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UFU – Universidade Federal de Uberlândia LVA – Laboratório de Vibrações e Acústica
UFU – UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FEMEC – FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
LVA – Laboratório de Vibrações e Acústica
Curso de Planejamento Experimental
Outubro/
Autores :
Marcus Antonio Viana Duarte Tatiana Meola
UFU - Universidade Federal de Uberlândia FEMEC - Faculdade de Engenharia Mecânica Av. João Naves de Ávila, 2121- Bloco 1M Campus Santa Mônica CEP 38.400-902 Uberlândia - MG
Telefone: (34) 3239 – 4147 ramal: 234
SUMÁRIO
- Planejamento Experimental
- 1.1. Introdução
- 1.1.1. Técnicas Para Definição da Seqüência de Ensaios
- 1.1.2. Etapas do Planejamento Experimental e Análise de Resultados
- 1.2. Conceitos Básicos de Estatística
- 1.2.1. Experimentos Aleatórios
- 1.2.2. Espaço Amostral e Eventos
- 1.2.3. Freqüência Relativa
- 1.2.4. Probabilidade
- 1.2.5. Variáveis Aleatórias
- 1.2.6. Medidas de Tendência Central
- 1.2.7. Medidas de Dispersão
- 1.2.8. Momentos, Assimetria e Curtose.
- 1.2.9. Desigualdade de Chebyshev
- 1.2.10. Teorema do Limite Central
- 1.2.11. Distribuições Características de Amostragens
- Distribuição Normal
- Distribuição Chi-quadrado χ^2
- Distribuição t de Student
- Distribuição F de Snedcor
- 1.2.12. Estimadores
- Propriedades dos Estimadores
- 1.2.13. Intervalos de confiança.
- Intervalo de Confiança para a Média μ
- Variância conhecida
- Variância Desconhecida
- Diferença entre duas médias (μa - μb ).
- Variâncias Conhecidas
- Variâncias Desconhecidas
- Intervalo de Confiança para Proporção
- Intervalo de confiança para a diferença entre proporções
- Intervalo de confiança para a variância ( σ^2 )
- 1.3. Testes de Hipóteses
- 1.3.1. Tipos de Erros
- 1.3.2. Procedimento geral de teste
- 1.3.3. Teste para uma média
- 1.3.4. Teste para uma proporção
- 1.3.5. Decisões e poder
- 1.4. Comparação entre dois tratamentos
- 1.4.1. Diferença entre médias de dois grupos
- Erro padrão - assumindo desvios padrões iguais
- I.C. para a diferença entre médias assumindo desvios padrão iguais
- Teste para a diferença das médias
- I.C. para diferença de médias - desvios padrão diferentes
- 1.4.2. Comparando proporções
- Intervalo de confiança para a diferença em proporções
- Teste para a diferença de duas proporções
- Comparações entre Mais de dois Tratamentos
- 2.1. Introdução
- 2.1.1. Objetivo
- 2.1.2. Pressupostos
- 2.1.3. Hipóteses
- 2.1.4 Notação
- 2.1.5 Modelo
- 2.1.6. Estatística do Teste
- 2.1.7. Análise
- 2.1.8. Tabela de ANOVA
- 2.2. Teste de Normalidade
- 2.2.1 - Teste de Kolmogorov-Smirnov
- 2.2.2 Teste de Shapiro-Wilk
- 2.2.3 - Teste D’Agostino-Pearson
- 2.3. Teste de Homocedasticidade
- 2.3.1. Teste de Hartley
- 2.3.2. Teste de Cochran
- 2.3.3. Teste de Bartlett
- 2.4. Teste de Kruskal-Wallis
- 2.4.1 Pressupostos
- 2.4.2 Limitações
- 2.4.3 O Teste
- Blocos Aleatorizados e Planejamentos Fatoriais com Duas Classificações
- 3.1. Testes de Hipótese de Dados Emparelhados
- 3.2. Blocos Aleatorizados
- 3.3. Efeitos de Tratamentos: Planejamento Aleatorizado por Níveis
- 3.3.1. Análise de um modelo de efeitos fixos
- 3.3.2 Comparação das médias individuais dos tratamentos
- 3.3.3 Análise de um modelo de efeitos aleatórios
- 3.4. Efeitos de Blocos
- 3.4.1. Planejamento por Níveis Completo Aleatorizado por Blocos
- 3.4.2. Planejamento Por Níveis Incompleto Aleatorizados Por Blocos
- Planejamentos com Múltiplos Blocos
- 4.1. Planejamentos Quadrados Latinos
- 4.2. Planejamento Quadrado Greco-Latino
- Planejamentos Fatoriais: Modelos Empíricos
- 5.1. Planejamento Fatorial Completo 22*
- 5.1.1. Cálculo dos efeitos
- 5.1.2. Interpretação geométrica dos efeitos
- 5.1.3. Interpretação dos Resultados de um planejamento 2^2
- 5.1.4. Codificação dos fatores
