Probabilidade- notas de aula, Exercícios de Matemática

Baixe Probabilidade- notas de aula e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Notas de aula de Probabilidade Avançada Adilson Simonis (professor) Tássio Naia dos Santos (aluno) primeiro semestre de 2012 compilado 2 de abril de 2012 Notas de aula de Tássio Naia dos Santos, aluno do curso ministrado pelo professor doutor Adilson Simonis. Os erros são meus (Tássio). O curso segue o livro Probability and Measure de Patrick Billingsley. Este é um trabalho em progresso. Quaisquer inconsistências, incorreções, sugestões, fique à vontade para me! escrever! !Meu email é tassioGime .usp.br. Sumário Sumário 1 Programa 2 Espaços de Probabilidade 2.1 Vamos estudar a unicidade da extensão 3 Convergência de Variáveis Aleatórias Capítulo 2 Espaços de Probabilidade Nove DE MARÇO DE 2012 Definição de álgebra, o-álgebra, espaço de Borel, medida de probabilidade e espaço de probabilidade. Considere O um conjunto arbitrário não-vazio (O será dito o espaço amostral do experimento aleatório), e 7 uma classe de subconjuntos de O. F é dita uma álgebra de subconjuntos de O se O e F, se é fechada por complementação e por uniões finitas de conjuntos de F. Isto é F é uma álgebra se 1) De F, DAcF => ACeZF, 3 ABeF =» AuBeZF. Observação: Se vale 1,e 2, temos que 3 é equivalente a (= sufi- ciente e necessário) A, Be F =» AnBeZF. 5 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 6 Para verificar, lembre das operações de De Morgan!: (AUB) =ACnBº e (AnB)º =ASuB F, classe de subconjuntos de O, é dita uma o-álgebra se ela for uma álgebra fechada por uniões enumeráveis de subconjuntos de F. Isto é, F é c-álgebra de O se: 1) Def, DAcF => ACeF,e 3) Aj,As,...€F => US Ae F. Observação: Um conjunto À « F é dito 7-mensurável. Observação: Definimos P(O) (“partes de 0”) como o con- junto de todos os subconjuntos de O (também denotado 2º). As P(O) sempre são o-álgebras. Além disso, Fo := (2,0) é a c-álgebra trivial, com cardinalidade |Fo| = 2, e se A c F, então Fa = (2,A,Aº,Q) é dito traço de A. Temos Fy c FA cP(O). Exemplo: O=(0,1)e0<a<b<l; e seja [1] = I(a,b]|=b- a. Considere conjuntos A = Ut, (a;,b;] = Ui, Ii onde os intervalos I; são disjuntos e contidos em O = (0,1]. Essa é uma classe fechada por uniões finitas de conjuntos disjuntos de (0,1]. Incluindo o conjunto vazio 2, esta classe, digamos Bo, é uma álgebra. 1 Augustus De Morgan, inglês nascido em Madurai, na Índia, em 1806. CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 7 Prova: Mostramos que By satisfaz 1): O e Bo. Para 2), seja A = (a, ai]u(as, asju-«u(an,al]coma <a <--<an.Seos (a; a/] são disjuntos, então Aº = (0,aj]u (aí, as]u u(al 1,0n]eBo (alguns destes intervalos podem ser vazios). Finalmente, se B := (bi bi]u (ba, b3] uu (bm, DI, ] disjuntos então AnB= UU (asa) (ov(]) tj onde cada parcela é um intervalo disjunto ou vazio, e a união é uma união finita. Sendo assim, Bo é uma álgebra de subconjuntos de (0,1). o E Bo não é uma o-álgebra. Prova: O (e-mx =(x)€Bo. O n=l Definição: Para uma classe 4 de subconjuntos de O, definimos o(A) como a menor (em termos de “estar contido”) o-álgebra que contém 4. É dita a c-álgebra gerada por 4. Em outras palavras, o(A) é por definição a interseção de todas as o-álgebras que contém 4. Nota: A união de o-álgebras não é, em geral, uma o-álgebra. Observação: 1) Aco(A), 2) o(A) é uma c-álgebra, CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 10 Figura 2.1: Diagrama de Venn: A c B. Prova: Ideia: vide 2.1). Podemos decompor o conjunto B em B=(BnAJUA=(BVA)JUA. Portanto, P(B) = P(Bx A)+P(A) < P(A). Além disso, P(Bx A) = P(B) -P(A). Também, tomando B=0, segue que P(A)=1-P(A). o Teorema 1: Se P é medida de probabilidade em uma álgebra 7, então ) (An:in21)eF,AcF,e AntA (ou seja, para todon > 1 vale An € An+1) então P (lim, An) = lim, P(An). ii) (Anin>1, AcF,eAnyAentãoP(An)LP(A). o a iii) (An :n> Iye UR; A é F, então P 04] <SP(Ar) k=1 