Os teoremas de Pappus e de Pascal, Notas de estudo de Matemática

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Os teoremas de Pappus e de Pascal

Gabriel de Oliveira Martins

Conte´udo

• 1 Introdu¸c˜ao: O espa¸co afim e as afinidades
• 2 O espa¸co projetivo
  • 2.1 A constru¸c˜ao do espa¸co projetivo
  • 2.2 Dualidade
  • 2.3 Transforma¸c˜oes projetivas
  • 2.4 Homografias e a reta projetiva
  • 2.5 A raz˜ao dupla e o teorema de Pappus
• 3 Curvas alg´ebricas planas projetivas
  • 3.1 Cˆonicas afins e as cˆonicas projetivas
  • 3.2 Cˆonicas duais
  • 3.3 A raz˜ao dupla em cˆonicas e o teorema de Pascal
• 4 A ´algebra na geometria
  • 4.1 A resultante de dois polinˆomios
  • 4.2 Polinˆomios homogˆeneos
  • 4.3 Sistemas de curvas alg´ebricas
    • teoremas 4.4 O Teorema de B´ezout e novas demonstra¸c˜oes para os mesmos
• 5 Apˆendice: Recortes afins
• 6 Bibliografia

Demonstra¸c˜ao: Como as afinidades formam um grupo, basta mostrar que podemos levar os pontos (1, 0), (0, 1), (0, 0) respectivamente em pontos p 1 , p 2 , p 3 quaisquer, n˜ao colineares, pois se ϕ(1, 0) = p 1 e ψ(1, 0) = p′ 1 , ent˜ao ψ ◦ ϕ−^1 (p 1 ) = p′ 1 e o mesmo vale para os outros pontos, al´em disso a unicidade tamb´em vai valer (pela unicidade de inversos em grupos). Precisamos ent˜ao de uma afinidade φ(X, Y ) = (aX + bY + ξ, cX + dY + η) tal que:

φ(1, 0) = (a + ξ, c + η) = p 1 φ(0, 1) = (b + ξ, d + η) = p 2 φ(0, 0) = (ξ, η) = p 3

E f´^ ´ acil ver que esse sitema define unicamente a, b, c, d, ξ, η, logo define, tamb´em unicamente, nossa afinidade. Al´em disso precisamos provar que ad − bc 6 = 0, pois a transforma¸c˜ao linear da afinidade tem que ser invers´ıvel. Suponha por absurdo que ad − bc = 0. Isto implicaria que os vetores (a, c) e (b, d) s˜ao linearmente dependentes, logo os pontos (a, c); (b, d); (0, 0) s˜ao co- lineares e s˜ao tamb´em colineares suas transla¸c˜oes p 1 , p 2 , p 3 , o que contradiz o enunciado. Logo ad − bc 6 = 0.



Temos teoria o suficiente sobre os espa¸cos afins, chegou a hora de come¸carmos a estudar os espa¸cos projetivos.

2 O espa¸co projetivo

2.1 A constru¸c˜ao do espa¸co projetivo

Nessa parte do texto veremos algumas defini¸c˜oes e constru¸c˜oes geom´etricas do espa¸co que estudaremos. Essa introdu¸c˜ao ´e essencial no estudo da geometria tanto projetiva quanto alg´ebrica, pois nos dar´a no¸c˜oes intuitivas dos espa¸cos sobre os quais trabalhamos. Sem ela a teoria seguinte poderia se tornar bastante artificial. O espa¸co projetivo de dimens˜ao n sobre um corpo k, denotado Pn(k), ´e construido da seguinte maneira. Definimos sobre kn+1^ \ { 0 } a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: Para qualquer λ ∈ k∗

(x 0 , x 1 , ..., xn) ∼ (λx 0 , λx 1 , ..., λxn)

