numero de euler matemática financeira, Resumos de Matemática

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Apresentação

Olá! Sou a Nathália, e esse e-book aborda o número de Euler, apresentando uma contextualização histórica, uma explicação matemática e algumas aplicações desse número. Espero que goste do material e que ele facilite a sua compreensão sobre o número de Euler.

Sumário

1. Problema
2. Contextualização histórica 2.1 Matemática Financeira 2.2 Logaritmos 2.2.1 Logaritmos Naturais 2.3 O número 𝑒 na natureza
3. Explicação matemática do número de Euler
4. Atividades 4.1. Atividade 1 4.2. Atividade 2 4.3. Atividade 3 4.4. Atividade 4 4.5. Atividade 5
5. Resolução das atividades Referências Fontes Bibliográficas das Imagens 5

Observe, a seguir, o problema do Rodrigo:

1.Problema

Vamos ajudar o Rodrigo a calcular o valor a ser pago nessas outras situações?!

𝒏 (^) 𝑴 = 𝟏. (𝟏 + 𝟏 𝒏)

𝒏.𝑡

360 dias 1. (1 +^3601 )^360 ≅ 2,714516^ mil 8640 horas 1. (1 + 86401 )^8640 ≅ 2,718124 mil

518400 min 1. (1 + 5184001 )^518400 ≅ 2,718279 mil

31104000 s 1. (1 + 311040001 )^31104000 ≅ 2,718281 mil

Construindo uma tabela com os dias de um ano comercial, convertendo até os segundos desse mesmo ano, poderemos encontrar o valor que seria pago se os juros fossem capitalizados diariamente e continuamente até os segundos. Observem que à medida que “ 𝑛 ” aumenta, a parte inteira permanece a mesma, e as casas decimais mais próximas da vírgula vão deixando de se alterar.

O número 𝑒 é um número irracional, ou seja,

não é possível escrevê-lo em forma de fração com

numerador e denominador inteiros, portanto, ele

possui infinitas casas decimais não periódicas.

O número 𝑒 pode ser obtido por meio da função 𝑓 ,

dada por 𝑓 𝑥 = 1 + (^1) 𝑥

𝑥 , quando 𝑥 cresce ou decresce

infinitamente. No link a seguir, temos um applet com essa função. Deslize o ponto B sobre o eixo 𝑥 e observe o valor de 𝑦 à medida que 𝑥 cresce e decresce.

https://www.geogebra.org/classic/gebhqecg

Observação: Para deslizar o ponto B, basta colocar o cursor do mouse sobre esse ponto e manter o botão esquerdo do mouse pressionado enquanto desliza sobre o eixo 𝑥.

2. Contextualização Histórica

A origem do número de Euler não possui uma

sequência cronológica conhecida. O que houve

foram aparições desse número durante cálculos em

contextos independentes.¹

A seguir, veremos alguns desses contextos.

2.1 Matemática Financeira

Há muitos séculos, questões financeiras são

tratadas com grande importância. Porém, foi

apenas no início do século XVII que surgiu a

expressão matemática para juros compostos.¹

Em algum momento, observou-se que existia

um padrão e foi criada a fórmula a seguir, na qual

“𝑀” é o valor final, “𝐶” o valor inicial, “𝑖” a taxa de

juros em decimal e “𝑡” o tempo, conforme visto no

problema do Rodrigo.

Questionou-se, então, qual seria o

valor máximo que a unidade monetária

poderia atingir se fosse capitalizada

continuamente, durante um ano, à taxa

Como vimos no problema de Rodrigo, o valor

máximo que se pode obter se 𝐶 = 1, 𝑖 = 1 e 𝑡 = 1,

será 2,718281 … que é exatamente o número 𝑒.