Baixe Numeros Inteiros Parte2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Elementar, somente na Docsity!
Vamos analisar o problema. Quando a roda menor der uma volta, o seu dente com defeito novamente entra em contato com um dente da roda maior. O que você acha, para este momento, o dente da roda maior também é o dente com defeito? Para a roda menor ter dado uma volta, seus 20 dentes entraram em contato na engrenagem. Assim, 20 dentes da roda grande também trabalharam na engrenagem. Mas, para a roda grande dar uma volta, é preciso que seus 36 dentes trabalhem na engrenagem. Ou seja, com uma volta da roda menor depois do acidente envolvendo os dois dentes quebrados, estes não se encontram e, portanto, a engrenagem vai continuar a funcionar.
Continuamos sem saber quando os dois dentes quebrados vão se encontrar. Você já sabe o que vai acontecer? Só sabemos que isto não acontece depois da primeira volta da roda menor. Precisamos adotar uma estratégia para entender melhor este problema.
Caro aluno, vamos adotar uma estratégia. Ela não é única. Caso você imagine outra estratégia, nós o incentivamos a desenvolvê-la também. Agora, vamos desenvolver a nossa. Imagine a roda menor esticada, isto é, que os seus dentes sejam colocados sobre uma reta. Bom imagine que isto seja possível. Assim, teríamos 20 dentes, lado a lado, sobre uma reta. Estes 20 dentes representam uma volta da roda menor. Para duas voltas, continuando este exercício de imaginação, teríamos 40 dentes, lado a lado, sobre uma reta. Agora podemos praticar algo que foi comentado na primeira unidade. Vamos representar o problema matematicamente. Vamos associar a grandeza dente a números. Para visualizar a situação, vamos considerar a representação geométrica dos números. O dente quebrado da primeira roda está associado ao número zero. Assim, o dente quebrado também estará associado ao número 20, 40, 60, etc. Ou seja, todo múltiplo de 20 representa o dente quebrado da roda menor em contato com algum dente da roda maior (veja a noção de múltiplo aparecendo no problema). Podemos analisar o comportamento do dente quebrado da roda maior da mesma maneira. Associando os dentes a números e o dente quebrado ao número zero, temos que os números 36, 72, 108, etc., representam o dente quebrado da roda maior.
A partir desta representação matemática que obtemos, podemos perceber um padrão de comportamento. Temos que 20, 40, 60, 80, etc. representam os números associados aos dentes quebrados da roda menor após sucessivas voltas da roda menor. Temos também que 36, 72, 108, 144, etc. representam os números associados aos dentes quebrados da roda maior. Pergunta: Quando os dois dentes vão entrar em contato novamente? Resposta (que agora parece natural): Quando tivermos um número que pertença às duas listas ao mesmo tempo. O problema agora é encontrar tal número. O mais natural é realizar uma contagem, duas, na verdade. Podemos contar de 20 em 20 e de 36 em 36 até encontrar o número procurado. A tabela a seguir foi obtida de uma planilha eletrônica. Ela contém uma lista de múltiplos de 20 e uma lista de múltiplos de
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432
Veja pela tabela que 180 ocorre nas duas listas. Isto significa que 180 representa o dente quebrado, tanto o da roda menor, quanto o da roda maior. Pelo quantidade de números representados da primeira lista, temos que os dentes quebrados vão se encontrar novamente após 9 voltas da roda menor (180 ocupa a nona posição na 1ª lista).
Recapitulando, associamos os dentes das duas rodas a números. Verificamos que o contato dos dentes quebrados na engrenagem ocorre por múltiplos, o primeiro por múltiplos de 20 e o segundo por múltiplos de 36. Depois, verificamos que a ocorrência simultânea dos dois dentes quebrados ocorreria quando tivéssemos dois múltiplos em comum. Na verdade, existem vários múltiplos em comum nas duas listas. O que encontramos foi o menor múltiplo em comum das duas listas de múltiplos.
Atividade 4:
Faça uma lista com os 15 primeiros múltiplos positivos de 2 e uma lista com os 15 primeiros múltiplos positivos de 3. Faça uma terceira lista com números que sejam comuns às duas listas.
a) Esta terceira lista tem um menor número? Tem um maior número?
60-72 2 menor primo positivo que divide 60 e/ou 72 30-36 2 menor primo positivo que divide 30 e/ou 36 15-18 (^2) menor primo positivo que divide 15 e/ou 18 15-9 3 menor primo positivo que divide 15 e/ou 9 5- 5- ⏟
3 menor primo positivo que divide 15 e/ou 9 5 menor primo positivo que divide 5 e/ou 1
Observe que 360 = 6 60 = 5 72 e é o menor múltiplo comum entre 60 e 72. Nesse caso, mmc(60,72) 60 72 = 4320. Compare as decomposições de 60 e 72 com o mmc. No mmc aparecem os primos que estão presentes em pelo menos uma das decomposições, elevados ao maior expoente com que aparecem.
c) Encontre o mmc( )
Os primos que aparecem em pelo menos uma das decomposições elevados à maior potência são. Logo, mmc( ).
Atividade 5:
a) Encontre: i) ( ) ii) ( )
iii) ( )
b) Um filho visita a mãe a cada 15 dias e o outro filho a cada 18 dias. Se os dois filhos visitaram a mãe hoje, daqui a quantos dias coincidirá novamente a visita dos dois?
c) A soma de dois inteiros positivos é 30 e o mmc dos dois é 36. Determine esses números.