- 5.2. Experimentos Fatoriais Fracionados 2 kResolução −p
- 5.2.1 Confundindo (Sinônimos, Tendências)
- 5.2.2. Delineamento de um Experimento Fatorial Fracionário
- 5.3. Delineamento de Taguchi
- Análise de Regressão
- 6.1. Ajuste de Parâmetros
- 6.2. Principais Estimadores e suas Características
- 6.2.1. Estimador de Máximo a Posteriori (MAP)
- 6.2.2. Estimador de Máxima Verossimilhança (ML)
- 6.2.3. Estimador de Mínimos Quadrados
- 6.3. A Unicidade e o Criterio de Identificabilidade
- 6.4. Estimativa dos Erros
- 6.5. Correlação e Regressão
- 6.6. Regressão Múltipla
- 6.6.1. Estimador de Mínimos Quadrados (Resumo)
- Técnica das Superfícies de Resposta
- 7.1. Superfície de Resposta Linear
- 7.2. Superfície de Resposta Quadrática
- 7.3. Outros Planejamentos Fatoriais
- 7.3.1 Um Planejamento Fatorial 2^3
- 7.3.2. Obtenção de Superfície de Resposta linear para planejamentos fatoriais 2^3
- 7.3.3. Um Planejamento Fatorial 2^4
- fatorial 2^4 7.3.4. Obtenção de uma Superfície de Resposta Linear para um planejamento
- 7.4. Análise de Resíduos
- 7.4.1 Teste de Significância do Ajuste
- 7.4.2 Coeficiente de Múltipla Determinação
- 7.4.3 Coeficiente de Múltipla Determinação Ajustado
- 7.4.4 Coeficiente de Variação.
- 7.4.5. Teste Sobre um Coeficiente Particular
- Referências Bibliográficas
materiais diversos, a escolha de parâmetros de projeto adequados a uma ampla faixa de utilização do produto e à otimização de seu desempenho. Os conceitos sobre planejamento experimental podem ser resumidos em três termos muito empregados atualmente: qualidade, produtividade e competitividade.
1.1.1. Técnicas Para Definição da Seqüência de Ensaios Para que os resultados obtidos de ensaios experimentais possam ser analisados através de métodos estatísticos, possibilitando elaborarem-se conclusões objetivas, o planejamento experimental deve ser baseado numa metodologia também estatística, que é a única forma objetiva de avaliar os erros experimentais que afetam esses resultados. Há três técnicas básicas para a definição dos ensaios num planejamento experimental: o uso de réplicas , da aleatorização (ou “ randomização” ) e de blocos. A réplica consiste na repetição de um ensaio sob condições preestabelecidas. Esta técnica permite obter-se uma estimativa de como o erro experimental afeta os resultados dos ensaios e se esses resultados são estatisticamente diferentes. Ela também permite verificar-se qual a influência de uma determinada variável sobre o comportamento de um processo, quando a comparação é feita pela média das amostras. Por exemplo, pretende-se verificar como a pressão afeta a velocidade de uma reação química. Realizam-se ensaios em duas condições diferentes: p1 e p2 (com p1> p2 ). Num primeiro planejamento, realiza-se um ensaio para cada condição, ou seja, sem réplica, obtendo-se velocidades v1 e v2 respectivamente, iguais a 9,0 e 9,5. Como afirmar que o aumento da pressão acarreta um acréscimo de velocidade de reação? Tal resposta fica mais objetiva quando se realiza um grande número de ensaios (réplicas) de modo a minimizar o erro experimental e poder comparar as médias dos resultados obtidos nas amostras. A aleatorização é uma técnica de planejamento experimental puramente estatística em que a seqüência dos ensaios é aleatória e a escolha dos materiais que serão utilizados nesses ensaios também é aleatória. Uma das exigências do uso da metodologia estatística para o planejamento experimental e para a análise dos resultados é que as variáveis estudadas e os erros experimentais observados apresentem um caráter aleatório, o que é conseguido pelo emprego desta técnica.
Por exemplo, ao se definir para o caso do exemplo anterior (influência da pressão sobre a velocidade de reação) três valores para a pressão e quatro réplicas para cada valor de pressão, teremos doze ensaios, como mostrado na Tabela 1.
