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relatorio sobre pendulo forçado da ufba
Tipologia: Provas
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**Professor(a):____________________________________________ Alunos:__________________________________________________
______________________________________________________**
Salvador 2013
Introdução___________________________________________________________________ Objetivo_____________________________________________________________________ Materiais____________________________________________________________________ Procedimento Experimental_____________________________________________________ Resultados e Discussões________________________________________________________ Conclusão___________________________________________________________________ Anexos_____________________________________________________________________
amplitudes das oscilações forçadas dependem da frequência angular natural dos sistemas ω (^) o, da intensidade da Fo e da frequência ω da força externa periódica.. A expressão que equaciona o oscilador harmônico amortecido forçado é dada:
onde: ω é a frequência externa, A é a amplitude que depende de ω; φ é a constante de fase ou ângulo de fase que depende de ω. Quando um sistema oscilatório recebe energia por meio de excitações de frequência igual a uma de suas frequências naturais de vibração acontece um fenômeno chamado de ressonância. Assim, o sistema oscilatório passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores. Curva de ressonância é a curva que relaciona a amplitude com a frequência da força externa na oscilação forçada. A curva e a absorção de energia é máxima quando o sistema é excitado com frequência próxima a sua frequência natural do sistema oscilador. A expressão que nos dá amplitude em função da frequência A(ω) é: é constante de amortecimento, m é a massa, e Fo é a força externa, ωo é a frequência natural e, ω é a frequência da força externa.
Determinar a curva de ressonância de um oscilador forçado e determinar o fator de amortecimento.
Para a realização do experimento estava à disposição um oscilador. O fio de nylon, preso ao alto-falante ficou cerca de 2 à 3 cm afastado da garra de forma que a transmissão de energia fosse considerável. De início colocou-se toda a extensão do raio de bicicleta, seu valor de comprimento, da garra à extremidade, foi medido e registrado em tabela. Devido à base do oscilador estar solta houve a necessidade de aplicação de uma força contrária à força normal exercida pela mesa de modo que o oscilador não trepidasse durante a oscilação. O gerador de áudio foi ligado e a frequência foi sendo ajustada de acordo com os parâmetros pré-estabelecidos e a amplitude que desejava-se encontrar. O valor de amplitude e frequência associada foram registrados a fim de observações futuras. Em seguida o ponto de fixação do raio na garra foi deslocado de forma que o comprimento do raio livre para a oscilação fosse reduzido cerca de 4, cm e posto para oscilar, os mesmos registros e considerações feitos anteriormente foram feitos para tal raio. O raio foi reduzido por mais duas vezes utilizando procedimentos semelhantes.
Ao construir as tabelas que relaciona os valores da amplitude (A) com as frequências angulares (ω), que foram obtidas segundo cálculos registrados o anexo 5.1, podemos descobrir os valores de cada semi-largura de pico (γ) para os diferentes comprimentos (L) – segue calculo das semi-larguras no anexo 5.3, podendo assim registrar a seguinte tabela:
L = Comprimento (cm) 30,00 26,00 22,00 18, γ = Semi-largura de pico (rad/s) 1,288 1,684 3,211 6, Tabela 1: Relação de comprimento e semi-largura de pico Para o fator de qualidade(Q), seguimos a relação de Q=ϖ/γ, sendo ϖ a frequência de ressonância, relacionando assim com os comprimentos (L) com o fator de qualidade (Q) encontrado através dos cálculos em anexo 5.3, temos a tabela 2:
L = Comprimento (cm) 30,00 26,00 22,00 18,
Tabela 2: Relação de comprimento e fator de qualidade Percebemos assim que quanto menor a semi-largura de pico, maior é o fator de qualidade. Demonstrando assim um sistema com pouco atrito para maiores qualidades. Com o traço dos pontos da frequência de ressonância em função do comprimento do raio de bicicleta num gráfico Log-Log temos uma reta. De forma a investigar a dependência de frequência de vibração da haste delgada e seu comprimento, utilizamos o método dos mínimos e quadrados como vemos no anexo 5.4. Tendo assim a = -2,03552 & b = 0,98670. Como: Log ϖ = a. Log L + b Log ϖ = a. Log L + Log 10b
Log ϖ = Log L a^ .10b
ϖ = 10 b.La