O conjunto cujo os elementos s˜ao as classes de equivalˆencia dadas por essa rela¸c˜ao ´e o espa¸co projetivo de dimens˜ao n, i.e. Pn(k) = (kn+1^ \ { 0 })/ ∼. Um espa¸co projetivo de dimens˜ao 1 ´e chamado de reta projetiva e um de dimens˜ao 2 de plano projetivo. Al´em disso em geral omitimos sobre qual corpo esta- mos trabalhando, a n˜ao ser que isso seja especialmente relevante na situa¸c˜ao, e escrevemos apenas Pn. Veja tamb´em que dada uma base em kn+1, conseguimos induzir um sistema de coordenadas em Pn

(x 0 , x 1 , ..., xn) 7 → [x 0 : x 1 : ... : xn]

Chamamos esse sistema de coordenadas de coordenadas homogˆeneas e ´e f´acil notar que escrevendo os elementos dessa forma, para qualquer λ ∈ k∗

[x 0 : x 1 : ... : xn] = [λx 0 : λx 1 : ... : λxn]

Outra propriedade importante desse sistema de coordenadas ´e que n˜ao ex- istem pontos em Pn^ com todas as coordenadas nulas.

H´a v´arias formas de “enxergar” o espa¸co Pn, vejamos o caso P^2 (R) por ex- emplo (que ´e o caso mais interessante que conseguimos desenhar). Podemos enxergar cada elemento desse espa¸co como uma reta que passa pela origem em R^3 (dois pontos em R^3 \ { 0 } est˜ao numa mesma reta desse tipo se e somente pertencem `a mesma classe de equivalˆencia). Continuando nessa linha de pen- samento podemos observar tamb´em que uma reta desse tipo intercepta S^2 , a esfera unit´aria, em exatamente dois pontos. Portanto podemos olhar apenas para o hemisf´erio superior de S^2.

Cada elemento de P^2 (R) est´a unicamente representado nesse plano, menos, de novo, os elementos equivalentes `as retas em z = 0. Essa representa¸c˜ao ´e extremamente interessante pois nos permite observar que podemos “recortar” do nosso plano projetivo um plano afim e os pontos que sobram, nesse caso o conjunto

{[x : y : z] ∈ P^2 (R) | [x : y : 0], x, y ∈ R}

E na verdade uma reta projetiva (a reta^ ´ z = 0), a qual chamamos de reta no infinito. Isso ´e, podemos enxergar nosso plano projetivo como a uni˜ao de um plano afim e um reta projetiva!

P^2 (R) = A^2 (R) ∪ P^1 (R)

Al´em disso, podemos olhar agora nosso plano projetivo como um plano afim adjuntado de certos pontos, os quais formar˜ao uma reta projetiva e que, como veremos adiante, ser˜ao correspondentes as dire¸c˜oes assint´oticas das retas desse plano afim. Vamos elaborar esse racioc´ınio. Voltando a escrever as coordenadas em P^2 como [x 0 : x 1 : x 2 ], seja∞ a reta x 0 = 0, podemos definir uma bije¸c˜ao de P^2 (k) \ `∞ em A^2 (k) da seguinte forma

φ : P^2 \ `∞ → A^2 [x 0 : x 1 : x 2 ] 7 →

x 1 x 0 ,^

x 2 x 0

Perceba que essa fun¸c˜ao est´a bem definida em P^2 \ ∞, pois nesse dom´ınio x 0 6 = 0, e dois representantes da mesma classe de equivalˆencia no plano projetivo tˆem a mesma imagem, al´em disso ´e bijetiva e ´e f´acil saber sua inversa (vocˆe consegue ver?). O pr´oximo teorema nos da uma outra boa raz˜ao para chamar a reta∞ de reta no infinito.

Teorema 2.1.1. Duas retas em A^2 s˜ao paralelas se e somente se interceptam a reta no infinito no mesmo ponto.

