Baixe Eletromagnetismo: Determinação de Campos Magnéticos e Energias em Circuitos Elétricos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
PTC-2313 - Eletromagnetismo 3a. Prova - 25/06/2009 Duração: 1:40 hs.
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será NOTAS:
punida com nota zero! 1a. (2,5)
2a. (2,5)
No. USP: Nome: 3 a. (2,5)
4a. (2,5)
Assinatura: TOTAL
1a. Questão (2,5) Um cabo coaxial balanceado é composto de três cilindros condutores. O primeiro é
maciço, com raio a = 1 cm, o segundo e o terceiro são ocos,
com espessuras desprezíveis e raios b = 2 cm e c = 3 cm,
como mostrado ao lado. O cilindro de raio b conduz uma
corrente I = 6,28 A no sentido z (saindo da página), e os
cilindros de raios a e c conduzem I / 2 = 3,14 A cada no
sentido de z negativo (entrando na página). Os pontos 1 a 3,
indicados, têm coordenadas em cm dadas por (0;0,5;0),
(0;1,5;0) e (0;2,5;0) respectivamente.
a. (0,5) Determine a densidade volumétrica de corrente no
cilindro maciço, Ja , e as densidades superficiais de corrente nos
cilindros ocos, J Sb
e J Sc
. Lembre-se que J a
e J Sc
são
negativas(entrando na página) e JSb é positiva (saindo da
página). Utilize valores numéricos com 3 dígitos significativos.
J
a
I / 2
a
2
2
=− 10000 A /m
2
J
Sb
I
2 b
= 50 A/m
J
Sc
I
2 b
=−16,7 A/ m
Ja = – 10000 ___A/m
2
JSb =_ 50 ___A/m JSc = –_33,3__A/m (direção z ).
b. (0,5) Calcule o valor do campo magnético H , nos pontos 1 a 3, explicitando direção e sentido.
∮
H ⋅
dl = ∬
S
J ⋅
dS
por simetria sendo uma circunferência de raio r :
H
2 r = ∬
S
J ⋅
dS
para r = r 1
: H
2 r 1
= J
a
r 1
2
⇒ H
= J
a
r 1
− I r 1
4 a
2
=− 25 A/m⇒
H
1
= 25 u x
para r = r 2
: H
2 r 2
=− I / 2 ⇒ H
− I
4 r 2
=−33,3 A/m⇒
H
2
=33,3 u x
para r = r 3
: H
2 r 3
= I − I / 2 ⇒ H
I
4 r 3
=20,0 A/m ⇒
H
3
=−20,0 u x
H 1 = __ 25 _____ û _ x _A/m H 2 = 33,3 û _ x _A/m H 3 = __–20,0_____ û _ x _A/m
x
y
a
b
c
3
2
1
a = 1 cm
b = 2 cm
c = 3 cm
c. (1,0) Calcule o valor da energia armazenada nesse cabo, por metro de comprimento, nas regiões
1 ( r < a), 2 ( a < r < b ) e 3 ( b < r < c ).
W
1
∭
1
0
H
2
d =
0
∫
0
a
I r
4 a
2
2
2 r dr × 1 m=
0
I
2
16 a
4
∫
0
a
r
3
dr =
0
I
2
=2,46× 10
− 7
J/m
W
2
∭
2
0
H
2
d =
0
∫
a
b
I
4 r
2
2 r dr × 1 m=
0
I
2
∫
a
b
r
dr =
0
I
2
ln
b
a
=6,83× 10
− 7
J/m
W
3
∭
3
0
H
2
d =
0
∫
b
c
I
4 r
2
2 r dr × 1 m=
0
I
2
∫
b
c
r
dr =
0
I
2
ln
c
b
=4,00× 10
− 7
J/m
W 1 = _2,46 10
- _J/m W 2 = _6,83 10 - _J/m W 3 = _4,00 10 - _J/m
d. (0,5) Determine o valor da indutância desse cabo por metro de comprimento.
W =
L I
2
⇒ L =
2 W
I
2
2 W
1
W
2
W
3
I
2
2 ×2,466,834,00× 10
− 7
2
=6,74× 10
− 8
L = _67,4______n H/m
c. (0,5) Sabendo-se que ao se deslocar a espira para a direita de 1 mm a indutância mútua varia de
0,29 nH, em módulo, estime o valor da força resultante que age sobre essa espira, explicitando o seu
sentido, para I 1 = 3 A e I 2 = 5A.
F
x
∂ W
m
∂ x
I =cte.
L
1
I
1
2
L
2
I
2
2
M I 1
I
2
∂ x
I =cte.
