Teorema de Pappus, Trabalhos de Engenharia Civil

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PERNAMBUCO

Recife, 22 de Novembro de 2012.

Teorema de Pappus

Grupo:

Cecília Campelo Gabriela Castro Gabriel da Mota Raquel Arruda

iNTRODUÇÃO

Em matemática, física e lógica, os teoremas do centróide (também conhecidos como os teoremas de Guldinus, Pappus-Guldinus ou teoremas de Pappus) são dois teoremas relacionados que tratam com as superfícies, volumes de superfícies e sólidos de revolução. O primeiro teorema definindo a área da superfície e o segundo, o volume.

Exemplo: Da revolução de um semicírculo, resulta uma esfera. De um segmento de reta, resulta um cone. E de uma circunferência, resulta um toro.

Os teoremas são atribuídos ao geómetra grego Pappus de Alexandria, mais tarde retomados por Paul Guldin.

Teorema 1

Se um arco C de uma curva suave localizada em um plano, for girado em um ângulo θ (0≤θ≤ 2 π) em torno de um eixo localizado em um plano, e que não intercepta o arco C , a área da superfície gerada pelo arco C à medida que ele gira o ângulo θ é igual ao comprimento de C vezes o comprimento da trajetória percorrida pelo centróide de C durante a rotação θ.

TEOREMA 2

Se uma área A localizada em um plano for girada em um ângulo θ (0≤θ≤ 2 π) em torno de um eixo localizado em um plano que não intercepta a área A , o volume gerado pela área A , à medida em que ele gira o ângulo

θ , é igual à área A vezes o comprimento da trajetória percorrida pelo centróide de A durante a rotação θ.

Se ρ é a distância do eixo de rotação ao centróide da área plana, o volume V gerado pela área, à medida em que ele gira em um ângulo θ é:

V=Aρθ

Demonstração:

EXEMPLO:

Deduzir a fórmula para o volume V do cone reto circular sólido.

ponta, é aproximadamente circular. Como o engenheiro pode estimar a quantidade necessária de lâmina de alumínio através do teorema de Pappus-Guldinus?