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Unidade 2
Números inteiros
Metas Ampliar o conhecimento sobre os números naturais para a noção numérica conhecida como conjunto dos números inteiros.
Objetivos Ao final desta unidade você deve: conhecer os números inteiros, assim como a sua representação em notação decimal; saber resolver novos problemas práticos; conhecer uma representação geométrica dos números inteiros; conhecer as duas operações básicas entre números inteiros; entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos;
Números inteiros
Ao longo da unidade 1, falamos sobre o uso dos números naturais em problemas de previsão. Esta visão de aplicação do processo de contagem ainda pode ser estendida. Além de ajudar a prever o futuro, a Matemática também pode nos ajudar a contar um pouco mais sobre nosso passado. É possível dizer, por exemplo, quando determinada espécie extinta vivia na Terra. Pode-se estimar quando a vida apareceu na Terra, ou quando a Terra foi criada. Questões como essas, que falam sobre retroceder, podem ser descritas por meio de contagem. Só que é uma contagem ao contrário, para “trás”, voltando no tempo. Na verdade, existem várias situações onde podemos precisar contar num sentido contrário do esperado. Por exemplo, em edifícios com elevadores, os andares acima do nível do chão são contados e associados a números naturais. Mas, existem situações em que o elevador pode descer para níveis abaixo do nível do chão. Neste caso, pode-se contar os andares para baixo, mas a contagem tem um significado diferente da contagem para cima. Um exemplo bem mais comum de contagem com mais de um significado pode ser encontrado nas operações financeiras. Podemos contar dinheiro. O problema é quando começamos a contar dívidas, isto é, contar dinheiro que não temos e precisamos pagar a alguém. Para lidar com situações envolvendo contagens com dois significados, perda e ganho, antes e depois, para cima e para baixo, a Matemática desenvolveu um novo conjunto numérico, o conjunto dos números inteiros ,. Este conjunto estende o conjunto dos números naturais e a representação decimal de seus elementos é parcialmente dada a seguir. = { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }. Uma representação geométrica parcial de , com a correspondente representação decimal, é a seguinte.
Os números inteiros possuem uma classificação especial. Os números cuja representação decimal pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, ...} são chamados números
e) Os registros mais antigos de uso de numerais escritos datam de aproximadamente 3500 a.C., e foram produzidos pelos antigos sumérios e egípcios. Segundo esta referência, há quantos anos, aproximadamente, o homem faz uso de numerais escritos? f) O que ocorreu primeiro, um fato de 160 a.C. ou um fato de 340 a.C.?
A manipulação dos números inteiros é semelhante à dos números naturais. A maior diferença é que agora não temos o menor elemento. No conjunto , os números não possuem um limite superior de valor e também não possuem um limite inferior. Um problema que pode acontecer é na manipulação das operações soma e produto neste novo conjunto. Na verdade os cálculos se realizam da mesma maneira, só que é preciso tomar certo cuidado com os sinais. Se você, leitor, ainda se confunde com esta questão, as calculadoras geométricas apresentadas na unidade 1 podem ser bastante úteis. Observe que, para a soma com números inteiros, basta usar a régua de forma invertida quando trabalhar com números negativos. Para adaptar a calculadora geométrica de produtos para números negativos, basta considerar os raios solares com direções e sentidos variados.
Observações:
- Trabalhando com números inteiros, temos a notação a b = a + ( b ). Note que, ao contrário de quando a situação envolve só números naturais, a expressão a – b sempre faz sentido, mesmo se b é maior de que a. Por exemplo, 3 – 9 = 3 + (9) = 6.
- Uma regra útil para produto é a seguinte: ( a ) b = a ( b ) = ab.
- A notação a não representa um número negativo. Cuidado! Esta notação indica o simétrico de um número. Por exemplo, se a = 3 , temos a = 3, um número positivo.
- Em , toda equação do tipo a + x = b , com a , b pertencentes a e x representando a incógnita, tem solução, a saber, x = b – a.
- Assim como em , uma equação do tipo ax = b nem sempre tem solução em. Por exemplo, a equação 4 x = 1 não tem solução em , isto é, não existe um número em que possa substituir x a fim de tonar verdadeira a expressão 4 x = 1.