Demonstra¸c˜ao: Vamos considerar a fun¸c˜ao φ e duas retas paralelas em A^2 :

1 = {x ∈ A^2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 + b = 0} 2 = {x ∈ A^2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 + c = 0}

Com ao menos um ai 6 = 0. Perceba que se y 0 6 = 0 ´e um n´umero qualquer, chamando xiy 0 = yi (pode parecer que foi “tirado da cartola”, mas a ideia ´e que φ(y 0 : y 1 : y 2 ) = (x 1 , x 2 ))

a 1 y 1 + a 2 y 2 + by 0 = 0 ⇔ a 1 x 1 + a 2 x 2 + b = 0

Isso nos mostra que na verdade a pr´e imagem das retas afins 1 , 2 por φ s˜ao as retas projetivas

˜ 1 = {p ∈ P^2 | bx 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0}^ ˜ 2 = {p ∈ P^2 | cx 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0}

A menos do ponto onde essas retas interceptam a reta x 0 = 0 em P 2 (pois φ obviamente n˜ao est´a definida nesse ponto). Vamos analisar ent˜ao a interse¸c˜ao de `˜ 1 e x 0 = 0. { bx 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 x 0 = 0

a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 x 0 = 0

Claramente o ´unico ponto em P^2 satisfazendo essas condi¸c˜oes ´e [0 : a 2 : −a 1 ] (note que ´e ´unico mesmo) e que ele depende somente da inclina¸c˜ao da reta, logo a reta `˜ 2 tamb´em interceptar´a x 0 = 0 nesse ponto.



Isso nos mostra tamb´em que existe uma bije¸c˜ao entre as dire¸c˜oes assint´oticas de A^2 e os pontos da “reta no infinito”. Nesse sentido o plano projetivo pode ser visto como o plano afim adjuntado de pontos que representam suas dire¸c˜oes assint´oticas. No apˆendice I, eu escrevo mais sobre os isomorfismo entre os espa¸cos afins e projetivos.

2.2 Dualidade

A dualidade ´e uma propriedade muito interessante do plano projetivo, n˜ao s´o por ter uma beleza geom´etrica intr´ınseca, mas por nos dar muitos teoremas de gra¸ca (vocˆe logo entender´a o porquˆe). Vou provar duas proposi¸c˜oes que v˜ao deixar claro o “esp´ırito” por tr´as da dualidade.

Proposi¸c˜ao 2.2.1. Dados dois pontos distintos p 1 , p 2 ∈ P^2 existe uma ´unica reta que passa por eles.

Demonstra¸c˜ao: Seja p 1 = [x 0 , x 1 , x 2 ] e p 2 = [y 0 , y 1 , y 2 ], queremos resolver o sistema { a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 a 0 y 0 + a 1 y 1 + a 2 y 2 = 0

Onde as inc´ognitas s˜ao os coeficientes da reta que estamos procurando. Esse ´e um sistema linear com um n´ucleo de dimens˜ao um (isso ´e, uma reta em k^3 ), logo possui uma solu¸c˜ao n˜ao trivial, al´em disso dadas duas solu¸c˜oes n˜ao triviais (a 0 , a 1 , a 2 ) e (a′ 0 , a′ 1 , a′ 2 ), temos que uma ´e um m´ultiplo da outra (em nota¸c˜ao de coordenadas homogˆeneas temos [a 0 : a 1 : a 2 ] = [a′ 0 : a′ 1 : a′ 2 ]. logo representam a mesma reta.



2.3 Transforma¸c˜oes projetivas

As transforma¸c˜oes projetivas s˜ao os isomorfismos entre os espa¸cos projetivos, assim como as transforma¸c˜oes lineares invers´ıveis para os espa¸cos vetoriais. Ba- sicamente uma transforma¸c˜ao projetiva ´e uma fun¸c˜ao linear nas coordenadas, i.e.

T : Pn^ → Pn [x 0 : ... : xn] 7 → [

a 0 ixi : ... :

anixi]

Tal que

det

a 00 a 01... a 0 n a 10 a 11... a 1 n .. .

an 0 an 1... ann

Como vocˆe j´a percebeu podemos representar uma transforma¸c˜ao desse tipo por uma matriz mas note que essa representa¸c˜ao n˜ao ´e ´unica, por exemplo, se T pode ser representada por uma matriz A ela tamb´em ´e representada pela matriz λA com λ ∈ k∗. Na verdade as transforma¸c˜oes projetivas formam um grupo (´e f´acil ver que elas tˆem inversa pela condi¸c˜ao que colocamos no determinante) e o grupo das transforma¸c˜oes projetivas de Pn(k) denotado P GLn(k) ´e na ver- dade isomorfo ao grupo das matrizes invers´ıveis de ordem n + 1, GLn+1(k), quocientado pelo seu centro Z = {λI | λ ∈ k∗} sendo I a identidade.

