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Sabemos que 20 = 4 5. Geometricamente, isto é equivalente à construção de um retângulo formado por 20 peças, sendo que um lado é formado por 4 peças e outro por
- Veja o desenho.
Será que 22 pode ser transformado num retângulo com um dos lados formado por 5 peças? É imediato verificar que ao colocarmos mais uma fila de cinco peças no retângulo acima teremos um retângulo com 25 peças, número que ultrapassa o valor 22. Veja a tentativa de montar um retângulo com 22 peças e com filas de 5 peças.
A única coisa que podemos concluir é que com 22 peças só podemos montar um retângulo com fileiras de 5 peças e mais um resto de 2 peças, ou seja, 22 = 45 + 2. Seguindo este padrão de construção de retângulos, deve ser fácil perceber que, dado qualquer número a , temos a divisão euclidiana, a = q 5 + r , onde r é tal que 0 r < 5. Nesta divisão, q representa o número de filas de 5 peças e r é a quantidade de peças que sobraram sem preencher uma fila, e que só pode ser menor do que 5. Bom, o valor 5 aqui só foi usado para exemplificar, é claro que vale a representação geométrica para qualquer divisor b > 0.
Comentários finais
A princípio, o conjunto dos números inteiros é simplesmente uma ideia matemática que ajuda com a noção estendida de contagem, permitindo a contagem regressiva, para trás, e sem limites, pois este conjunto não contém um menor elemento. Esta é uma visão mais prática da questão. Do ponto de vista matemático, adotar o conjunto dos números inteiros significar operar a subtração sem restrições, o que implica na garantia de solução para equações do tipo x + a = b , com x representando a incógnita. O assunto de estudo da próxima unidade é uma nova extensão numérica, o conjunto dos números racionais. Do ponto de vista matemático, este conjunto permite operar a divisão sem restrições, o que acarreta na garantia de solução para equações do tipo ax + b = c , com a 0 e x representando a incógnita. Contudo, este novo conjunto matemático tem influência direta em questões práticas, como, por exemplo, a questão de comparação de medidas obtidas de unidades de medidas diferentes. Mas, antes de passar para a próxima unidade, é importante que o aluno tenha domínio na fatoração de números inteiros, além de saber calcular mmc e mdc. É interessante também que se entenda bem a divisão euclidiana.
Exercícios complementares
Qual o menor número inteiro positivo que devemos somar a 4786 para obtermos um múltiplo de 13?
Encontre as soluções inteiras da equação a^2. b = 1575.
Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1.
Prove que todo inteiro que deixa resto 5 na divisão por 6, deixa resto 2 na divisão por
Prove que o quadrado de um inteiro é da forma 3 k ou 3 k + 1, ou seja, o resto da divisão do quadrado por 3 só pode ser 0 ou 1.
Qual é o resto da divisão de ( ) por 2?
Qual é o resto da divisão de ( ) por 5?
b) Temos, 5 = 1.5, 10 = 2.5, 15 = 3.5, 20 = 4.5, 25 = 5.5, 30 = 6.5, 35 = 7.5, 40 = 8.5, 45 = 9.5, 50 = 10.5. Assim, encontrar os 10 primeiros múltiplos positivos de 10 é equivalente a contar de 5 em 5, a partir de 5. c) O número é 4. d) Temos 35 = 5.7, 42 = 6.7, 49 = 7.7, 56 = 8.7 e 63 = 9.7. A resposta em termos de conjuntos é {35, 42, 49, 58}. Na reta graduada, temos.
(Este problema é simples e pode ser resolvido só por contagem, isto é, enumerando todos os múltiplos de 7 que estão entre 30 e 65, basta contar de 7 em 7. Mas, esta estratégia já não é muito interessante para números como o da próxima questão.) e) São os números inteiros do tipo 11 k, onde 99 < 11 k < 12504. Logo,
9 = 1199 < k < 1250499 1136,7 (é para usar a calculadora mesmo)
e, portanto, k representa um inteiro que varia entre 10 e 1136, o que corresponde a 1127 múltiplos. f) Basta observar que (^ )^ onde Logo, os inteiros do tipo 4 k + 2 são divisíveis por 2. g) Como 392 = 56.7, passaram-se 56 semanas.
