Baixe Séries - Teoremas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
S´eries - Teoremas
1 Teorema 1.
Se ∑^ an e ∑^ bn s˜ao s´eries convergentes, ent˜ao as s´eries ∑^ c an (sendo c uma constante) e ∑(an ± bn) tamb´em s˜ao convergentes a. ∑^ c an = c ∑^ an b. ∑(an ± bn) = ∑^ an ± ∑^ bn ,
2 Testes de convergˆencia:
2.1 Teorema 2 (Teste da divergˆencia)
Se limn→+∞ an n˜ao existe ou se limn→+∞ an 6 = 0, ent˜ao a s´erie ∑^ an ´e divergente.
2.2 Teorema 3 (Teste da integral)
Seja ∑^ an uma s´erie com termos positivos e seja f (x) a fun¸c˜ao que resulta quando k for substitu´ıdo por x no termo geral da s´erie. Se f ´e decrescente e cont´ınua no intervalo [a, +∞), ent˜ao a. Se ∫^ a+ ∞f (x)dx ´e convergente, ∑^ an ´e convergente b. Se ∫^ a+ ∞f (x)dx ´e divergente, ∑^ an ´e divergente
2.2.1 Estimativa do erro para o teste da integral Se f (n) = an uma fun¸c˜ao cont´ınua, positiva e decrescente para x ≥ n e ∑^ an ´e convergente. O erro de truncamento Rn satisfaz ∫ (^) ∞ n+1^ f^ (x)dx^ ≤^ Rn^ ≤
n^ f^ (x)dx^ (1) 2.2.2 p-s´eries A s´erie ∑∞ n=1 n^1 p ´e convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1
2.3 Teorema 3 (Teste da compara¸c˜ao)
Sejam ∑^ an e ∑^ bn s´eries com termos positivos, a. Se ∑^ bn ´e convergente e an ≤ bn para todo n > No, ent˜ao ∑^ an ´e convergente b. Se ∑^ bn ´e divergente e an ≥ bn para todo n > No, ent˜ao ∑^ an ´e divergente
2.3.1 Teorema 4 (Teste da compara¸c˜ao dos limites) Sejam ∑^ an e ∑^ bn s´eries com termos positivos, se
n−→∞lim^ a bnn^ =^ c^ (2) onde c ´e um n´umero finito e c > 0, ent˜ao ambas as s´eries convergem ou ambas as s´eries divergem.
2.3.2 Estimativa do erro para o teste de compara¸c˜ao Sejam ∑^ an com erro Rn e ∑^ bn com erro Tn, s´eries convergentes com termos positivos e an ≤ bn para todo n > No, ent˜ao Sn ≤ Tn
2.4 Teorema 5 (Teste de s´eries alternadas)
Se a s´erie alternada ∑^ ∞ n=
(−1)nan = a 1 − a 2 + a 3 − a 4 + ........(an > 0) (3)
satisfaz a. an+1 ≤ an , para todo n b. limx−→∞ an = 0 , a s´erie ´e convergente.
2.4.1 Estimativa do erro para o teste de s´eries alternadas Se a s´erie alternada ∑∞ n=1(−1)nan satisfaz a. an+1 ≤ an , para todo n b. limx−→∞an = 0 , ent˜ao |Rn| ≤ an+
2.5 Teorema 6 (Teste da raz˜ao)
2.5.1 Defini¸c˜ao uma s´erie ∑^ an ´e chamada de absolutamente convergente se a s´erie de valores absolutos∑^ |an| ´e convergente.
2.5.2 Teorema seja a s´erie ∑^ an
n−→∞^ lim |^ an a+1n^ |^ =^ L ,^ (4) a. Se L < 1, ent˜ao a s´erie ´e absolutamente convergente (e portanto convergente) b. Se L > 1 ou L = ∞, ent˜ao a s´erie ´e divergente c. Se L = 1 o teste da raz˜ao ´e inconclusivo.
2.6 Teorema 7 (Teste da raiz)
seja a s´erie ∑^ an
n−→∞^ lim |an|^1 /n^ =^ L ,^ (5) a. Se L < 1, ent˜ao a s´erie ´e absolutamente convergente (e portanto convergente) b. Se L > 1 ou L = ∞, ent˜ao a s´erie ´e divergente c. Se L = 1 o teste da raz˜ao ´e inconclusivo.
se s´erie de Taylor para f em torno de x = x 0. No caso especial em que x = 0 ∑^ ∞ k=
f (k)(0) k! x
k (^) (10)
´e chamada de s´erie de Maclaurin para f.
4.2 Defini¸c˜ao
Se fun¸c˜ao f puder ser diferenciada n vezes em x 0 , define-se o n-´enesimo polinˆomio de Taylor para f em torno de x = x 0 , como sendo
Tn = ∑^ n k=
f (k)(x 0 ) k! (x^ −^ x^0 )
k (^) (11)
se s´erie de Taylor para f em torno de x = x 0. No caso especial em que x = 0
Tn = ∑^ n k=
f (k)(0) k! x
k (^) (12)
´e chamada de polinˆomio de Maclaurin para f.
4.3 Teorema de Taylor
Se uma fun¸c˜ao f for diferenci´avel at´e a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo x 0 , ent˜ao para cada x em I existe um n´umero c entre x e a tal que
f (x) = ∑^ n k=
f (k)(x 0 ) k! (x^ −^ x^0 )
k (^) + Rn(x) (13)
onde Rn(x) = f^ (n+1)(c n)(+1x−x^0 )n+
4.4 Teorema
Se Rn(x) = f (x) − Tn(x), a igualdade
f (x) =
∑^ ∞
k=
f (k)(x 0 ) k! (x^ −^ x^0 )
k (^) (14)
´e verdadeira num ponto x se e somente se limn−→∞ Rn(x) = 0 (Rn ´e chamado de resto)
4.5 Teorema (teorema da estimativa do resto)
Se a fun¸c˜ao f pode ser diferenciada n + 1 vezes num intervalo I contendo o ponto x 0 e se |f (n+1)(x)| ≤ M para todo x em I, ent˜ao
|Rn(x)| ≤ (^) (n M+ 1)! |x − x 0 |n+1^ (15)
para todo x em I.
