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Unidade 1
Números naturais
Metas Esta unidade apresenta a noção matemática que traduz o processo de contagem, a saber, a noção dada pelo conjunto dos números naturais.
Objetivos Ao final desta unidade você deve: conhecer os números naturais, assim como a sua representação em notação decimal; saber resolver problemas práticos por meio de contagem; saber aplicar métodos alternativos de contagens; conhecer uma representação geométrica dos números naturais; conhecer as duas operações básicas entre números naturais; entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos.
Grandezas representadas numericamente
Os objetos da matemática não pertencem ao mundo real, são resultados de idealizações. Todos os seus conceitos e definições são abstratos. Contudo, boa parte deste conhecimento abstrato nasceu da necessidade de uma resposta a situações e problemas práticos, e está subordinada a algum contexto natural, social ou cultural. Uma boa forma de relacionar objetos e ideias do nosso universo físico com o universo abstrato da Matemática se dá por meio de uma associação ou representação de grandezas e objetos do mundo físico com conceitos matemáticos. De particular importância é a associação de grandezas a números, conhecida como processo de quantificação de uma grandeza (ou simplesmente, quantificação de uma grandeza , ou também, graduação de uma grandeza ). Neste contexto, entenda que o termo grandeza é usado para fazer referência a tudo o que pode aumentar ou diminuir. A noção de grandeza apresentada aqui pode parecer um pouco vaga. Na verdade, precisar esta ideia é um problema que inclusive mereceria uma boa discussão, mas vamos simplesmente dar um pequeno exemplo a fim de ilustrá-la.
Exemplo: Temperatura é uma grandeza física que indica o grau de aquecimento de uma certa porção de matéria. De modo vulgar, a temperatura é usada para informar o quanto uma porção de matéria está fria ou quente.
A princípio, toda referência feita a uma grandeza é de natureza qualitativa. Se fosse perguntado sobre a temperatura de um forno, não graduado, por exemplo, a resposta só poderia ser algo parecido com quente, frio, muito quente, muito frio, ou qualquer outra qualificação não muito precisa. Contudo, existe uma forma bastante eficiente de lidar com grandezas. Isto acontece através de um processo de quantificação.
Exemplo: (ainda sobre temperatura) Uma forma de quantificar a temperatura é criar um termômetro de mercúrio. Neste caso, o processo de quantificação da temperatura se dá atribuindo o valor 0 à temperatura de solidificação da água e 100 à temperatura de ebulição da água. Com a devida marcação do termômetro a partir desta convenção, cria- se um processo de quantificação da temperatura. Agora, de posse deste instrumento,
Caro leitor, tenha a seguinte ideia em mente. Toda vez que encontrarmos um problema envolvendo grandezas que podem ser representadas numericamente, encontramos um problema que podemos tentar resolver com o auxílio da Matemática.
Números naturais e o processo de contagem
A noção matemática que representa o processo de contagem é dada pelo conjunto dos números naturais. Bem a grosso modo, o conjunto dos números naturais é caracterizado por ser formado por um elemento, o sucessor deste elemento, o sucessor do sucessor, e assim por diante, sendo que o primeiro elemento mencionado não é sucessor de nenhum outro elemento. O primeiro número natural, aquele que não é sucessor de outro, costuma ser representado pelo algarismo 1. O próximo número natural, isto é, o sucessor de 1, é, então, representado pelo algarismo 2. Na sequência de sucessores, os números naturais seguintes são representados pelos algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente. Como o processo de considerar o sucessor do sucessor não termina nunca, o problema de representar qualquer número natural por símbolos variados parece ser um tanto complicado. Felizmente, existe uma forma bem esperta de representar todo número natural somente através dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, além do algarismo 0. O sucessor do 9 é representado por 10, o sucessor do 10 é representado por 11, o do 11 é representado por 12, e assim por diante, até 19. Trabalhando sempre com agrupamentos de elementos de 10 em 10 quantidades, podemos representar qualquer número natural só com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9. A representação dos números naturais de acordo com este método é chamada representação decimal (ou representação na base 10). Segundo a representação decimal, o conjunto dos números naturais pode ser representado parcialmente por
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 21, ..., 100, 101, ..., 140, 141, ...}.
Observação: Neste momento, o algarismo 0 tem apenas a função de marcar posição. Por exemplo, sem o zero, o significado de 1 2 poderia ficar confuso. Significa 12 ou 102? O
algarismo 0 marcando a posição das dezenas, no caso, ajuda a definir este tipo de questão.
A propósito, o homem realiza contagens, com certeza, desde que se organizou em sociedades, a milhares de anos atrás. Contudo, só um pouco antes do séc. XII o conhecimento do sistema decimal de representação numérica foi universalizado. Você já parou para pensar sobre como a ideia de representação decimal é engenhosa, leitor?