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De acordo com o que foi proposto, os objetivos foram alcançados. Pode-se compreender com os procedimentos experimentais que a frequência natural de oscilação varia de acordo com o comprimento da haste. Percebemos também que com estudos gráficos vemos um ponto de amplitude máxima na medida em que aumentamos a frequência, e que após esse ponto a amplitude volta a decair. Com ajuda do orientador conseguimos ainda aprender sobre operações básicas em torno de um frequencímetro e um gerador de áudio frequência
Sendo f= ω/2π, isolando ω temos a seguinte relação ω=f2π, gerando assim a tabela relacionando A e ω: f(Hz) 45,716 47,519 48,785 48,967 49,327 50,931 51,402 51,942 54, A(cm) 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 1,60 1,20 0,80 0, ω(rad/s) 287,242 298,571 306,525 307,669 313,701 320,009 322,968 326,361 343, Tabela 6: f versus A versus ω para L=18,00cm
5.2 – Calculo de γ (semi largura de pico) para determinados comprimentos de raios de bicicleta, utilizando como ferramenta calculadora CASIO ƒx-82MS. a. (^) Calculo de γ em L=30,00 cm: Sendo ϖ a frequência angular na amplitude máxima e ώ a frequência angular medida anteriormente a frequência angular na amplitude máxima, temos que γ = ϖ – ώ, sendo: ώ=108,592; ϖ=109,880 γ = 109,880 – 108,592 γ = 1,288 rad/s b. Calculo de γ em L=26,00 cm: Sendo ϖ a frequência angular na amplitude máxima e ώ a frequência angular medida anteriormente a frequência angular na amplitude máxima, temos que γ = ϖ – ώ, sendo: ώ=152,801; ϖ=154,485 γ = 154,485 – 152,801 γ = 1,684 rad/s c. Calculo de γ em L=22,00 cm: Sendo ϖ a frequência angular na amplitude máxima e ώ a frequência angular medida anteriormente a frequência angular na amplitude máxima, temos que γ = ϖ – ώ, sendo: ώ=210,625; ϖ=213,836 γ = 213,836 – 210,625 γ = 3,211 rad/s d. Calculo de γ em L=18,00 cm: Sendo ϖ a frequência angular na amplitude máxima e ώ a frequência angular medida anteriormente a frequência angular na amplitude máxima, temos que γ = ϖ – ώ, sendo: ώ=307,669; ϖ=313,701 γ = 313,701 – 307,669 γ = 6,032 rad/s
5.3 – Para o calculo de Q, utilizamos a relação:
Utilizando o Microsoft Excel 2007, obtemos os seguintes valores: a. (^) Para L = 30,00 cm, γ = 1,288 rad/s & ϖ = 109,880 rad/s: Q = ϖ = 109,880 = 85, γ 1, b. Para L = 26,00 cm, γ = 1,684 rad/s & ϖ = 154,485 rad/s: Q = ϖ = 154,485 = 91, γ 1, c. Para L = 30,00 cm, γ = 3,211 rad/s & ϖ = 213,836 rad/s: Q = ϖ = 213,836 = 66, γ 3, d. Para L = 30,00 cm, γ = 6,032 rad/s & ϖ = 313,701 rad/s: Q = ϖ = 313,701 = 52, γ 6,
30,00cm0,30m 26,00cm0,26m 22,00cm0,22m 18,00cm0,18m
Para utilização do método dos mínimos quadrados, temos que gerir uma tabela dos logs do comprimento (L) e da frequência (ϖ), utilizando como ferramenta a calculadora CASIO ƒx-82MS. Comprimento – metro (L) 0,30 0,26 0,22 0, Frequencia – Rad/s (ϖ) 109,880^ 154,485 213,836 313, Log (L) -0,52288 -0,58503 -0,65758 -0, Log (ϖ) 2,04092 2,18889 2,33008 2, Tabela 7: Relação dos logs de ϖ e L Para o método dos mínimos quadrados temos as seguintes equações para a e b: a = (∑ x)( ∑ y) - n(∑xy) (∑ x)^2 - n(∑x^2 ) b = (∑xy)( ∑x) - (∑x^2 )( ∑y) (∑x)^2 - n (∑x^2 ) Sendo:
∑x = ∑L ∑xy = ∑Lϖ ∑y = ∑ϖ
(∑x)^2 = (∑L)² ∑x^2 = ∑L²
n = 4
Dessa forma, com ajuda da calculadora HP30S, temos, já substituindo, nas equações que definem a e b:
a= -2,51022. 9,05640 – 4. -5, (-2,51022)^2 – 4. 1, b= -5,73916. (-2,51022) - 1,60270. 9, (-2,51022)^2 – 4. 1,
a=-2,03552 & b=0, 5.5 – Questionário 1º - Como a frequência de ressonância obtida através das medidas realizadas se relaciona com a frequência própria da haste? Qual a maior dificuldade para medir a frequência natural pela observação direta da haste oscilando livremente? R: A ressonância é um efeito que ocorre quando uma fonte externa emite um som de frequência igual a frequência de vibração natural de um receptor. As frequências de ressonância se relacionam com a frequência própria da haste de forma quanto mais similar for maior será sua amplitude determinando assim uma maior energia. A maior dificuldade seria com relação da descoberta de sua amplitude, que se relaciona com sua frequência natural, pois a vibração torna-se imperceptível. 2º - Se a frequência da força externa aplicada na haste tendesse a infinito qual seria o comportamento da amplitude de oscilação da haste? E se a frequência fosse zero, o que aconteceria com a haste? R: De acordo com a equação A(ω) = Fo/2mϖ, temos que uma frequência da força tendendo ao infinito ocasionaria numa amplitude tendendo a 0. Com uma frequência de força igual a 0, não haveria oscilação, pois não tem como a frequência da força externa ser igual a frequência natural da haste, visto que ela será zero (a frequência da força externa). 3º - As condições iniciais interferem em nossas medidas? Por quê? R: Não. Afinal a frequência da força externa depende apenas da força (Fo), as demais presenças se resumem a constantes (m,ϖ e γ). 4º - Esboce a curva de ressonância para um sistema que possui o fator de qualidade Q infinito. R: Vide gráfico 5.