k=1 (enumeravelmente sub-aditivo). Prova: CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE un i) Temos que mostrar que P(An) t P(A). Sejam B; = Ai,Bk = ARNASA. By são disjuntos, e À = Ur, An = UR.4Bx. Além disso, An =Uk-, Bx. Segue que P(Um., An) = P(A) = P(UR, Br) = DR P(Br) = limn-oo Dyos P(Br) = limas oo P(Ujos Br) = lima co P (An) ii) An V A, então AS 1 Ae portanto 1-P(An)tI-P(A). iii) Seja B; = A, e Br = ALNAL4NNAS. Os (Br:k > 1) são disjuntos. Além disso, Up-, Ax = Uf-; Be. Segue que P(UR- A) = Des P(Bx). Como P (Bx) <P (Ax), temos que P(UR= A) < Ly P(Ax) (desigualdade de Boole). Segue que P(UR., Ax) < Li P(Ax). Aplicando a parte i do teo- rema, o resultado segue. o Considere P uma medida de probabilidade em uma álgebra Fo de subconjuntos de O e defina F = o(Fy). Vamos mostrar que existe uma medida de probabilidade Q em F tal que O(A) é igual a P(A), para todo A e Fo. Iremos mostrar também que se Q” é outra medida de probabi- lidade em F, tal que O(A) =P(A),A e F, então O(A) = O(A) para Ac Fo. CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 12 Definição: Para À € O), definimos sua medida exterior por P(A) :=inf 5 P(An) m onde o ínfimo é tomado sobre todas as sequências, finitas ou infinitas, Ai, As,... de conjuntos Fy-mensuráveis satisfazendo AcUnAn- (O ínfimo está bem definido porque sempre existe ínfimo de uma sequência de números reais; e o somatório está definido porque os An estão em uma álgebra.) Definição: Para À € 0), definimos a medida interior por P.(A)=1-P'(AS). Note que as medidas são iguais quando P* (A) +P* (AS) =1. Definição: Um conjunto À « O é dito P*-mensurável se P'(AnE)+P:(ASnE)=P* (E), para todo E c O. Seja M a classe definida por M (A:P(ANE)+P'(ACnE)=P'(E),VEcO) = (A:A é P“mensurável) (Verificar.) 1) P'(2)=0, 1) P*(A) >0 para todo A c O, DACB => P(A) <P*(B). CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 15 Prova: Para À c O, definimos P* (A) como antes, onde a sequên- cia (An :n > 1) são Fo-conjuntos, tais que À c Un An. Temos que Fo co(F)=FcMcP(O) = 2º, onde M é a classe dos conjuntos P“-mensuráveis. Sabemos que P* (0) =P(O)=1. P”, definida nas P(O), restrita a M é enumeravelmente aditiva, isto é, uma medida de probabilidade em M. Segue que P* restrita a F é uma medida de probabilidade em 7. Como P* (A) = P(A) para A «e Ty, a medida P'em T é a a extensão de Pem Fo. 0 2.1 Vamos estudar a unicidade da extensão Definição: Uma classe O de subconjuntos de O é um mr-sistema se for fechado por interseções finitas, isto é se A, Be Q —» AnBeg. Definição: Uma classe £ de subconjuntos de O é um A-sistema se contém O), for fechado por complementação e por uniões dis- juntas enumeráveis, isto é 1. DO€L, 2. seAcL, então A“eL,e 3. (An:n>1)eL, disjuntos, então UM, An EL. Observação: Uma o-álgebra é um A-sistema. A recíproca não vale! Tome O = (1,2,3,4) e L=(8,0,(1,2), (1,3), (1,4), (2,8), (2,4), (3,4) é A-sistema. Mas não é c-álgebra! CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 16 Lema 6: Uma classe em O que é m-sistema e A-sistema é uma cálgebra. Prova: A classe é uma álgebra pois é 7-sistema e valem 1 e 2 do A-sistema. O Se (An:n>1) pertence à classe, então B, = An NAfn::NAS 4, pertence à classe. Como Un An = Un Bn, temos que a classe é cálgebra. Lema 7: (Dynkin) Se Q é um m-sistema e £ é um A-sistema, então Qc £ implica que o(0)c L. A prova é um exercício. Como uma álgebra é um m-sistema, a unicidade da extensão segue do teorema a seguir. Teorema 8: Suponha P; e P» medidas de probabilidade em c(Q), com OQ um m-sistema. Se P;, e P» coincidem em Q, então coincidem em o (O). Prova: Seja £ a classe de conjuntos A ce o (Q), tais que Pi(A) = Po(A). Observe que O e L. SeAcL,então P;(A)=1-P(A)=1-P5(A) = Po(AS). Se (An:n>1yeZ e são disjuntos, então P; (Un An) = Dn Pi(An) = En Po(An) = P(Un An), e portanto Un An € L. Isto é £ é um A-sistema! Como Q c £ (por hipótese), com Q um 7r-sistema, o lema de Dynkin implica que o (0) c £. O resultado segue. 