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RELATÓRIO FÍSICA II
Tipologia: Provas
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Professor: Tarcísio Bobbio
Vitória 2010
Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob à ação da gravidade; o movimento é periódico e oscilatório, sendo assim podemos determinar o período do movimento.
Na figura ao lado temos: L = comprimento do fio. θ = ângulo formado entre a posição de equilíbrio e o ponto de máxima extensão, medido em radianos. T = força tração no fio. P = força peso = m.g 𝑷𝒙 = força restauradora. m = massa pendular.
A componente, 𝑷𝒙 ·, é a força restauradora do movimento oscilatório do pêndulo e sua intensidade é dada por:
Px≅ P senθ = mg senθ [1]
A figura acima exemplifica um pêndulo de comprimento L, sendo m a massa da partícula. No instante mostrado, o fio faz um ângulo q com a vertical. As forças que atuam em m são o peso m.g e a tração da corda T. O movimento será em torno de um arco de círculo de raio L; por isto, escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro tangente ao círculo. O peso m.g pode ser decomposto numa componente radial de módulo m.g.cosθ e numa componente tangencial
Figura 1 – Esquema de forças e relações em pêndulo simples.
m.g.senθ. A componente radial da resultante é a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular. A componente tangencial é a força restauradora onde o sinal negativo indica que F se opõe ao aumento de θ.
Note que a força restauradora não é proporcional ao deslocamento angular θ e sim a senθ. O movimento, portanto, não é harmônico simples. Entretanto, se o ângulo θ for suficientemente pequeno, senθ será aproximadamente igual a θ em radianos, com diferença por volta de 0,1% e o deslocamento ao longo do arco será x = L.θ e, para ângulos pequenos, ele será aproximadamente retilíneo. Por isto, supondo senθ » θ,
Obteremos:
F = − m. g. θ = − m. g. x/L = − (m. g/L). x [2]
Para pequenos deslocamentos, a força restauradora é proporcional ao deslocamento e tem o sentido oposto. Esta é exatamente a condição para se ter movimento harmônico simples e, de fato, a equação (2) acima tem a mesma forma que a equação, F = - k. x, com m.g/L representando a constante k. Para pequenas amplitudes, o período T (tempo de um ciclo) de um pêndulo pode ser obtido fazendo-se k = m. g /L
T = 2π (m / k)= 2π (^) m .gm L T = 2π Lg [3]
O Pêndulo Simples, através da equação acima, também fornece um método para medições do valor de g, a aceleração da gravidade. Podemos determinar L e T, usando equipamentos de um laboratório de ensino, obtendo precisão melhor do que 0,1%.
g = 4π^2 L / T^2 [4]
Note que o período T, é independente da massa m, da partícula suspensa.
Para o cálculo da aceleração da gravidade, conforme equação [4], necessitou-se apenas das variáveis: comprimento do fio (L) e período (T) das oscilações do pêndulo, onde L é expresso em centímetros e T em segundos.
4.1.1 CALCULO DO COMPRIMENTO (L) E SEU DESVIO (δL)
A média do comprimento L foi calculada através da equação (5):
Lmédio= (^) nL n [5]
Lmédio= 44,0+44,2+44,2+44,2+44,3+44,4 6 =44,2 cm
Para o cálculo dos desvios de L 1 a L 6 usou-se a equação (6), obtendo-se o desvio de cada medida:
δLn= Ln-Lm [6] δL 1 = L 1 -Lm δL 2 = L 2 -Lm Resultados dispostos na tabela 1
δL 6 = L 6 -Lm
O cálculo do desvio de L é a média dos desvios L 1 a L 6 , que se obtém através da equação (7):
δL= δ nL n [7]
4.1.2 CÁLCULO DO PERÍODO (T) E SEU DESVIO (δT)
À média das duas medições realizadas por cada integrante do grupo, em 10 oscilações do pêndulo, foi aplicada a seguinte fórmula:
T = Tempo de 10 oscilações 10
Consegue-se dessa forma o valor médio de 10 períodos. Isso diminui o erro que incidiria no caso de uma única medição. Para achar os desvios de T 1 a T 6 usa-se a equação (9), obtendo-se o desvio de cada medida:
δTn= Tn-Tm [9] δT 1 = T 1 -Tm δT 2 = T 2 -Tm Resultado disposto na tabela 1. ⋮ δT 6 = T 6 -Tm
Os resultados obtidos estão dispostos na coluna T(s) da tabela 1, dos quais a média foi obtida através da equação (10):
Tmédio= (^) nT n [10]
Tmédio= 1,18+1,20+1,20+1,32+1,33+1,33 6 =1,26 s
Para o cálculo da incerteza de T usou-se a equação [11], obtendo-se o valor médio dos desvios:
δT= δ nT n [11]
δT= 0,06+0,06+0,06+0,07+0,07+0,08 6 =0,067s
δg = 10,9799∙0, δg = 0,60619≈0,6 m s^2
Obtém-se dessa forma o seguinte valor e variação para a gravidade experimental:
g = 10,9±0,6 m s^2
Pode-se calcular também o erro percentual, utilizando-se da equação [13], dessa forma obtém-se um erro expresso em partes por 100:
E%= g gEE+g-gTT 2
gE = gravidade experimental gT = gravidade teórica E% = 10,98-9,81 10,98+9, 2
Obteve-se dessa forma o seguinte valor e variação para a gravidade experimental, com o erro expresso em percentual:
g = 10,98 m s^2 ± 11,25%
Observou-se que a gravidade atua em todo o sistema, porém, a massa do corpo metálico é muito superior que a do fio, recaindo sobre ela toda a aceleração da gravidade.
O ato de erguer o corpo metálico equivale a fornecer energia potencial ao mesmo, que ao ser abandonado transforma essa energia em energia cinética ou movimento.
Nos pontos mais altos do movimento pendular a energia cinética é mínima, ao contrário de quando o ângulo do pêndulo é perpendicular ao solo (90º), onde a energia cinética é máxima. Isso demonstra que energia cinética e energia potencial gravitacional são inversamente proporcionais.
Tal fato leva a previsão de que um sistema de pêndulo onde não atuasse qualquer outra força, além da gravidade, como por exemplo, a resistência do ar, conservaria seu movimento permanentemente. Isso demonstra que no experimento realisado a resistência do ar, além de outros fatores, afetaram o movimento pendular, influenciando, mesmo que minimamente, a sua frequência.
Como o movimento pendular teoricamente tem uma frequência constante, a variação da massa do corpo não altera essa frequência, porém, quando o comprimento do fio foi diminuído a oscilação foi acelerada, demonstrando que a frequência aumenta com a diminuição do comprimento.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 2 - Mecânica.4. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Instituto de Física USP. Licenciatura em Ciências Exatas. Disponível em acesso em: 02/04/