Atividade 1: a) Represente a quantidade de círculos da figura a seguir por meio de um número natural (representado na base 10). (Dica: faça grupos de 10 círculos)
b) Esta atividade ajudou você a perceber por que a representação simbólica dos números naturais é eficiente? Por exemplo, veja o espaço ocupado pelos círculos e o espaço ocupado pela sua resposta. Ou, então, imagine este grupo de círculos sendo comparado com outro grupo de círculos. É muito diferente de comparar as quantidades representadas por números? Para entender esta última questão, considere a figura abaixo e diga qual grupo de círculos tem a maior quantidade. Você consegue responder sem fazer contagem, só pelo aspecto visual?
Exemplo: ( comprimento ) Podemos utilizar os números na avaliação de comprimentos. Dada uma reta r , fixamos dois pontos, O e U , pertencentes a esta. O segmento OU é, então, associado ao número 1 e é chamado de segmento unitário ou de unidade de medida de comprimento. O U r 1 Um segmento AB da reta r é associado a um número natural n se AB é obtido pela justaposição sucessiva de n segmentos congruentes a OU. Neste caso, dizemos que o comprimento de AB é n. O U A r O segmento OA coincide com a justaposição de 3 segmentos congruentes a OU , donde o comprimento de OA é 3.
Sem a quantificação dos segmentos, isto é, sem a noção de comprimento, uma discussão sobre medidas se dá de modo qualitativo, “um segmento é maior do que outro”, por exemplo. E, mesmo assim, em alguns casos pode ser difícil estabelecer alguma comparação. Na figura a seguir, é claro que o segundo quadrado tem perímetro maior do que o do primeiro quadrado. No entanto, não parece claro qual perímetro é maior, o do segundo quadrado ou o do retângulo. Leitor, você arrisca um palpite? Lembre-se que o perímetro de um polígono é a soma das medidas dos lados que formam o polígono.
Vamos, agora, repetir as figuras anteriores, mas em cima de uma rede quadriculada. Adotando os lados dos quadrados da rede como unidade de medida, podemos fazer uma avaliação mais precisa do perímetro de cada figura.
Contando os segmentos unitários, temos que o quadrado menor tem perímetro igual a 4, o quadrado maior tem perímetro igual a 8 e o retângulo tem perímetro igual a
- Assim, podemos trocar a frase “o segundo quadrado tem perímetro maior do que o do primeiro quadrado” pela frase mais precisa “o segundo quadrado tem perímetro duas vezes maior do que o do primeiro quadrado”. Leitor, você achou que o retângulo tivesse perímetro maior? Você esperava esta diferença toda?
Atividade 4: Consiga uma régua, ou trena, ou fita métrica. Você consegue identificar, na marcação da sua régua, onde estariam os pontos O e U que definem a unidade de medida? A propósito, você sabe qual é a unidade de medida da sua reta? Provavelmente sua régua mede centímetros e milímetros. Neste caso, podemos fazer duas escolhas para o ponto U , dependendo da escolha da unidade de medida.
Exemplo: ( área ) A noção de área pode ser quantificada de modo análogo à noção de comprimento. Uma maneira de fazer isto é fixar um quadrado como unidade de medida de área. A área de uma figura é dada pela quantidade de quadrados unitários que compõem a figura. Na figura anterior, do exemplo de comprimento, utilizando os quadrados da rede como unidade de medida de área, vemos que o quadrado menor tem área igual a 1, o quadrado maior tem área igual a 4 e o retângulo também tem área igual a 4.
Veja que, na figura anterior, o segundo quadrado tem a mesma área que o retângulo, mas tem perímetro menor. Existe alguma relação entre o perímetro e a área de uma figura?
Contagem na comparação de grandezas
visualizemos os números naturais de outro modo, o que pode ser uma habilidade muito útil.
Atividade 6: (construindo uma régua com números naturais – a reta graduada) a) Consiga uma folha de papel quadriculado e uma régua. Com o auxílio da régua, usando uma caneta de cor diferente da dos quadriculados da folha, destaque uma reta da folha e fixe uma unidade de medida. Tente obter uma figura parecida com a seguinte.
A partir destas convenções, temos uma reta graduada. Na reta graduada, o número que é representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU. Na reta graduada, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento côngruo a este. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta graduada, o segmento OA é uma representação alternativa para 2.
Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os números naturais representados por segmentos de uma reta graduada. Veja alguns números com as duas representações correspondentes.
É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal de um número e sua representação na reta graduada, conforme o desenho acima. Contudo,
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