I
1
2
∂ L
1
∂ x
I
2
2
∂ L
2
∂ x
I
1
I
2
∂ M
∂ x
= I
1
I
2
∂ M
∂ x
≃ I
1
I
2
W
m
x
= 3 × 5 ×
−0,29× 10
− 9
=−4,35× 10
− 6
N
F = –4,35μ û _ x _ N (para a esquerda)
d.(0,5) Lembrando que d
F = I d
B , utilize o resultado do item (a) para determinar as componentes
da força que agem nos ramos da espira paralelos ao fio , para I 1 = 3 A e I 2 = 5A, com 2 cm de distância
entre a espira e o fio.
d
F = I d
B ⇒ F
x
x = 2 cm=−∫
0
0,
I
2
B
y
dz =− I 2
0
23,9×0,05=−7,51× 10
− 6
N
d
F = I d
B ⇒ F
x
x = 5 cm= (^) ∫
0
0,
I
2
B
y
dz = I 2
0
9,55×0,05=3,00× 10
− 6
N
F ( x = 2 cm) = –7,51μ____ û _ x _ N F ( x = 2 cm) = +3,00μ____ û _ x _ N
3a. Questão (2,5) O circuito magnético da figura abaixo é simétrico, com 3 entreferros de espessura
e = 1,5 mm, e é construído com material suposto linear, com permeabilidade μ = 6 10
H/m. A largura
do núcleo em todos os trechos é 1,0 cm, com exceção da perna central, onde é 2,0 cm, e a espessura é
igual a 2,0 cm. Três bobinas são enroladas, como mostra a figura, com N 1 = 300 espiras, N 2 = 200 espiras
e N 3 = 400 espiras. Todas as medidas na figura estão em cm.
e
N
2 N
1
i
1
i
2
N
3
i
3
e e
N
N
N
e = 1,5 mm
a.(1,0) Supondo aplicada uma corrente i 1 e sendo i 2 = i 3 = 0 , calcule i 1 para impor B = 0,6 T no
entreferro central (para cima), a dispersão e o espraiamento devem ser desprezados. Dica: utilize a
simetria e lembre-se de incluir 2 entreferros na circuitação de H.
Desprezando-se a dispersão, o fluxo na perna 1 se divide igualmente entre as pernas 2 e 3. Como as
áreas das pernas 2 e 3 são iguais à metade da área da perna 1, temos que B 1 = B 2 = B 3 nessa situação.
Temos então que, ao se integrar o campo H na metade direita do circuito:
∮
H ⋅
dl = N 1
I
1
N
3
I
3
= N
1
I
1
⇒ H
f
l f
H
e
e H e
e = N 1
I
1
N
1
I
1
6 × 10
− 4
×0,36
0
× 0,00150,0015= 360 1432 = 1792 A
I
1
= 6 A
i 1 = ____6,0___ A
b.(0,5) Nas mesmas condições do item anterior, calcule a energia armazenada no núcleo e nos 3
entreferros. Dica: o volume do núcleo é igual a 142,8 cm
3 =142,8 10
3 e o volume total dos
entreferros é igual a 1,2 cm
3 .
W
núcleo
=∭
núcleo
B
2
d =
2
2 × 6 × 10
− 4
×142,8× 10
− 6
=0,0428 J
W
entreferros
= (^) ∭
entreferros
B
2
0
d =
2
2 × 4 × 10
− 7
×1,2× 10
− 6
=0,172 J
W núcleo =0,0428_ J Wentreferro = _0,172 J
4a. Questão (2,5) Considere o núcleo toroidal construído com material do qual um ciclo de histerese está
indicado abaixo. O comprimento médio do núcleo é ( 2 π R ) = 20 cm e a área de sua seção é igual a 1,
cm
2
.
R i ( t )
N =
H (A/m)
B (T)
a. (0,5) Calcule a energia fornecida ao sistema para fazer o núcleo passar do ponto
( B ; H ) = (0 ; 880) ao ponto ( B ; H ) = (1,1 ; 0). Explicite o sinal!
W
fornecida
=volume do toróide ×∫
0
1,
H dB =0,2×1,3× 10
− 4
∫
0
1,
H dB ∫
1,
1,
H dB
=2,6× 10
− 5
880 2000 ×1,
2000 ×1,4−1,1
=2,6× 10
− 5
2016 − 300 =0,0446 J
Wf = _44,6 m J
b. (0,5) Qual o valor da corrente no enrolamento correspondente ao ponto ( B ; H )= (1,4 ; 2000).
N i = ∮
núcleo
H ⋅
dl = 2000 ×0,2= 400 A ⇒ i =0,8 A
i = 0,8 A
c. (0,5) Determine a potência consumida por histerese quando o núcleo é excitado por uma
corrente triangular de amplitude 1,0 A na frequência de 50 Hz, com mostrada no gráfico
abaixo.
t (ms)
0 10 20
i (A)
1
P
h
= A
h
×volume× f = 4400 ×0,2×1,3× 10
− 4
× 50 =5,72 W
Ph = 5,72 W
d. (1,0) Partindo-se do ponto ( B ; H ) = (1,4 ; 2000) a corrente foi levada a zero e, em seguida, foi
aberto um entreferro no núcleo, resultando numa indução B =0,4 T. Determine a espessura
desse entreferro.
B =0,4 T ⇒ H =− 560 A/m
N i = H f
l f
H
e
e
0 =− 560 ×0,2
0
× e ⇒ e =
560 ×0,2×
0
=3,52× 10
− 4
m
e = 0,35_ mm