0 (Qualquer extensão tem as mesmas medidas.) CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 17 Definição: Se P(A)>0,a probabilidade condicional de B dado A é dada por P(AnB) P(A) - (Note que abusamos usando PP, falta mostrar que essa função é uma medida de probabilidade.) P(B/A) = Definição: (An:n>1)é uma partição de Ose Un An = De Ain A; para todo ij. Observação: Se (An:n>1) é uma partição de O, então P(B) = Dn P(An)P(B/An), para conjuntos com P(An)<0. VINTE-UM DE MARÇO DE 2012 Limites de conjuntos. Exibimos o exemplo de um conjunto não-Boreliano que está nas partes de (0,1). Definição: (An:n>1) eventos (ou seja, conjunto mensuráveis). Sejam Cs > £ o limsupÃ, = n z 7 TCs iDs Ds z z 7 liminfAn = n CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 20 Passamos agora à construção do conjunto não-Boreliano, de- vida a Vitali. Exemplo: Definimos a adição módulo 1 em (0,1]: para x,y e (0,1), <1 xoy- x+y sex+y = x+y-1 caso contrário Definimos ainda A &x = [agx: a e A], onde usamos colchetes porque não necessariamente tratamos de um conjunto. Defina a classe £ de subconjuntos de O = (0,1] por: L=(A:AceB, AoxeB e MAOx)=A(A)) onde B são os borelianos do intervalo (0, 1], e À é o comprimento (medida de Lebesgue: M(a, b]) = b- a). Veja que £ é um A-sistema contendo os intervalos, e portanto Bc£ (usando o lema de Dynkin). Segue que A cB — AgxeB eMA ex)=AA). Definimos x e y equivalentes (x - y) sexo 1 =y, para algum r racional. Considere H o subconjunto de (0,1] formado por um representante de cada classe de equivalência, e considere a classe (enumerável) de conjuntos H 61, com r racional em (0,1). Estes conjuntos são disjuntos e cada ponto de (0,1] cai em algum desses conjuntos. Segue que (0,1] = U-(H & 7), uma união enumerável de conjuntos disjuntos. Se H e B, então A((0,1]) = 5, MH 67). Isto é impossível (porque o lado esquerdo é 1 e o direito é zero ou +00). VINTE-TRÊS DE MARÇO DE 2012 Independência entre o-álgebras. * * + CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 2 Da aula passada, apresentamos um conjunto que não estava na o-álgebra gerada por Borel. * x,ye(0,1],e definimos x e y; * x-ysexer=y para algum racional; * a cardinalidade de cada classe é enumerável. 1=((0,1]) -MUttom) = DA(Hor) Ê DAH) = E. Onde É decorre de o comprimento ser independente de transla- ções. o Agora vamos definir propriedades daquilo que queremos me- dir. Definição: Eventos A e B (mensuráveis em alguma o-álgebra) são ditos independentes se P(AnB) = P(A) P(B). (Motivação: nossa definição de probabilidade condicional.) Uma coleção finita (A;:1<i<n de eventos é independente se P(A, NA nen Ak) = MD P(Ax) onde 2<j <n,e ainda Iski<ko<-<k;<n. Ou seja, para n eventos, é preciso verificar (7) ++ (1) = 2" -n — 1 equações. Exemplo: Tome, por exemplo O = (1,2,3,4),F = (P(O)), e P((x)) = 1/4. Considere eventos A = (1,4),B = (2,4),C = (3,4). Então P((AnB)) = P((AnC)) = P((BnC)) = P((4)) = 1/4 = P(A)P(B)=P(A)P(C) = P(B)P(C) = (2/4)2. Mas P(AnBnC)=1/4+1/2%. Não são independentes. 0 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 22 Uma coleção infinita de evendos é dita indepentente se qualquer de suas coleções finitas o for. Exibimos agora uma definição equivalente de independência, que usaremos amiúde. Definição: Podemos definir independência para uma coleção finita de eventos também da seguinte maneira: a coleção (A;: 1 < i<ny é independente se e somente se n P(B,nBon::nBa)=T[P(Bi), ia onde B;=A;ouB;=O paratodoi=1,...n. Agora vamos falar de independência entre classes, passo inter- mediário para falar de independência entre o-álgebras. Considere A;, As,..., An classes de subconjuntos de O, todos contidos na c-álgebra F. As classes (A; : 1 <i <n) são ditas independentes se, para cada A; e Ai, a coleção (Aj:I<i<n) são independentes. Teorema 10: Se Ai, As,..., An são classes independentes e cada uma delas um r-sistema, então o(A1),0(45),...,0(An) são