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FEP2195-F´ısica Geral e Exp. para a Engenharia I - 3a^ Prova - 16/06/
- Considere o rotor de um helic´optero como sendo formado por trˆes p´as de comprimento L e massa M , unidas em suas extremidades (a largura e a espessura s˜ao desprez´ıveis em rela¸c˜ao a L). O eixo do rotor ´e perpendicular ao plano das p´as (vide figura). (a) [0.75] Calcule o momento de in´ercia de cada p´a em rela¸c˜ao ao eixo do rotor e o momento de in´ercia total do rotor.
(b) [0,75] Se M = 200 kg e L = 5 m, calcule o torque τ necess´ario para que a velocidade angular do rotor varie uniformemente de zero a 300 rpm em 5 segundos.
(c) [0,5] Qual a potˆencia m´edia transferida ao rotor nesse in- tervalo de tempo?
(d) [0,5] Considere que o momento de in´ercia da cabine do helic´optero em rela¸c˜ao ao eixo do rotor seja de Icab = 25000 kg m^2. Se n˜ao houvessem for¸cas externas atuando sobre o conjunto cabine+rotor, qual seria a velocidade angular da cabine ao final do intervalo de tempo do ´ıtem (b)?
eixo
L
Solu¸c˜ao:
(a) As p´as podem ser consideradas como sendo hastes delgadas de comprimento L em massa uniforme M. Para cada uma das p´as, o momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao eixo do rotor ser´a :
Ip =
corpo
r^2 eixodm =
∫ L
0
x^2 λdx =
M
L
L^3
M L^2
(densidade λ = M/L, considerando a posi¸c˜ao do eixo na coordenada x = 0). Solu¸c˜ao alternativa: Para cada uma das p´as, o momento de in´ercia pelo eixo perpendicular ao plano das p´as que passa pelo centro de massa ser´a:
Icm =
corpo
r^2 eixodm =
∫ L/ 2
−L/ 2
x^2 λdx =
M
L
(L/2)^3
(−L/2)^3
M L^2
(densidade λ = M/L, considerando a posi¸c˜ao do eixo na coordenada x = 0). Para obter I em rela¸c˜ao ao eixo do rotor, fazemos:
Ip = Icm + M
L
M L^2
O momento de in´ercia do rotor ser´a I = 3Ip = M L^2. (b) Para o rotor com acelera¸c˜ao angular α, temos τ = Iα, onde α = ∆ ∆ωt. Como ∆ω = 300 rpm, ou ∆ω = 300. 2 π/60 = 10π rad/s e ∆t = 5s, temos α = 2π rad/s^2. Logo:
τ = Iα = M.L^2. 2 π = 200. 25. 2 π = 10000π N.m ≈ 31400 N.m
(c) A varia¸c˜ao de energia cin´etica ser´a ∆Kc = 12 Iω^2 − 0 = 12. 5000 .(10π)^2 = 250000π^2 J ou 250π^2 kJ. A potˆencia m´edia transferida ser´a ent˜ao
Pm = ∆Kc ∆t
= 250000π^2 /5 = 50000π^2 W
ou Pm = 50π^2 kW.
(d) Se n˜ao houverem torques externos atuando sobre o sistema cabine+rotor, o momento angular ser´a conservado, logo Lrotor 0 + Lcab 0 = Lrotor f + Lcab f. No in´ıcio do movimento, os momentos angulares da cabine e do rotor s˜ao zero, logo :
Lcab f = −Lrotor f ⇒ Icabωcab = −Iω
Logo, ωcab = −Iω/Icab = − 5000. 10 π/25000 = − 2 π rad/s ou 1 revolu¸c˜ao por segundo no sentido contr´ario ao da rota¸c˜ao do rotor.
- Um disco s´olido uniforme ´e posto em rota¸c˜ao com velocidade angular ω 0 em torno de um eixo horizontal, perpendicular ao plano do disco, passando por seu centro de massa. Depois, a borda do disco ´e posta em contato com uma superf´ıcie horizontal, e o disco ´e solto, com seu eixo de rota¸c˜ao paralelo `a superf´ıcie, como na figura ao lado. Seja R o raio do disco, M sua massa e I = M R^2 /2 seu momento de in´ercia em torno do centro de massa, e seja μ o coeficiente de atrito cin´etico entre o disco e a superf´ıcie. Em termos de ω 0 , R, M , μ e da acelera¸c˜ao da gravidade g:
v 0 = 0
ω 0
(a) (1,0) Qual ´e o tempo necess´ario para que o disco deixe de derrapar? (b) (0,5) Qual ´e a velocidade angular do disco no momento em que ele deixa de derrapar? (c) (0,5) Qual ´e a distˆancia percorrida enquanto o disco est´a derrapando? (d) (0,5) Calcule a raz˜ao entre a energia cin´etica final e a energia cin´etica inicial do disco.
- Num experimento de momento angular mostrado na foto ao lado, um anel ´e colocado em contato com uma mesa girat´oria, de tal maneira que o eixo do anel coincida com o eixo de rota¸c˜ao da mesa (colis˜ao angular inel´astica). Antes do contato com o anel, a mesa girava com velocidade angular decrescente por causa do atrito com os rolamentos. Durante o experimento, a velocidade angular variou conforme ilustrado no gr´afico. Assuma que:
- o anel possui o mesmo momento de in´ercia I que o da mesa girat´oria em rela¸c˜ao `aquele eixo de rota¸c˜ao,
- a for¸ca de atrito entre os rolamentos e a mesa girat´oria ´e constante durante todo o movimento.
Expresse todas as suas respostas em fun¸c˜ao de I e dos dados do gr´afico.
(a) (0,5) Calcule o torque da for¸ca de atrito entre os rolamentos e a mesa girat´oria (b) (0,75) Calcule a energia cin´etica total do sistema anel-mesa logo antes da colis˜ao (t=1,9 s) e logo depois que o anel e a mesa come¸cam a girar com mesma velocidade angular (t=2,4 s). (c) (0,75) Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e os rolamentos durante o intervalo de tempo de 1,9 s a 2,4 s (d) (0,5) Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e o anel durante o intervalo de tempo de 1,9 s a 2,4 s
a) τat = − 40 I/s^2 b) Ki = 2, 42. 104 I/s^2 ; Kf = 10^4 I/s^2 c) WA = − 3200 I/s^2 d) W = − 1 , 1. 104 I/s^2
