Baixe Resolução de Integrais: Método de Simpson e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
Cal ulo Numeri o
Prova 04 { 03/12/1996 { www.ime.usp.br/~roma.
Quest~ao 1.a.
Construa o p olin^omio interp olador da tab ela:
x 1 2 4 8
f(x) 0 1 2 3
Solu~ao:
Para en ontrar o p olin^omio,de grau menor ou igual a 3, que interp ola o onjunto de dados na
forma de Newton, temos que en ontrar os valores da tab ela de diferenas divididas abaixo:
x i
y i
= f 0
f 1
f 2
f 3
x 0
f [x 0 ; x 1
x 1
= 2 1 f [x 0
; x 1
; x 2
f [x 1 ; x 2 ℄ f [x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3
x 2
= 4 2 f [x 1
; x 2
; x 3
f [x 2 ; x 3
x 3
onde f [x 0
; x 1
℄ = (f [x 1
℄ f [x 0
℄)=(x 1
x 0
y 1
y 0
x 1 x 0
f [x 1
; x 2
℄ = (f [x 2
℄ f [x 1
℄)=(x 2
x 1
y 2
y 1
x 2
x 1
f [x 2
; x 3
℄ = (f [x 3
℄ f [x 2
℄)=(x 3
x 2
y 3
y 2
x 3
x 2
f [x 0
; x 1
; x 2
℄ = (f [x 1
; x 2
℄ f [x 0
; x 1
)=(x 2
x 0
f [x 1
; x 2
; x 3
℄ = (f [x 2
; x 3
℄ f [x 1
; x 2
)=(x 3
x 1
f [x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 ℄ = (f [x 1 ; x 2 ; x 3 ℄ f [x 0 ; x 1 ; x 2 )=(x 3 x 0
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O p olin^omio de grau menor ou igual a 3 dado p ela forma de Newton e:
p 3
(x) = f [x℄ + (x x 0
)f [x 0
; x 1
℄ + (x x 0
)(x x 1
)f [x 0
; x 1
; x 2
+(x x 0
)(x x 1
)(x x 2
)f [x 0
; x 1
; x 2
; x 3
p 3
(x) = 0 + (x 1)1 + (x 1)(x 2)( 1 =6) + (x 1)(x 2)(x 3)(3=168)
p 3
(x) = x 1 + (x 1)(x 2)( 1 =6) + (x 1)(x 2)(x 3)(3=168)
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Quest~ao 2.
Utilizando o meto do de Simpson para o al ulo de integrais de nidas, determinar o valor de
ln 2 om pre is~ao 10
Sugest~ao: ln( ) =
Z
dx
x
Solu~ao:
Sab e-se que ln(2) =
R
dx
x
. Para aproximar esta integral , p elo meto do de Simpson, om
pre is~ao 10
, pre isamos al ular o valor de n, para p o der dividir nosso intervalo [1; 2℄ em
2 n subintervalos. Para isto usaremos o formula dada para o erro no meto do de Simpson,
jE T
j
(b a)
2880 n
max
x 2 [a;b℄
jf
(x)j
ent~ao
jE T j
2880 n
max
x 2 [1;2℄
jf
(x)j;
f (x) =
x
; f
x
; f
x
; f
x
; f
x
om f
< 0 para x 2 [1; 2℄, p ortanto f
e de res ente no intervalo , e atinge seu maximo
em x = 1:
f
jE T
j
2880 n
! n
! n (
= 3 : 0213! n = 4 :
Logo:
h =
b a
2 n
= 1 = 8! h = 0 : 125 x i
= 1 + ih; i = 0 ; 1 ; 2 ; ::: 8 :
x i
f (x i
ln 2 =
Z
dx
x
h
i
ent~ao
ln 2 0 : 6941 :
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Freq uen temente, existem varias formas de se resolver um mesmo exer io. As sugest~oes apresentadas
aqui foram elab oradas p or Olga Harumi Saito e Nelson Leonardo Vidaurre Navarrete, alunos de pos-
gradua~ao ins ritos no PAE, IME-USP, ob jetivando a lareza da exp osi~ao. Este gabarito p o de ser obtido
gratuitamente via Internet seguindo os links apropriados a partir de www.ime.usp.br/~roma. Junho/2000.