Tabela 1 Pressão Número dos Ensaios p1 1 2 3 4 p2 5 6 7 8 p3 9 10 11 12
Caso a seqüência estabelecida para os ensaios fosse 1, 2, 3....., 9, 10, 11 e 12, qualquer problema experimental não detectado poderia acarretar a invalidação de todo o procedimento experimental. Ao se utilizar uma seqüência aleatória (por exemplo: 8, 5, 9, 1, 12, 3, 7, 4, 11, 2, 6 e
- os erros experimentais devidos a qualquer variável não-controlável seriam distribuídos ao longo de todo o procedimento, aleatorizando-o e permitindo sua análise estatística. A técnica dos blocos permite realizar-se a experimentação com uma maior precisão, reduzindo a influência de variáveis incontroláveis. Um bloco é uma porção do material experimental que tem como característica o fato de ser mais homogêneo que o conjunto completo do material analisado. O uso de blocos envolve comparações entre as condições de interesse na experimentação dentro de cada bloco. Na análise com blocos, a aleatorização é restringida à seqüência de ensaios interna dos blocos e não ao conjunto total de ensaios. O uso de blocos pode ser analisado no seguinte exemplo: Supõe-se que ao realizarem-se ensaios de dureza, cada um dos dois penetradores disponíveis para o durômetro estejam fornecendo resultados distintos. Caso fosse feita uma aleatorização completa do conjunto de ensaios, como no exemplo anterior, diferenças significativas de propriedades entre materiais de diversas corridas de produção poderiam mascarar a influência dos penetradores. Assim, utiliza-se a técnica de blocos. Escolhem-se materiais provenientes de uma mesma corrida e se separa corpos-de-prova para serem ensaiados com os dois penetradores. Desta forma, criou-se um bloco: um conjunto de corpos de prova escolhidos de forma a garantir a homogeneidade do material. A aleatorização dentro desse bloco dá-se quando se escolhe
um conhecimento profundo dos instrumentos, equipamentos e métodos de controle e monitoramento;
- Análise dos resultados , com o uso de métodos estatísticos, a fim de que as conclusões estabelecidas sejam objetivas. Destaque-se que esses métodos não permitem afirmar se uma dada variável apresenta ou não um determinado efeito: eles apenas garantem a confiabilidade e a validade dos resultados, de modo que se possa determinar o erro associado nas conclusões, de acordo com um dado grau de confiança previamente estabelecido;
- Elaboração das conclusões e recomendações a partir da análise dos resultados. As conclusões e recomendações permitirão que decisões sejam tomadas a respeito do processo em estudo. Uma documentação extensa, com o uso de gráficos e tabelas permite que se apresentem os resultados obtidos, a análise efetuada, bem como futuras repetições do procedimento empregado.
1.2. Conceitos Básicos de Estatística 1.2.1. Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são observações de ocorrências incertas ou casuais, com as seguintes características (Cunha, 2007): 9 Cada experimento poderá ser repetido um número arbitrário de vezes, sob condições essencialmente inalteradas; 9 Em cada realização do experimento, não somos capazes de prever o resultado que ocorrerá. Todavia, conhecemos o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 9 Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgira uma regularidade do resultado, isto é, haverá uma estabilidade da fração (^) nr (freqüência relativa) da ocorrência de um particular resultado. Exemplos: Jogar uma moeda e observar a sua face superior; Sexo do primeiro filho de um casal; Número de chips defeituosos encontrados num lote de 100 chips; Peso de uma pessoa.
1.2.2. Espaço Amostral e Eventos O conjunto formado por todos os possíveis resultados de um processo aleatório é denominado espaço amostral ( S ). Exemplo1: Lançamento simultâneo de três moedas e o registro das faces obtidas. Para este experimento o espaço amostral é: S = {KKK; KKC; KCK; CKK; KCC; CKC; CCK; CCC}em que , K = cara e C = coroa. Exemplo 2: Processo aleatório: Verificar a vida útil de uma lâmpada. S = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 24 meses} Exemplo 3: Processo aleatório: Verificar a cor das flores de uma planta de feijoeiro. S = {branca; roxa; amarela}. Qualquer sub-conjunto do espaço amostral ( S ) é denominado evento. O evento A: exatamente duas caras obtidas no lançamento de uma moeda, é representado pelo conjunto: A = { KKC; KCK; CKK } Uma vez que os eventos podem ser interpretados como conjuntos, a eles podemos aplicar as operações empregadas na teoria de conjuntos. Assim: Se A e B forem eventos: A ∪ B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem. A ∩ B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem. A’ será o evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. A e B são mutuamente excludentes se não puderem ocorrer juntos, ou seja, A ∩ B = ∅, onde ∅ indica o evento vazio (nenhuma ocorrência).
