Baixe Resolução de Equações e Integrais: Eletromecânica, 28 de maio de 2013 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Tópicos de resoluçao da 2ª Frequência - Eletromecânica, 28 de maio de 2013
- Localize pelo método gráfico a solução da equação x + e^x - 2=0, num intervalo de amplitude um, e efetue 4 iterações do método da bissecção para aproximar a solução, indicando um majorante para o erro.
plot(exp(x),2-x,x=-2..2)
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.
1
2
3
4
5
6
7
x
y
A soluçao da equaçao pertence ao intervalo [0,1].
f(x):=x+exp(x)-2:
n:=4: a:=0: b:=1: for k from 1 to n do c:=(a+b)/2: va:=evalAt(f(x),x=a): vc:=evalAt(f(x),x=c): print(Unquoted,"c".k=float(c)): if vc= then k:=n+ elif va*vc< then b:=c else a:=c end end_for:
e:=(1-0)/2^4: // Erro do método print(Unquoted,"A soluçao é aproximadamente ".float(c)." com um erro de ".float(e)):
c1 = 0. c2 = 0. c3 = 0. c4 = 0. A soluçao é aproximadamente 0.4375 com um erro de 0.
- Utilize métodos analíticos para separar em intervalos de amplitude um, todas as raízes reais positivas}do polinómio p(x)=x^4-4x^2-5 e efetue 2 iterações do método da Newton- Raphson, com x_0=2, para aproximar a raiz de maior valor do polinómio.
Utilizando a regra do máximo conclui-se que as raízes positivas do polinómio pertencem ao intervalo [0,6].
delete x: p:=x->x^4-4*x^2-5: // Derivada p'; //Zeros da derivada solve(p'(x),x=0..6)
x → 4 x^3 − 8 x
{0, √
A partir dos zeros da derivada do polinómio obtêm-se os números de Rolle NR = {0, √
Sabendo que entre dois números de Rolle há no máximo uma raiz do polinómio, analisando a tabela de sinais
x 0 1 √
(^2 2 3 4 5 )
p(x) - - - - + + + +
verifica-se que o polinómio tem uma única raiz no intervalo [2,3].
delete x,n,DIGITS:
n:=2: x:=2: for k from 1 to n do x:=x-p(x)/p'(x): print(Unquoted,"x".k=float(x)): end_for:
print(Unquoted,"A soluçao é aproximadamente ".round(x,4)."."):
x1 = 2. x2 = 2. A soluçao é aproximadamente 2.2412.
- Determine um valor aproximado do integral int_0^{pi/2} e^{x/4}sin(x) dx pela regra dos trapézios, com 5 subintervalos. Sabendo que max_{x em [0,pi/2]} |f''(x)| approx 1.4, determine um majorante para o erro da aproximação.
delete x: f:=x->exp(x/4)*sin(x) :
n:=5: a:=0: b:=PI/2: h:=(b-a)/n: x:=a: s:=0: for i from 1 to n-1 do x:=x+h: s:=s+2f(x) end_for: IT:=h/2(f(a)+s+f(b)):
DIGITS:=5: print(Unquoted, "O integral é aproximadamente ".float(IT)."."):
O integral é aproximadamente 1.2845.
//Majorante para o erro ET:=(PI/2-0)^31.4/(125^2): DIGITS:=3: print(NoNL,Unquoted, "O erro da aproximaçao é inferior a ".float(ET).".")
O erro da aproximaçao é inferior a 0.0181.
Uma vez que o erro é inferior a 0.0181 < 0.5*10^(-1), podemos garantir na aproximaçao do integral a precisão de 1 casa decimal correta.