P GLn ∼=

GLn+ Z O pr´oximo teorema ´e extremamente importante. Antes do enunciado pre- cisamos de uma defini¸c˜ao. Dizemos que n + 2 pontos, pi i ∈ { 0 , ..., n + 1}, em Pn^ est˜ao em posi¸c˜ao geral se existe uma base β = {b 1 , ..., bn+1} em kn+1^ tal que a seguinte condi¸c˜ao ´e satisfeita.

P (b 1 ) = p 1 P (b 2 ) = p 2 .. . P (bn+1) = pn+ P (b 1 + b 2 + · · · + bn+1) = p 0

Denotando por P (v) a classe de equivalˆencia de um vetor v ∈ kn+1.

Teorema 2.3.1. Sejam pi ∈ Pn^ com i ∈ { 1 , ..., n + 2} em posi¸c˜ao geral e p′ i da mesma forma, existe uma ´unica transforma¸c˜ao projetiva T tal que T (pi) = p′ i

Demonstra¸c˜ao: Provarei o caso para n = 2 e ´e f´acil ver como a prova se generaliza. Vale notar que como essas transforma¸c˜oes formam um grupo posso assumir p′ 1 = e 1 = [1 : 0 : 0],

p′ 2 = e 2 = [0 : 1 : 0], p′ 3 = e 3 = [0 : 0 : 1] e p′ 4 = e 4 = [1 : 1 : 1] (pois se existe f tal que f (pi) = ei e g tal que g(p′ i) = ei ent˜ao g−^1 ◦ f (pi) = p′ i como queriamos, a unicidade tamb´em ´e imediata, segue pelas propriedades de um grupo). Vamos escrever pi = [pi 1 : pi 2 : pi 3 ]. Estamos procurando aij ’s que sat- isfa¸cam as quatro condi¸c˜oes  

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

p 11 p 12 p 13

μ 0 0

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

p 21 p 22 p 23

λ 0

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

p 31 p 32 p 33

ν

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

p 41 p 42 p 43

ζ ζ ζ

Isso nos da 12 equa¸c˜oes e 13 inc´ognitas, mas n˜ao h´a problema, esse grau de liberdade (de uma dimens˜ao) se justifica pois se uma matriz A satisfaz essas condi¸c˜oes, ent˜ao λA com λ ∈ k∗^ tamb´em as satisfaz, como eu havia dito antes (esse grau de liberdade some quando quocientamos GL 3 pelo seu centro). A solu¸c˜ao ent˜ao ´e um ´unico elemento de P GL 2.



Obs: Estamos fazendo essas contas em k^3 e considerando os elementos de P^2 como as classes de equivalˆencia das retas que passam pela origem. Essa observa¸c˜ao ´e importante para evidenciar que P^2 n˜ao possui nenhuma estrutura alg´ebrica expl´ıcita, n˜ao podemos somar dois pontos nem multiplic´a-los por es- calares como costumamos fazer no vaso vetorial.

2.4 Homografias e a reta projetiva

Vamos nos voltar para o caso particular da reta projetiva e suas transforma¸c˜oes projetivas as quais chamamos de homografias. Esse caso ´e particularmente interessante pois em geometria nos interessamos, por exemplo, nas interse¸c˜oes entre retas e constru¸c˜oes geom´etricas que podemos fazer com elas. Procurar transforma¸c˜oes projetivas entre elas ´e uma boa ajuda para provar teoremas como veremos `a frente. Pensemos um pouco sobre os recortes afins da reta. Repare que um hiper- plano em P^1 ´e apenas um ponto e que A^1 = k, ´e comum chamar o ponto no infinito da reta projetiva de ∞ e escrever

