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Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física Geral FIS 122 – Física Geral e Experimental II-E/Laboratório Turma – T-09 P- Data 02/09/ Alunos – Edson José de Santana Jailma Santos de Souza Profº - Ariston
Pêndulo Físico e Pêndulos Simples Acoplados
Introdução As oscilações são de grande relevância para a Física, pois seu estudo auxilia no entendimento de situações reais e que não estão sujeitas às condições quase ideais dos modelos matemáticos. Neste experimento serão montados sistemas oscilantes que representa o pêndulo físico e o pêndulo simples acoplado (este último será somente demonstrado), desta maneira poderemos fazer estudos significativos dos conceitos vistos em aulas teóricas sobre este tipo de sistema. Em adição utilizaremos o conceito de momento de inércia, que depende da massa e do raio do eixo de rotação escolhido, para analisar estes movimentos. Os objetivos deste experimento são:
- executar medidas de freqüências de um pêndulo físico de modo a relaciona-la com a geometria e distribuição de massa que o caracteriza;
- observar movimentos complexos que aparecem quando consideramos um sistema de pêndulos acoplados. Material Utilizado Haste de acrílico com furos Raio de roda de bicicleta Cronômetro Bases e garras de sustentação.
Procedimento Experimental Foi utilizada uma haste de acrílico como pêndulo físico de massa m e comprimento L e um raio da roda de uma bicicleta presa por uma garra como eixo de oscilação. A haste foi deslocada de sua posição de equilíbrio e sendo feitas medidas de tempo para no mínimo 10 oscilações. Realizando medições para valores de períodos utilizando todos os furos existentes na haste. Foi medido também à distância do furo que contém o eixo de oscilação até o centro da haste. Tratamento dos Dados Tabela de dados – Pêndulo físico T(seg) 1,0 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9 1,0 1,1 1,3 1,5 1, s(cm) 19,0 17,0 15,0 13,0 11,0 9,0 7,0 5,0 3,0 2,0 1, Através do gráfico de T x s, que está em anexo, é possível verificar que s cresce quando s 0 e s L/2. Observa-se que a equação de relação entre T e s, para os 4 menores valores de s, se comporta como uma função potência do tipo Y = KXm, onde m< 0. Feito o gráfico de T x s em papel log-log (em anexo) para os quatro menores valores de s, este se comporta como uma reta. Pelo teorema dos mínimos quadrados: T = Ksm log T = log K + m log s, onde log T = y, log K = b, log s = x e m = a. Calculando temos: s(m) T (seg) log s log T log s x log T (log s)^2 0,050 1,1 -1,301 0,04 - 0,052 1, 0,030 1,3 -1,523 0,11 - 0,167 2, 0,020 1,5 - 1,699 0,18 - 0,306 2, 0,010 1,9 - 2,000 0,28 - 0,560 4, Σ = 0,110 Σ = 5,8 Σ = -6,523 Σ = 0,61 Σ = - 1,085 Σ = 10, a = [Σ xΣ xi] [Σ xΣ yi] – n [Σ xΣ xi yi] [Σ xΣ xi]^2 – n [Σ xΣ xi^2 ] a = - 0, b = [Σ xΣ^ xi yi] [Σ xΣ^ xi] –[Σ xΣ^ xi (^2) ] [Σ xΣ y i] [Σ xΣ xi]^2 – n [Σ xΣ xi^2 ] b = - 0, logo y = b + ax
b = [Σ xΣ^ xi yi] [Σ xΣ^ xi] –[Σ xΣ^ xi (^2) ] [Σ xΣ y i] [Σ xΣ xi]^2 – n [Σ xΣ xi^2 ] b = 0, logo: y = 0,04 + 3,06 s^2 T^2 = 0,04 + 3,06 s^2 4Π Sabemos que o período do pêndulo físico é calculado por: T = 2Π √ I/mgs T^2 = I 4 Π^2 mgs T^2 s = I = 0,04 + 3,06 s^2 4 Π^2 mg mg (0,04 + 3,06 s^2 ) = I , onde m = 0,0381 kg e g = 9,78 m/s^2 I = {(0,0381) (9,78) (0,04 + 3,06 s^2 )} I = {0,0150 + 1,1402 s^2 } Aplicando-se o teorema dos eixos paralelos ao pêndulo físico para qualquer eixo tem-se: I = Icm + ms^2. mL^2 + ms^2 = mg (0,04 + 3,06 s^2 ) 12 (40,0)^2 + s^2 não é = 9,78 (0,04 + 3,06 s^2 ) 12 (133,3 + s^2 ) é diferente de (0,39 + 29,93 s^2 ), logo não satisfaz o teorema dos eixos paralelos, que poder ser justificado por erros cometidos nas medidas realizadas no laboratório.
