Baixe Números naturais Parte2 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática Elementar, somente na Docsity!
a fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta graduada.
Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do sucessor e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de representar os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No desenho anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a de base 10. b) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número. Dê a representação decimal deste mesmo número.
c) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir?
d) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a unidade? Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a.
e) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Agora a situação não é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um pedaço de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de múltiplos.
f) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
O U
g) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir?
h) Na figura a seguir, quanto mede o segmento AB?
Desafio: Leitor, você consegue construir uma reta graduada a partir de uma unidade de medida arbitrária, escolhida por você mesmo, em uma folha sem nenhuma pauta? Dica: Utilize uma régua para a construção da reta e um compasso para a construção dos múltiplos da unidade (não utilize as unidades da régua).
Contagem na previsão de eventos
Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais em outro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão.
Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura ambiente de 20ºC?
Se você começar a preencher as células com sequências variadas, o programa irá preencher as células seguintes de acordo com a sequência definida. Experimente criar automaticamente a sequência dos números pares, ou a sequência dos números múltiplos de 9, por exemplo. Tente recriar a tabela do exemplo anterior.
Se você preencher uma planilha eletrônica conforme a figura acima e selecionar as 3 células preenchidas, basta arrastar o quadradinho para direita para obter a sequência de valores do exemplo anterior. b) Uma forma interessante de realizar contagens se dá através da representação geométrica dos números naturais. Consiga uma trena com 2 m de comprimento, pelo menos. Consiga também um pedaço de linha de 12 centímetros. Vamos representar a temperatura do forno através dos centímetros da trena. Assim, a marca 200 cm da trena representa a temperatura inicial do forno. Ande com o pedaço de linha a partir da marca de 200 cm, diminuindo de 12 cm em 12 cm. Conte cada diminuição de marca, até chegar à temperatura ambiente, isto é, até chegar à marca de 20 cm.
Exemplo: Imagine que você comece a brincar com palitos, formando quadrados, como na figura a seguir. Quantos palitos são necessários para se montar uma sequência de 17 quadrados?
Solução: Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é fazer uma contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para montar dois quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos de 10 palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter um outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e verifique os números citados. Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do 4, basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 Assim, são necessários 52 palitos. (Tente montar uma tabela como esta no seu computador, aproveite para praticar as orientações da atividade 7.)
Observação: Veja, neste último exemplo, mais um aspecto sobre a previsão matemática. Primeiro, lembre como a contagem já ajudou a antecipar um evento, como no caso de prever quando o forno atingiria a temperatura ambiente, sem precisar esperar o tempo decorrer. Agora, você viu como prever a quantidade de palitos necessários para a construção da sequência de quadrados sem precisar lançar mão de uma grande quantidade de palitos para o experimento, sem precisar arrumar espaço para montar a sequência de quadrados e sem perder tempo montando os quadrados. Com um simples esquema gráfico e a contagem numérica, o problema foi rapidamente resolvido, com grande economia de material, de espaço e de tempo. É claro que montar sequências de palitos é só uma brincadeira, mas é o método utilizado que importa. Veja, a seguir, uma situação semelhante, só que agora mais séria.
Exemplo: Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Se o comerciante vende cada peça por 30 reais, quantas peças ele precisa vender para começar a ter algum lucro? Solução: Vejamos uma tabela relacionando o custo das peças e a receita na venda das peças com a quantidade de peças.
No^ de peças (^1 2 3 4 5 6 7 8 )
Custo 115 130 145 160 175 190 205 220 235 Receita 30 60 90 120 150 180 210 240 270
toda a massa do universo, algo em torno do 1 seguido de 54 zeros, sem precisar percorrer nossa vista sobre cada átomo existente no nosso universo. Vimos, por exemplo, que, com a contagem, podemos inclusive adiantar o tempo e estimar prováveis resultados.
As operações básicas dos números naturais
Para os números naturais, definem-se as operações fundamentais adição e multiplicação. É a partir destas operações que a noção de número se mostra realmente importante. Em particular, muitas vezes temos o processo de contagem bastante simplificado através do uso das operações fundamentais.
Exemplo: Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a temperatura estava a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando operações matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do forno em função do tempo pela equação y = 12 x + 200, onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20oC, ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação 20 = 12 x + 200. Com habilidade matemática, é fácil encontrar a solução: 12 x = 200 20 = 180 x = 180/12 = 15. Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos.
Observação: Leitor, procure pensar um pouco sobre a história completa e nos seus detalhes. É apresentado um problema prático e este é resolvido, de modo muito eficiente, a partir da manipulação das expressões matemáticas. A história apresentada desta forma normalmente não é muito bem entendida, pois várias passagens ficam suprimidas. Aliás, é por isso que a história é contada de forma tão eficiente, por ter muitos detalhes suprimidos. Contudo, pelo que vem sendo visto ao longo do texto, estamos aprendendo a entender o que está por trás do uso tão eficiente das expressões
matemáticas. Ficar atento para estas questões, ao longo do seus estudos matemáticos, leitor, pode ser uma boa estratégia para melhorar o seu aprendizado.
Exemplo: Voltemos ao problema de determinar o número de palitos para a construção de uma sequência de quadrados. Pelos dados do problema, precisamos de 4 palitos para o primeiro quadrado e, daí por diante, mais 3 palitos para cada novo quadrado. Assim, a quantidade de palitos, y , para cada quadrado, x , pode ser expressa matematicamente pela fórmula y = 1 + 3 x. No problema, foi pedido para determinar o número de palitos para se construir 17 quadrados. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y quando x = 17. Portanto, y = 1 + 3 x = 1 + 3.17 = 52.
Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os ilustrados aqui.
Exemplo: Vejamos um exemplo de determinação de perímetro de um triângulo sem o conhecimento de um dos lados do triângulo. No triângulo a seguir, podemos determinar imediatamente a medida de dois lados, a saber, 3 e 4.
Como o triângulo é retângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras que diz que seus lados satisfazem a relação a^2 + b^2 = c^2 , onde a e b representam os catetos (os lados menores) e c a hipotenusa (o lado maior). Assim, temos c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, isto é, c^2 = 25. Se fizermos algumas contas (1^2 , 2^2 , ...), chegamos logo a igualdade 5^2 = 25. Daí, c = 5 é a medida do lado maior. Logo, o perímetro é 12.
base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o produto dos dois valores encontrados. Veja a figura a seguir.
Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes objetos é passando por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular.
Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar os objetos da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de objetos pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 131.
Observação: ( Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo 0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para