P^1 = A^1 ∪ ∞ = k ∪ ∞

Demonstra¸c˜ao: Podemos escolher a reta os como a reta no infinito, repare que com essa escolha, em A^2 , 1 e 2 s˜ao paralelas, al´em disso as retas op com p variando em 1 s˜ao paralelas entre si pois todas se encontram no mesmo ponto na reta no infinito (o ponto o), al´em disso tˆem uma inclina¸c˜ao diferente de 1 e 2 , pois interceptam a reta no infinito em pontos distintos. Agora sejam p 1 , p 2 ∈ 1 , pontos distintos e diferentes de s e seja q 1 = op 1 ∩2. Podemos escolher um sistema de coordenadas em A^2 de forma que p 2 = (0, 0), p 1 = (0, 1) e q 1 = (1, 1) (usando o lema dos trˆes pontos). Nesse sistema de coordenadas 1 : x = 0 e ` 2 : x = 1. Veja a ilustra¸c˜ao para enteder melhor o que fizemos.

Um ponto na reta 1 ´e determinado pela sua altura y e o mesmo vale para 2 e a fun¸c˜ao h ´e dada nesse sistema de coordenadas por

h : k ∪ ∞ → k ∪ ∞ y 7 → y ∞ 7 → ∞

Que ´e uma fun¸c˜ao do tipo azcz++bd (note que ela leva o infinito no infinito mesmo, n˜ao s´o por constru¸c˜ao mas nesse caso a = 1 e c = 0 e a imagem do infinito ´e ac ). Logo ela ´e uma homografia.



2.5 A raz˜ao dupla e o teorema de Pappus

Seja uma reta projetiva, e a, b, c ∈ trˆes pontos distintos. Existe uma ´unica transforma¸c˜ao projetiva φ tal que:

φ : ` → K ∪ ∞ a 7 → 0 b 7 → 1 c 7 → ∞

Se d ∈ ` ´e um outro ponto da reta, φ(d) ´e chamada a raz˜ao dupla entre a, b, c e d e ´e denotada por [a, b, c, d]. O pr´oximo teorema mostra que a raz˜ao dupla ´e um (bem importante) invari- ante projetivo de P^1. Vamos us´a-la futuramente para demonstrar dois teoremas (tamb´em importantes) da geometria projetiva.

Teorema 2.5.1. Sejam a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ∈ (sendo os trˆes primeiros distintos) e a′ 1 , a′ 2 , a′ 3 , a′ 4 ∈′^ satisfazendo a mesma condi¸c˜ao, ent˜ao existe uma ´unica transforma¸c˜ao projetiva ψ : →′^ tal que ψ(ai) = a′ i se e somente se:

[a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ] = [a′ 1 , a′ 2 , a′ 3 , a′ 4 ].

Demonstra¸c˜ao: (⇒) Seja ψ : →′^ como acima e φ, φ′^ transforma¸c˜oes projetivas tal que φ(a 1 ) = 0, φ(a 2 ) = 1 e φ(a 3 ) = ∞, similarmente φ′(a′ 1 ) = 0, φ′(a′ 2 ) = 1 e φ′(a′ 3 ) = ∞. Note que φ = φ′^ ◦ ψ. Al´em disso.

[a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ] = φ(a 4 ) = φ′^ ◦ ψ(a 4 ) = φ′(a′ 4 ) = [a′ 1 , a′ 2 , a′ 3 , a′ 4 ]

(⇐) Temos que [a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ] = φ(a 4 ) = φ′(a′ 4 ) = [a′ 1 , a′ 2 , a′ 3 , a′ 4 ]. Basta tomar ψ = φ′−^1 ◦ φ.

