Otimização e programação linear, Exercícios de Programação Linear

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THE UNIVERSITY OF SYDNEY BUSINESS SCHOOL

PESQUISA OPERACIONAL I

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

BRUNO DORE RODRIGUES PhD , Dr , MSc

Conteúdo da Seção

› Problema Dual

• Interpretação Econômica do Problema Dual
• Preço de Sombra – Shadow Price
• Custo Reduzido – Reduced Cost

Problema Dual › Problemas duais podem resultar da interpretação de alguma situação sob pontos de vistas opostos.

• O modelo inicial chamado Primal, pode ser substituído por outro modelo chamado Dual, cuja solução é mais rápida em algumas situações.
• Será mostrado que uma vez conhecida a solução do Dual, conhece-se em conseqüência a solução do Primal, o que resolve o problema.

Problema Dual › Obtenção do Dual: i) A cada variável do primal corresponde uma restrição no dual; ii) A cada restrição do primal corresponde uma variável do dual; iii) Os coeficientes da função objetivo do primal correspondem aos termos independentes das restrições do dual; iv) Os termos independentes das restrições do primal correspondem aos coeficientes da função objetivo do dual; v) A transposta da matriz das restrições do primal, é a matriz das restrições do dual; vi) Se o primal for um problema de maximização (minimização) na forma típica, então o problema dual será um problema de minimização (maximização) na forma típica.

Problema Dual › Exemplo:

• Escreva o Dual do seguinte modelo: Max. Z=0,2X 1 +2X 2 +4X 3 sa: X 1 + 2X 2 ≤ 20 3X 1 + X 3 ≤ 50 X 1 + X 2 - X 3 ≤ 15 X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0

Problema Dual › Exemplo:

• Considere o seguinte modelo Primal:
• As regras apresentadas levam ao modelo Dual abaixo:

Problema Dual › Exercícios:

Problema Dual › Exercícios:

Interpretação Econômica Podemos analisar este mesmo problema de outro ângulo: › Vamos supor que este carpinteiro deseje saber qual o preço mínimo que pode ser atribuído aos recursos (horas de trabalho e madeira) que lhe pertencem, ou seja, ele quer saber qual o preço intrínseco de seus recursos. “Quais os preços mínimos que, se o mercado desse para a minha mão-de- obra e para minha madeira, me fazem ficar indiferente entre vender esses recursos ou usá-los para fazer e vender mesas e cadeiras?

• Se o mercado desse preços altos aos recursos certamente o carpinteiro os venderia, pois seria mais interessante vender e lucrar com os recursos do que fazer e vender mesas e cadeiras.
• Mas se o mercado desse preços muito baixos aos recursos, o carpinteiro pudo lucrar mais fazendo e vendendo mesas e cadeiras. Ele certamente não venderia seus recursos.

Interpretação Econômica › Esta segunda visão do problema do carpinteiro é descrito matematicamente pelo seguinte modelo:

• Primeiro, o mercado deverá oferecer o mínimo pelo total de recursos do carpinteiro. Chamando de y1 o preço dado por 1 H.h de mão-de-obra e de y2 o preço dado por 1 m2 de madeira, tem-se a seguinte F.O.: Min W = 40y1 + 60y2 (preço total dos recursos)
• Segundo, o mercado não poderá oferecer preços tão baixos, pois o carpinteiro não venderia seus recursos, assim, o mercado deve oferecer preços tais que o valor dos recursos não sejam inferior ao preço de venda, então tem-se as seguintes restrições: S.A. 3y1 + 7y2 ≥ 1000 (mesa) 5y1 + 4y2 ≥ 500 (cadeira)

Interpretação Econômica › Concluímos, dessa forma, que dado um problema de programação linear, podemos escolher entre solucionar o modelo primal ou o dual correspondente , uma vez que a solução de um pode ser obtida a partir do outro.

• O problema dual, assim como o primal, gera uma interpretação econômica dos resultados ótimos obtidos.
• Por exemplo, o valor de y1= 0, representa o valor de oportunidade do recurso mão-de-obra. O resultado é coerente, já que o recurso mão-de-obra não é escasso.

Interpretação Econômica

• Já o valor de y2= 1000/7, representa o valor de oportunidade do recurso madeira, isto é, cada m2 de madeira tem capacidade de gerar uma receita de R$ 142,86.
• O valor de y2 representa a capacidade da unidade do recurso madeira gerar receita neste programa.
• Na função objetivo dual, cada parcela mede, então, o valor de oportunidade dos recursos envolvidos na produção (estoque x valor de oportunidade unitário do recurso).

Principais Propriedades do Dual › Principais Propriedades do Dual:  Teorema 1 (da Dualidade fraca): para soluções viáveis: o valor da função objetivo do Dual ≥ o valor da função objetivo do Primal

• Corolário 1: para soluções viáveis: todo valor da função objetivo do Primal é um limitante inferior para a função objetivo do Dual.
• Corolário 2: para soluções viáveis: todo valor da função objetivo do Dual é um limitante superior para a função objetivo do Primal.
• Corolário 3 : se o Primal é viável e o valor de Z →∞ então o Dual é inviável.
• Corolário 4: se o Dual é viável e W →-∞ então o Primal é inviável.
• Corolário 5: se o Primal é viável e o Dual inviável então o Primal é ilimitado (Z →∞ ).
• Corolário 6: se o Dual é viável o Primal inviável então o Dual é ilimitado (W →-∞).

Principais Propriedades do Dual  Teorema 2 (critério de otimalidade): sejam X* e Y* soluções viáveis, respectivamente para o Primal e o Dual na forma simétrica. De tal forma que os valores das funções objetivo são iguais. Então tem-se que X* é solução ótima para o Primal e Y* é solução ótima para o Dual.  Teorema 3 (Dualidade forte): se os problemas Primal e Dual são viáveis então ambos tem soluções ótimas e os valores ótimos de suas funções objetivo são iguais.  Teorema 4 (Condições de Folgas Complementares - CFC): considere X* e Y, respectivamente soluções viáveis para os problemas Primal e Dual abaixo. então x e y* são soluções ótimas para seus problemas se e somente se (Y* A - C)X* + Y* (b - AX*) =

1. ( Primal ) Max Z = CX s.a: AX ≤ b, X ≥ 0. e ( Dual ) Min W = Yb s.a: YA ≤ C, Y ≥ 0.