Máximo divisor comum
O maior divisor comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação mdc. Dados a , b , o 1 é sempre um divisor comum entre eles e será o maior, isto é, mdc ( a,b ) = 1 quando a e b forem primos entre si.
Para o conceito anterior, nós apresentamos uma situação-problema, elaboramos uma estratégia para entendê-la e vimos que seria interessante formalizar a ideia matemática de menor múltiplo comum. Esta parece ser uma ótima estratégia didática. Pelo menos é a principal orientação dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (ref.), que é um documento .... Inclusive, praticar esta metodologia didática é muito útil também para se buscar contextualizar os conhecimentos matemáticos estudados em situações práticas ou do cotidiano, além de ser um ótimo exercício de preparação de aula para quem pretende ser professor.
Nem sempre vamos adotar este recurso didático. O conceito de mdc, por exemplo, foi simplesmente apresentado, sem nenhuma contextualização. O leitor está convidado para buscar uma situação-problema onde a noção de mdc apareça naturalmente como estratégia de solução. Este é um exercício extra que pode muito bem ser praticado com todos os conceitos matemáticos que forem vistos neste texto.
Exemplo:
a) Vamos determinar os conjuntos D(36) e D(42), dos divisores positivos de 36 e 24, respectivamente. Analisando os dois conjuntos, determinamos o mdc(36,24).
D(36)={^ } D(42)={ }, Os divisores em comum são 1,2,3,6 e o maior deles é o 6, logo mdc(36,42)=6.
b) Um terreno retangular mede 300m por 135m e será dividido em lotes quadrados iguais com a maior área possível. Qual é o comprimento de cada lote? Quantos lotes formaremos?
c) Senhora Delícia, dona de uma fábrica caseira de bolos, recebeu a seguinte encomenda: 24 bolos de chocolate, 36 de laranja e 48 de maracujá. Porém, no pedido havia a seguinte exigência: os bolos devem ser postos em embalagens contendo o mesmo número de bolos de cada tipo e a menor quantidade possível de bolos em cada embalagem. Como podemos ajudar a nossa confeiteira a não perder a encomenda? Quantas embalagens serão usadas? Quantos bolos de cada tipo serão postos em cada uma?
d) Um terreno retangular tem 144m de comprimento e 112m de largura. Esse terreno foi cercado com coqueiros mantendo-se a mesma distância entre dois coqueiros consecutivos. Sabendo que plantamos um coqueiro em cada canto do terreno e que a distância entre dois coqueiros consecutivos é a maior possível, determine quantos coqueiros foram plantados no terreno.
Divisão Euclidiana
Antes de apresentarmos o algoritmo da divisão, vamos trabalhar um exemplo para que a noção fique clara.
Exemplo: Existem várias maneiras de escrever o número 35 usando multiplicações por 4, observe:
35 = 2 × 4 + 27, 35 = 3 × 4 + 23, 35 = 4 × 4 + 19, 35 = 5 × 4 + 15, 35 = 6 × 4
- 11, 35 = 7 × 4 + 7, 35 = 8 × 4 + 3, 35 = 9 × 4 1, 35 = 10 × 4 5, (temos também multiplicações por negativos) 35 = 2 × 4 + 43, 35 = 3 × 4 + 47, ...
Porém, há uma única forma de escrever 35 como um produto entre 4 e um número inteiro mais um outro inteiro r ( o resto) não negativo e menor do que 4 (0 r < 4). É conforme a expressão acima grifada de amarelo. Esse fato é verdadeiro no caso geral, e é o que nos atesta o Teorema a seguir.
A divisão euclidiana:
Dados a, b , b > 0, podemos escrever a, de forma única, como um produto entre b e um número inteiro q mais um resto r, onde r é não negativo e menor do que b ( a = q × b + r, onde 0 r < b ).
q é dito o quociente, b o divisor, a o dividendo e r o resto da divisão de a por b. Se r = 0 , então a é múltiplo de b. E reciprocamente, se a é múltiplo de b, então r = 0_._
Exemplo 3:
a) A divisão euclidiana de 23 por 6 é 23 = 3 × 6 + 5, pois temos o resto r = 5 satisfazendo 0 r < 6.
b) A divisão euclidiana de a = 23, tendo como divisor b = 6, é dada por
23 = (4) × 6 + 1.
Neste caso temos q = 4, pois decompondo segundo a divisão euclidiana, o resto deve ser não negativo.
c) Qualquer número ímpar, n , pode ser escrito na forma n = 2× q + 1 , pois se n não é divisível por 2 então o único resto possível na divisão de n por 2 é 1
d) Podemos efetuar uma divisão euclidiana a partir da representação gráfica dos números inteiros. Por exemplo, vejamos como fica a divisão euclidiana de 25 por 3.
Atividade 7:
a) Faça a divisão euclidiana de 46 por 6.
b) Faça a divisão euclidiana de 46 por 6.
c) Se um inteiro a deixa resto 6 na divisão por 7 e b deixa resto 2 na divisão por 7, determine o resto de na divisão por 7.
Exemplo 4: Vejamos uma forma de representação geométrica da divisão euclidiana para números inteiros não negativos. Veja se ela ajuda a entender melhor este tipo de divisão.