 Um corol´ario importante desse teorema ´e que se p 1 , p 2 , p 3 , t e u s˜ao cinco pontos em P^1 (tal que a igualdade abaixo fa¸ca sentido), ent˜ao

[p 1 , p 2 , p 3 , t] = [p 1 , p 2 , p 3 , u] ⇔ t = u

Al´em disso, considerando uma homografia h do tipo tratado no teorema

2. 4 .1, entre duas retas 1 e 2 em P^2 em rela¸c˜ao a um ponto o que n˜ao est´a em nenhuma delas, se pi ∈ 1 com i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } e qi = h(pi) ∈ 2 s˜ao pontos tal que a igualdade abaixo fa¸ca sentido, vamos escrever

[p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ]

o =[̂ q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ]

Quando quisermos falar sobre a raz˜ao dupla entre esses pontos. Essa nota¸c˜ao vai ajudar na compreens˜ao dos passos das demonstra¸c˜oes de teoremas. Vamos provar uma proposi¸c˜ao que n˜ao nos ajudar´a agora, mas al´em de ser geometricamente legal ela nos ajudar´a quando formos provar o teorema de Pascal mais `a frente.

Proposi¸c˜ao 2.5.1. Seja m um ponto em P^2 e m∗^ a reta em (P^2 )∗^ formada por todas as retas em P^2 que passam por m. Sejam a 1 ,a 2 ,a 3 e a 4 quatro pontos em uma reta r que n˜ao passa por m. Ent˜ao [ma 1 , ma 2 , ma 3 , ma 4 ] = [a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ].

Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao ´e bem similar `a do teorema 2. 4 .1. Escolhemos a reta ma 1 como a reta no infinito. Escolhemos em A^2 um sistema de coordenadas novamente, (0, 0) = ma 2 ∩ r, (1, 0) ∈ ma 2 \ {(0, 0)} e (0, 1) ∈ r \ {(0, 0)}. As retas em m∗ s˜ao da forma y = μ para algum μ ∈ k∗. Nossa transforma¸c˜ao ent˜ao ´e dada por

Basta notar agora que

[q 1 , b 1 , p 3 , a 2 ]

q 3 =[̂ s, p 2 , p 3 , p 1 ]

q 2 =[̂ q 1 , p 2 , b 2 , a 1 ]

a 3 =[̂ q 1 , b 1 , p 3 , a′ 2 ]

E isso implica a 2 = a′ 2 como quer´ıamos.



3 Curvas alg´ebricas planas projetivas

A partir de agora vamos nos focar em P^2 , vamos tamb´em fixar nosso corpo base k como R ou C. Podemos definir sobre esse plano objetos um pouco mais complexos que retas, que chamamos de curvas alg´ebricas projetivas. Uma curva ´e um conjunto dado da seguinte maneira.

C = {x ∈ P^2 | F (x 0 , x 1 , x 2 ) = 0} Onde F ´e um polinˆomio homogˆeneo em k[x 0 , x 1 , x 2 ] (se vocˆe n˜ao sabe o que ´e um polinˆomio homogˆeneo veja a se¸c˜ao 4.2.). Se n ´e o grau de F dizemos tamb´em que a curva C ´e de grau n. Note que precisamos que F seja homogˆeneo para que esse conjunto esteja bem definido, pois dessa forma F (λx 0 , λx 1 , λx 2 ) = λnF (x 0 , x 1 , x 2 ) = 0, para todo λ ∈ k, onde n ´e o grau de F. As curvas que realmente estudaremos s˜ao as cˆonicas, as curvas de grau dois. Para enxergar uma cˆonica irredut´ıvel (i.e. dada por um polinˆomio irredut´ıvel) basta notar que ela define um cone em k^3 e tomando a rela¸c˜ao de equivalˆencia do plano projetivo ela se parecer´a, ao menos topologicamente, com um c´ırculo, que ´e o que estamos acostumados a entender por cˆonicas. (Fato “curioso”: esse cone na verdade ´e o cone de isotropia da forma quadr´atica que define a cˆonica.)

As redut´ıveis ser˜ao produtos de dois polinˆomios homogˆeneos de grau um, ou seja ser˜ao dois planos que passam pela origem em k^3 i.e. duas retas em P^2.