Atividade 3: a) i)792 ii)2625 iii) 5005 b) i) ii) iii) c) 35 = e , portanto não há primos em comum nas duas decomposições. Logo, são primos entre si. d) Como , temos as seguintes soluções inteiras: a = 5 e b = ; a = 5 e b = ; a = 1 e b = ; a = 1 e b =.
Atividade 4:
Lista 1: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Lista 2: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}
Lista 3: {6, 12, 18}
a) 6 é o menor número da 3ª lista e 18 é o maior número.
b) Veja uma representação parcial de todos os múltiplos positivos de 2 e 3,
respectivamente:
Uma lista parcial dos múltiplos em comum entre os múltiplos de 2 e de 3 é a
seguinte:
Note que podemos montar a terceira lista seguindo um padrão, mesmo sem ter as
listas 1 e 2 completas. Por exemplo, basta notar que os múltiplos em comum
aumentam de 6 em 6. Bom, é fácil perceber que esta lista tem um menor
elemento, o 6, mas não terá um maior elemento. Sempre conseguimos um
múltiplo em comum maior. Em particular, a terceira lista é infinita.
Atividade 5:
a) i) ( )
ii) Fatorando os dois números , obtemos:
( ) ( )
iii) Fatorando os três números , obtemos (^ ) b) A visita dos filhos coincidirá quando tiverem se passado um número de dias que é um múltiplo comum entre 15 e 18. Para sabermos quando será o próximo encontro, devemos calcular mmc(15,18) = 2 Logo, a visita dos dois coincidirá daqui a 90 dias. c) Sejam m e n esses inteiros positivos, então ( )
. Assim, m e n são divisores positivos de 36, isto é, pertencem ao conjunto {1,2,4,6,9,12,18,36}. O único par de divisores cuja soma é 30 é dado por 12 e 18, e ainda de fato mmc(12,18) = 30. Logo, os números são 12 e 18.
Atividade 6:
a) i)mdc(124,328) = mdc( , ) =
ii) mdc(124,328,1200) = mdc( , ) =
iii)mdc( ) = = 45.
dessa equação são : Assim, os inteiros possíveis são
Seja n um inteiro qualquer que deixa resto 5 na divisão por 6, então `+5=3 ( ) , onde e 0<r=2<3. Logo, o resto é 2.
Usando o Algoritmo da Divisão, um inteiro n é escrito como onde
. Então, ( ) ( ) (^) , onde pode ser igual a 0,1 ou 4. Se for 0, então o resto de na divisão por 3 será 0. Se for 1 ou 4 o resto de na divisão por 3 será 1.
Observe que o algarismo das unidades de qualquer potência de 1001 é 1, formando um número ímpar, portanto o resto será 1.
O algarismo das unidades de 1002 é 2, quando multiplicamos o algarismo das unidades é 4 e portanto o algarismo das unidades de ( ) =( ) é resultante da multiplicação de 4 por 2, o que dá 8. Daí, ( ) (^) ( ) possui algarismo das unidades 6, pois. Observe que ( ) possui algarismo das unidades 2, pois resulta da multiplicação de 6 por 2. Assim, retornamos ao algarismo das unidades da base .Pelo visto acima, os algarismos das unidades das potências ( ) formam um ciclo de quatro algarismos que se repetem: 2,4,8,6,2,4,8,6,2,.... .Portanto, para sabermos qual será o algarismo das unidades de ( ) , basta encontrarmos o resto da divisão de 144 por 4, então e 36 ciclos são completos. Logo, o algarismo das unidades de ( ) é o 6 o que nos dá resto 1 na divisão por 5.