1.2.3. Freqüência Relativa Suponhamos que realizemos um experimento n vezes e que dois eventos a ele associados A e B ocorram em números nA e nB, respectivamente, com n = nA + nB.
Define-se por f (^) A = nnA a frequência relativa do evento A nas n repetições do
experimento. A frequência relativa f A apresenta as seguintes propriedades:
- 0 ≤ f A ≤ 1
- f A = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetições
Existem vários experimentos aleatórios para os quais os resultados possíveis são igualmente prováveis. Entretanto, muitos experimentos não apresentam esta característica, a qual deve, portanto, ser cuidadosamente testada e justificada. Exemplo: Um dado equilibrado é lançado, a probabilidade do evento A = {resultado maior do que 4}, é o número de resultados favoráveis a A, que são dois resultados, sair os números 5 e 6, e o número de resultados possíveis de todo o espaço amostral é 6. Então:
númeroderesultadospossíveisemtodooespaço amostral P ( A )= númeroderesultadosfavoráveisaA (1.1)
P ( A )=^2 =
Métodos de Enumeração: Permutações, Arranjos e Combinações Para o cálculo de probabilidades usando a Equação (1), precisamos, muitas vezes, utilizar técnicas de análise combinatória para quantificar o numerador e o denominador. Exemplo: Se tivermos os objetos a, b e c, poderemos obter as seguintes permutações: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Portanto, para este caso, a resposta é 6. De modo geral, o número de permutações de n objetos diferentes é dado por: Pn = n! Consideremos novamente n objetos diferentes. Desejamos escolher r desses objetos 0 ≤ r ≤ n e permutar os r objetos escolhidos. Denotaremos o número de possibilidades para fazer isso por An,r, calculado por:
( )!
n r A (^) n r n = (^) − (1.2)
Consideremos novamente n objetos diferentes, queremos dispor r dentre esses n objetos, sem considerar sua ordem, obtendo as chamadas combinações. O número de combinações possíveis é dado por:
!( )!
r n r C (^) n r n = (^) − (1.3)
1.2.5. Variáveis Aleatórias Ao realizar-se uma série de ensaios sob condições preestabelecidas, normalmente observa-se uma variação de resultados de ensaio para ensaio. Essa variação denomina- se erro experimental e é também um erro estatístico proveniente de condições de ensaio
incontroláveis. A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória (V.A.) , que pode ser discreta se apresentar um número finito de valores possíveis, ou contínua, se estiver dentro de um intervalo de valores. A probabilidade de uma variável aleatória x é dada pela sua distribuição de probabilidade. Caso a variável seja discreta, essa distribuição é uma função probabilidade p(x), caso seja contínua, passa a ser denominada função densidade de probabilidade f(x) (f.d.p). Na figura 1, representa-se p(x) , para uma distribuição discreta, onde a função representa a probabilidade P^ da distribuição.
Figura 1. Distribuição Discreta.
Na figura 2, é mostrada f(y) , sendo P representada pela área sob a curva num dado intervalo. Juntamente com cada figura, apresentam-se as propriedades de cada uma das probabilidades em cada caso.
Figura 2. Distribuição Contínua.
1.2.7. Medidas de Dispersão A variância σ^2 representa a dispersão de uma distribuição e é definida como:
todos x
σ 2 ( x μ)^2 p ( x ), se x for discreta. (1.6)
∞ −∞
σ 2 = ( x − μ)^2 f ( x ) dx , se x for contínua. (^) (1.7)
A variância pode ser expressa usando o operador de expectativa E(x) , pois:
σ 2 = E [( x − μ)^2 ] (1.8)
Também se pode definir um operador de variância V(x) igual a:
V ( x )= E [( x −μ )^2 ]= σ^2 (1.9)
A partir dos parâmetros m, s^2 e c (constante), têm-se as seguintes propriedades:
- E(c) = c
- E(y) = μ
- E(c y) = c E(y) = c μ
- V(c) =
- V(y) = σ^2
- V(c y) = c^2 V(y) = c^2 σ^2
- E(y 1 + y 2 ) = E(y 1 ) + E(y 2 ) = μ 1 + μ 2
- V(y 1 + y 2 ) = V(y 1 ) + V(y 2 ) + 2Cov(y 1 y 2 )
- V(y 1 - y 2 ) = V(y 1 ) + V(y 2 ) – 2Cov(y 1 y 2 )
10. V(y 1 ± y 2 ) = V(y 1 ) + V(y 2 ) = σ 12 + σ 22
- E(y 1 y 2 ) = E(y 1 ) E(y 2 ) = μ 1 μ 2
- (^) (( )) 2
1 2
1 E y
E y y E y ≠ ⎟⎟⎠
Onde, y 1 e y 2 são variáveis aleatórias, com médias iguais a μ 1 e μ 2 e variâncias
iguais a σ 12 e σ 22.