independentes. Prova: Sejam (Cj: 1<i<n)as classes 4; com a inclusão de O. Cada C; é um 7-sistema e são classes independentes. Para C5, C3,...,Cn eventos fixados em C5,C€. -,Cn, respectiva- mente, seja £ a classe dos eventos Cy em F que satisfazem a condição de independência. £ é um A-sistema! £ contém um m-sistema Cy e portanto o(C1) = o (41). Segue que C1, Co,...,Cn em 0 (A41),C2,03,...,Cn satisfazem a condição de independên- cia, isto é, 0(41),C5,03,..., Cn são independentes. Repetindo o argumento, o resultado segue. O CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 25 Prova: Segue do teorema anterior que o(Ai),..., O(An-1),.. 0 (An, Anais...) são independentes. Se A e 7 (A; é T-mensurável), então vale que Aeo(An,Ans,...) para todon > 1. Portanto, Ai, As,..., An-1,Ã são independentes. AertTCco(Aj,,As,...) e como À e o(A), além, é claro, de Aeo(Ais,As,...), segue que A é independente dele próprio. Isto é P(AnA) =P(A)P(A), o que implica que P(A) é zero ou é um. E agora atingimos, no curso, um marco. Passamos para a reta real. Definição: Em (O, F,P), definimos X: O » R como uma va- riável aleatória simples se X assume um número finito de valores e se (we O:X(w)=xjeF,xeR. Observação: (X=x) é uma notação para (w : X(w) =x). Usamos a seguinte notação para a função indicadora La(a) de um conjunto À (com a c A): 1 sexea, O caso contrário. 1a(a) -| Definição: Dizemos que X= Hit; xila,(w) é uma variável ale- atória se (A; : 1 <i<n) forma uma partição finita de O com AjeF. CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 26 Observação: Toda variável aleatória simples pode ser represen- tada pela soma definida acima. Observação: Considere G uma sub-o-álgebra de F (quer dizer que ambas são o-álgebra, mas G c F. Seja X uma v.a. (variável aleatória) simples. Dizemos que X é famg-mensurável se (X = x) e G para todo x ce R. Observação: X é sempre F mensurável. Observação: (Xe H) = UxentX =x) (Por agora essa união é finita, já que a va. é simples.) Definição: o(X), o-álgebra gerada por X, é a menor o-álgebra em que X é mensurável. Observação: Para uma sequência (X; :i> 1) de v.a.'s simples, o (X1,Xo;...) é a menor c-álgebra em que cada X; é mensurável. Teorema 15: (Xj:1<i<n) vas simples. Então a o-álgebra o (X1,...,Xn) é formada pelos conjuntos para Hc R". Além disso, H pode ser escolhido como finito. CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 27 TRINTA DE MARÇO DE 2012 Ainda não sei. Retomando da aula passada, vamos provar o teorema enunci- ado. Prova: Seja M a classe (w : (X1(wW),...,Xn(wW)) e HJ. Temos que para Mco(Xy,...,Xn). M é álgebra pois: 1) O= (w:(X(w),. Xn (0) RP), 1) Xn(w)) em)" = Xa(0)) CHE), fo: (a(o), = (w:(X(w), iii) = (ao: (Xa(0).... Xa (00) UM) j Cada Xi; é M-mensurável pois tw :Xi(w) = x) pode ser co- locado na forma ((Xi,...,Xn) e H) tomando H= f(x,...,xn) € Rr,x; = x). Portanto o(Xi,...,Xn) c M, o que por sua vez implica M =0(X1,...,Xn). o Capítulo 3 Convergência de Variáveis Aleatórias Considere X4,X»,... v.a.'s definidas em (O, F,P). Vamos estudar o evento (w : lim, Xn(wW) =X(w)). Observação: O complementar desse evento, Xn(w) —+ X(w), acontece se e só se existe algum e > O tal que para nenhum m, com |Xn(w)|- X(w)|< e, para todo n>m. Em outras palavras, Xn —> X(w) se e só se, para algum e > 0 sabemos que |Xn (w)| - X(w)| < £ acontece infinitas vezes, ou acontece para uma quantidade infinita de n's. Portanto, o (lima Xn = x)º = Uso(|Xn — X|> é iv.), onde io. abrevia infinitas vezes. CAPÍTULO 3. CONVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS1 Observação: Como a união é monótona, os conjuntos 1 (cres- cem) para e | O (decrescente para zero), e, portanto, podemos pegar e racionais!!! A seguir vamos discutir convergência “quase-certa”, “em pro- babilidade”, e o conceito de “esperança”. !Quando existe o limite, toda subsequência tem o mesmo limite, e podemos tomar, em particular, a uma subseguência formada por racionais.