3.1 Cˆonicas afins e as cˆonicas projetivas

Como observamos todas as cˆonicas projetivas irredut´ıveis se parecem com c´ırculos, enquanto, como sabemos, as cˆonicas afins irredut´ıveis eram classificadas em trˆes

3.2 Cˆonicas duais

Um aspecto muito interessante das cˆonicas ´e que sua curva dual tamb´em ´e uma cˆonica e al´em disso a transform¸c˜ao que leva uma cˆonica em sua cˆonica dual ´e uma transforma¸c˜ao projetiva. Depois de falar tantas palavras estranhas vou explicar passo a passo o que eu disse. Dada uma curva alg´ebrica plana projetiva λ = {x ∈ P^2 | F (x) = 0}, onde F ´e um polinˆomio homogˆeneo, definimos sua curva dual como o conjunto de todas as retas tangentes a essa curva (essa ´e uma curva no espa¸co projetivo dual (P^2 )∗).

Vamos fazer algumas contas. Seja F o polinˆomio homogˆeneo que define a cˆonica C. Repare que C ´e na verdade uma curva de n´ıvel de F , mais es- pec´ıficamente, C = F −^1 (0). Calcular a reta tangente a um ponto p = [p 0 : p 1 : p 2 ] ∈ P^2 em C ´e a mesma coisa que calcular o plano tangente a um ponto ˜p = (p 0 , p 1 , p 2 ) ∈ R^3 no cone

F −^1 (0) ⊂ R^3. Isso ´e, utilizando, por exemplo, a expans˜ao na f´ormula de Taylor do nosso polinˆomio, teremos que a equa¸c˜ao de Tp, a reta tangente no ponto p = [p 0 : p 1 : p 2 ], ser´a.

Tp : (^) ∂x∂F 0 (p)x 0 + (^) ∂x∂F 1 (p)x 1 + (^) ∂x∂F 2 (p)x 2

N˜ao se esque¸ca que F (p) = 0. Note que essa reta est´a bem definida, pois se dois ponto x, y ∈ R^3 s˜ao tais que x = μy para algum μ ∈ R, ent˜ao Tx = Ty. Essa conta nos diz algo muito bom. A fun¸c˜ao φ que toma um p ∈ P^2 e o leva em Tp ∈ (P^2 )∗^ ´e dada por

φ : P^2 → (P^2 )∗ x = [x 0 : x 1 : x 2 ] 7 →

[

∂F ∂x 0 (x) :^

∂F ∂x 1 (x) :^

∂F ∂x 2 (x)

]

E ´e portanto uma transforma¸c˜ao projetiva (pois a derivada parcial de um polinˆomio homogˆeneo de grau dois em rela¸c˜ao a uma de suas vari´aveis ´e um polinˆomio, tamb´em homogˆeneo, de grau um). Al´em disso perceba (vocˆe n˜ao precisar´a fazer contas para ver isso) que a cˆonica dual de uma cˆonica irredut´ıvel tamb´em ´e irredut´ıvel. (Dica: para isso note que a equa¸c˜ao da cˆonica dual ser´a dada por F (φ−^1 (x 0 , x 1 , x 2 )) = 0.) Muitas das coisas que eu disse nesse texto se generalizam para curvas planas de grau maior mas nesse texto realmente estamos mais interessados nas pro- priedades das cˆonicas, que s˜ao mais fortes. Por exemplo, n˜ao ´e verdade que dada uma curva sua curva dual tem o mesmo grau que a curva inicial. Al´em disso as cˆonicas tamb´em possuem um invariante projetivo muito importante que ´e a raz˜ao dupla (o mesmo invariante que mostramos existir para as retas).

3.3 A raz˜ao dupla em cˆonicas e o teorema de Pascal

Seja C uma cˆonica em P^2 e m ∈ C um ponto da cˆonica. Considere o conjunto das retas que passam por m, lembre-se que isso ´e uma reta que chamaremos de m∗^ no espa¸co (P^2 )∗. Cada ponto m ∈ C define um mapa πm : C → m∗, definido da seguinte maneira, πm(m) ´e a reta tangente `a conica em m e para n ∈ C , n 6 = m, πm(n) = mn.