No caso das propriedades 10 e 11, assume-se que essas variáveis sejam independentes. O parâmetro covariância ( Cov(x,y) ) representa a associação linear que existe entre as variáveis x e y. A covariância, a qual mede o grau de dispersão conjunta de duas variáveis aleatórias, é dada por:
cov( x , y )= E [( x − μ x )( y − μ y )]
Sendo que no caso de duas variáveis independentes, tem-se que Cov(x,y) = 0. Para variáveis aleatórias contínuas, a covariância é dada por:
∞ −∞
∞ −∞
E ( XY )= ( xy ) dxdy (1.10)
No caso do planejamento experimental, os resultados obtidos referem-se a uma amostragem, que se espera possam reproduzir o comportamento da população que representam. Os métodos estatísticos só podem ser utilizados se as amostras forem escolhidas aleatoriamente, ou seja, com a mesma probabilidade de serem retiradas da população que outras amostras. Qualquer função relativa aos resultados de uma amostra e que não contenha parâmetros desconhecidos é denominada função estatística, como por exemplo, as funções média ( x^ ) e variância (s^2 ) da amostra. Elas são estimadores pontuais, ou estimativas, respectivamente da média (μ) e da variância (σ^2 ) da população.
n
x x
n
= ∑ i =^1 i (1.11)
1
2 2 −
= n
x x s
n i
i (1.12)
onde x 1 , x 2 , ..., xn representam a amostra e n é o número de elementos da amostra. O desvio-padrão da amostra (s) é comumente empregado como medida de dispersão por apresentar unidade igual à das medidas (xi). Exemplo: Um estimador pontual não deve, necessariamente, ser distorcido ou parcial. Deve apresentar uma variância mínima, ou seja, menor que a variância de qualquer outro estimador do parâmetro analisado. A expressão que determina a variância de uma amostra, tem como numerador:
=
n i
SS xi x 1
( )^2
que é a soma corrigida dos quadrados das observações ( xi ), ou seja, a soma dos quadrados das diferenças x (^) 1 − x , x 2 − x , x 3 − x ,K, xn − x. Como a somatória dessas
diferenças é igual a zero, somente n-1 elementos são independentes. Assim, SS tem n- graus de liberdade , ou ν = n-1 , de modo que:
σ^2
E ⎛^ SS
distribuição é assimétrica à direita ou assimétrica positiva. Se o inverso ocorre, diz-se que ela é assimétrica à esquerda ou negativa. O coeficiente de assimetria (Cs) é dado por:
21 , 5
3 '
C M
s =^ (1.17)
Classificação das distribuições quanto à assimetria: 9 Cs = 0 distribuição é simétrica perfeita. 9 Cs > 0 a distribuição é assimétrica à direita. 9 Cs < 0 a distribuição é assimétrica à esquerda. Existem ainda o primeiro e segundo coeficientes de assimetria de Pearson dados respectivamente por:
s C X Mo s
s C X Md s
= 3 (^ −^ ) (1.19)
Tipos de distribuições quanto à assimetria:
Distribuição Simétrica Distribuição Assimétrica Negativa
Distribuição Assimétrica Positiva
Coeficiente de Curtose Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição, considerado usualmente em relação à distribuição normal, que será detalhada na seção 1.2.11. A distribuição que tem um pico relativamente alto é chamada leptocúrtica, enquanto a distribuição que possui o topo achatado é denominada platicúrtica e a distribuição que não é muito pontiaguda, nem muito achatada, como acontece com a distribuição normal é denominada mesocúrtica. O coeficiente de curtose é dado por:
2 2
4 '
C M
k =^ (1.20)
Tipos de distribuição quanto à curtose:
Distribuição Leptocúrtica Distribuição Mesocúrtica
Distribuição Platicúrtica
1.2.9. Desigualdade de Chebyshev Seja x uma Variável Aleatória com distribuição arbitrária, média μ, valor médio quadrático ψ^2 e variância σ^2.
ψ (^) x^2^ =∫− ∞∞ x^2 p ( ) xdx (^) ∫ x ≥ε x^2 p ( ) xdx (1.21)