Fatoração em
Dados dois números inteiros, n e m , diz-se que n é um múltiplo de m se pudermos encontrar outro inteiro, k , tal que n = k m. Assim, o conjunto dos múltiplos
de m é infinito e podemos escrevê-lo da seguinte forma, {^ }. Quando n é múltiplo de m e m é diferente de zero, dizemos que m divide o inteiro n ou que m é um divisor de n ou ainda que m é um fator de n. Também, dizemos que n é divisível por m.
Exemplos:
a) Temos 15 = 3 5, donde 3 e 5 são divisores de 15 e 15 é um múltiplo de 3, e também de 5.
b) Temos que 12 é múltiplo de , pois 12 = (1) (12), 12 = 3 ( ) ( ) e assim por diante.
c) Vejamos a representação geométrica de alguns múltiplos de 3 na reta numérica, eles estão destacados como pontos.
No desenho, você encontra a representação dos seguintes múltiplos de 3: (2) 3, (1) 3, 0 3, 1 3, 2 3 e 3 3.
d) Verificamos que 7 não é múltiplo de 3, pois 2 3 = 6 < 7, 3 3 = 9 > 7 e não existe inteiro entre 2 e 3. Portanto, 3 não divide 7. Entenda a situação descrita a partir de uma representação gráfica.
e) O conjunto dos múltiplos de 2 pode ser escrito como o conjunto dos números inteiros n do tipo n = 2 k. Assim, esse conjunto é formado pelos números inteiros n que são divisíveis por 2, ou seja, é o conhecido conjunto dos números pares.
Observações importantes:
O número 0 é múltiplo de qualquer número inteiro. O número 0 não é divisor de nenhum número inteiro, pois por definição um divisor é diferente de zero. Todo número inteiro é múltiplo de si próprio. De fato, para todo a , a = a .1. Todo número inteiro não nulo é divisor de si próprio.
Os números primos desempenham um papel importantíssimo na teoria dos números, pois, no que diz respeito a propriedades multiplicativas, formam a estrutura dos números inteiros, assim como os átomos formam a estrutura da matéria. Qualquer número inteiro maior do que 1 pode ser construído através de produtos de potências de primos positivos. Logo, podemos fatorar um número inteiro, diferente de 0,1 e 1, usando potências de primos, onde, no caso do número ser negativo, fatoramos o simétrico do número e multiplicamos a fatoração por 1. Esse é o conteúdo do Teorema Fundamental da Aritmética. Com certeza você conhece esse resultado! Vejamos exemplos de fatoração.
Exemplo:
a) 6 = 2 3 b) 28 = 2^2 7 c) 720 = 2^4 32 5 d) 82 = (1) 2 41
b) Vamos relembrar um método prático de fazer a fatoração de um inteiro:
924 2 menor primo positivo que divide 924 462 2 menor primo positivo que divide 462 231 3 menor primo positivo que divide 231 77 7 menor primo positivo que divide 77 (^11 11) menor primo positivo que divide 11 ⏟
22 3 7 11
Logo, 924 = 2^2 3 7 11.
Veja abaixo o enunciado do Teorema.
Teorema Fundamental da Aritmética:
Seja. Então, ... , onde são primos positivos e são inteiros positivos. E essa é a única maneira de decompor com essas propriedades.
Observação: Se a e a < 1 então a > 1 e, pelo teorema acima, temos que ... e, portanto, obtemos ... .
Lembremos que dois (ou mais) inteiros são primos entre si se não possuírem divisores positivos em comum diferentes de 1. Note que, pensando na decomposição dos números em fatores primos, isso significa que não há primos em comum nas decomposições. Por exemplo, 12 e 35 são primos entre si, pois 12 = e e não há primos em comum nas duas decomposições.
Atividade 3:
a) Determine quais são os números fatorados:
i) ii) iii)
b) Fatore os números segundo o Teorema Fundamental da Aritmética:
i) 234 ii) 512 iii) 303.
c) Verifique se 35 e 162 são primos entre si.
d) Encontre as soluções inteiras da equação.
Mínimo múltiplo comum
Situação-problema: Uma engrenagem é composta de duas rodas dentadas, uma com 20 dentes e outra com 36 dentes. Num dado momento, dois dentes específicos, um de cada roda, ao se encontrarem, ficaram danificados. É certo que no próximo encontro dos dois dentes a engrenagem irá parar de funcionar. A engrenagem ainda funciona quando um dente com problema entra em contato com outro dente bom, mas quando dois dentes com problemas se encontrarem, não terá jeito. Sabendo destas informações, quantas voltas a roda menor ainda pode dar antes da engrenagem parar de funcionar?