Utilizando a equação 4, que consta no roteiro ( K = √ I/m) pode-se obter o raio de giração K em função de s: K= √ m g (0,0150 + 1,1402) s^2 m K= √ g (0,0150 + 1,1402 ) s^2 , para g = 978,3 cm/s^2 K= √ 978,3 (0,0150 + 1,1402) s^2 K= √ 0,1467 + 11,1546 s^2 Tabela de ajuste de dados T^2 s/4Π^2 0,0704 0,0484 0,0380 0,0117 -0,0030 -0,00152 -0,0250 -0,0323 -0,0372 -0,0388 -0, S^2 (cm^2 ) 0,0361 0,0289 0,0255 0,0169 0,0121 0,0081 0,0049 0,0025 0,0009 0,0004 0, Conclusões Depois do tratamento dos dados, temos em mãos as expressões que relacionam as características dos sistemas oscilantes, que no caso do pêndulo físico a força restauradora é a gravidade. Encontramos o período em função do deslocamento do sistema oscilante através do método dos mínimos quadrados e tornaram-se claros a trajetória e o comportamento do movimento destes sistemas postos a oscilar em torno de um eixo fixo.
Exercícios
1º questão – Qual o enunciado do teorema dos eixos paralelos para o cálculo de momento de inércia? Como ele se aplica ao pêndulo físico? O momento de inércia de um corpo em torno de um eixo qualquer pode ser expresso pela soma do momento de inércia em torno de um eixo paralelo ao original, passando pelo centro de massa, e de um termo que é produto da massa total do corpo pelo quadrado da distância entre os dois eixos. Aplicando-se ao pêndulo físico para qualquer eixo : I = Icm + ms^2. No nosso caso usamos uma régua, variamos o seu eixo, onde esta oscila. Assim, podemos estabelecer o momento de inércia. I = Icm + ms^2 I = mL^2 + ms^2 12 2º questão - Verifique se os valores de L, k e s satisfazem a relação k =√ Ls. Como mostrado no roteiro L = I/ms e k = √ I/m , onde I = mL^2 + ms^2
- De forma análoga ao descrito no item acima, acontece à transferência de energia mecânica do pêndulo 1 para o pêndulo 2, sendo que os movimentos agora são circulares e foi observada a diferença de fases entre os pêndulos. c) fez os dois pêndulos iniciarem o movimento simultaneamente, em direções perpendiculares.
- Neste caso, a transferência de energia mecânica de um pêndulo para o outro proporciona a soma de movimentos que tem como resultante o movimento circular.
Questões extras
a) No experimento de pêndulos acoplados, pense em uma outra maneira de acoplar os pêndulos que não seja através de fios e massas pequenas. Discuta fisicamente a qualidade do experimento. Outra forma acoplar dois pêndulos seria através de uma mola que tenha uma constante elástica pequena (acoplamento fraco). Se deslocarmos um pêndulo da sua posição de repouso, toda a energia restauradora será transferida para este pêndulo, que irá oscilar com uma amplitude sempre decrescente, enquanto o outro pêndulo inicia o movimento. Depois de um tempo haverá um momento em que somente o segundo pêndulo mencionado oscilará; o outro ficará parado na posição central. Depois, o processo começa novamente com as funções invertidas, e assim por diante. b) Se houvesse variação de temperatura maior que 500° C no experimento, quais fatores novos poderiam ser incrementados na sua análise. Quando variamos o ambiente térmico de um corpo ou sistema ele sofre alterações em suas propriedades físicas, assim à medida que a temperatura aumenta acontece uma expansão térmica. Então temos que considerar todas as variações nas propriedades físicas que se modificaram com o aumento na temperatura, como dilatação no comprimento do fio, que modificará as medidas de valores para o período no sistema oscilador. c) Como seria a transferência de energia para três pêndulos acoplados entre si, bem como, como se comportaria o movimento. 1 2 3 A transferência de energia ocorre de maneira análoga ao sistema com dois pêndulos, sendo que o pêndulo 1 transfere energia mecânica para o pêndulo 2 e fica em repouso, o 2 transfere energia mecânica para o pêndulo 3 ficando na posição central. Quando o pêndulo 3 alcança amplitude máxima este começa a restituir a energia mecânica ao pêndulo 2
voltando ao repouso, o pêndulo 2 retorna a energia mecânica ao pêndulo 1, recomeçando o ciclo. Em um sistema ideal esta transferência de energia continuaria indefinidamente. d) Qual seria o período para um pêndulo que tivesse metade do comprimento do pêndulo simples e se a massa do pêndulo pequeno fosse três vezes maior que a massa do pêndulo grande? L L/ 3m m Para massa m e comprimento L o período é igual a: T = 2π √m/K , onde K = mg/L, então para um pêndulo de massa = 3m e comprimento = L/2, teremos: T = 2π √ m = 3mg/L/ T = 2π √ L /6g
