1)) = − 1 · 0 + 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 1 = 0 B(e 2 , e 2 ) = B((0, 1), (0, 1)) = − 0 · 0 + 2 · 1 · 0 + 5 · 1 · 1 = 5

Então,

[B]αα =

 B(e^1 , e^1 )^ B(e^1 , e^2 ) B(e 2 , e 1 ) B(e 2 , e 2 )

 −^1

e

B(v, w) = [x 1 x 2 ] ·

 −^1

 y^1 y 2

 (^) = [v]′ α · [B]αα · [w]α

Exemplo 3.5. Seja M =

. É possível associar a^ M^ uma forma bilinear

B : R^3 X R^3 → R denida por

B((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = [x 1 x 2 x 3 ] ·

y 1 y 2 y 3

Então, B((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 )) = − 2 x 1 y 1 + 4x 2 y 1 + 2x 2 y 2 + 2x 3 y 3.

3.3 Forma Bilinear Simétrica

Denição 3.6. Uma forma bilinear B : V X V → R é denominada forma bilinear simétrica se B(v, w) = B(w, v), ∀ v, w ∈ V.

Exemplo 3.7. B(v, w) = 〈v, w〉, onde 〈, 〉 é um produto interno em V.

Exemplo 3.8. B : R^2 X R^2 → R dada por B(v, w) = −x 1 y 1 + 3x 2 y 1 + 3x 1 y 2 + 2x 2 y 2 , onde v = (x 1 , x 2 ) e w = (y 1 , y 2 ) (Verique!).

Exemplo 3.9. Vamos encontrar a matriz da forma bilinear acima, utilizando a base canônica α, [B]αα.

No exemplo acima, V = R^2 =⇒ α = {e 1 , e 2 } é uma base de V. Logo, B(e 1 , e 1 ) = B((1, 0), (1, 0)) = − 1 · 1 + 3 · 0 · 1 + 3 · 1 · 0 + 2 · 0 · 0 = − 1 B(e 1 , e 2 ) = B((1, 0), (0, 1)) = − 1 · 0 + 3 · 0 · 0 + 3 · 1 · 1 + 2 · 0 · 1 = 3

4 Forma Canônica de Jordan

Partição de uma Matriz em Blocos: Particionar uma matriz A qualquer em blocos, signica dividir esta matriz em submatrizes.

Exemplo 4.1. Se A =

   

1 − 2 π √ 3 6 − 7 2 − 1 − 7 − 3 − 9 0

   , uma das possíveis subdivisões de A é

A =

   

1 − 2 π √ 3 6 − 7 2 − 1 − 7 − 3 − 9 0

    =

  A^11 A^12 A 13 A 14

 ,

onde,

A 11 =

( 1 − 2 π

) , A 12 =

( (^) √ 3

) , A 13 =

  6 −^7 − 7 − 3 − 9

  (^) e A 14 =

  −^1 0

  (^) ,

são os blocos da subdivisão da matriz original A.

Já estudamos que nem todo operador linear T : V → V é diagonalizável, ou seja, nem sempre existe uma base β de V tal que a matriz [T ]ββ é diagonal. Entretanto, para várias aplicações, é suciente que exista uma base β tal que a matriz [T ]ββ tenha uma forma bem próxima da forma diagonal. Essa forma é denominada forma canônica de Jordan.

Denição 4.2. Uma matriz J, nxn, está na forma canônica de Jordan, se ela é da forma

J =

Jλ 1 0 · · · 0

0 Jλ 2 · · · 0

0 0 · · · Jλk

, em que Jλj =

λj 0 · · · 0 0

1 λj · · · 0 0

0 0 · · · λj 0

0 0 · · · 1 λj

para j = 1, ..., k. Jλj é chamado bloco de Jordan.

Exemplo 4.3. A =

    

2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2

    

está na forma canônica de Jordan e é formada

por dois blocos de Jordan, o primeiro sendo 3 x 3 e o segundo 1 x 1.

Exemplo 4.4. B =

    

5 0 0 0 1 5 0 0 0 0 − 3 0 0 0 1 − 3

    

está na forma canônica de Jordan e é formada

por dois blocos de Jordan, ambos 2 x 2.

Exemplo 4.5. C =

    

− 4 0 0 0 1 − 4 0 0 0 1 − 4 0 0 0 1 − 4

    

está na forma canônica de Jordan e é for-

mada por apenas um bloco de Jordan.

Exemplo 4.6. D =

    

7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7

    

está na forma canônica de Jordan e é formada

por 4 blocos 1 x 1.

Exemplo 4.7. E =

    

2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 − 1

    

não está na forma canônica de Jordan. Pois

como os elementos da diagonal principal não são iguais, ela teria que ser formada por pelo menos dois blocos de Jordan e [−1] deveria ser um bloco de Jordan 1 x 1.

6 Referências

[1] BOLDRINI, J. L (et al.). Álgebra Linear, 3a^ edição. Editora Harbra ltda. São Paulo, 1980.

[2] CALLIOLI, H. e ROBERTO C. Álgebra Linear e Aplicações - Nova Edição.

[3] LIMA, E.L. Álgebra Linear, 7a^ edição - Coleção Matemática Universitária - IMPA.

[4] LANG, S. Álgebra Linear - Editora Edgar Blucher Ltda, SP.

[4] SANTOS, R.J. Introdução à Álgebra Linear - Editora UFMG - Belo Horizonte.

[5] SANTOS, R.J. Álgebra Linear e Aplicações - Editora UFMG - Belo Horizonte.