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I - Diedro
Definição Ângulo diedro ou diedro ou ângulo diédrico é a reunião de dois semiplanos de mesma origem, não contidos num mesmo plano. A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces. Podemos estender a definição acima para termos o diedro nulo , quando suas faces são coincidentes e raso se suas faces são semiplanos opostos. Características O interior de um diedro é convexo. Os pontos do interior de um diedro são pontos internos ao diedro. A reunião de um diedro com se interior é um setor diedral ou diedro completo , também conhecido por diedro convexo. O exterior de um diedro é côncavo. Os pontos do exterior de um diedro são os pontos externos ao diedro. A reunião de um diedro com seu exterior é também conhecida por diedro côncavo. Secções Secção de um diedro é a intersecção do diedro com um plano secante à aresta. Propriedades Duas secções paralelas de um diedro são congruentes. As secções são dois ângulos de lados com sentidos respectivamente concordantes e, portanto, elas são congruentes. Secção Reta ou Normal É a secção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro. Propriedades Secções normais de um mesmo diedro são congruentes. De fato as secções normais de um mesmo diedro são paralelas e, portanto, congruentes. Natureza Reto Um diedro é reto se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo reto. Agudo Um diedro é agudo se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo agudo. Obtuso Um diedro é obtuso se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo obtuso. Adjacentes Dois diedros são adjacentes se, e somente se, suas secções normais forem ângulos adjacentes. Opostos Dois diedros são opostos pela aresta se, e somente se, as Pela Aresta secções normais forem ângulos opostos pelo vértice.
II – Triedro
Definição Dadas três semi-retas Va, Vb, Vc, de mesma origem V, não coplanares,
consideremos os semi-espaços como segue:
1, com origem no plano (bc) e contendo Va;
2, com origem no plano (ac) e contendo Vb;
3, com origem no plano (ab) e contendo Vc.
Triedro determinado por Va, Vb, Vc é a intersecção dos semi espaços 1, 2 e 3.
Sob uma outra orientação, a figura geométrica definida acima é chamada setor triedral ou ângulo sólido de três arestas. Seguindo essa orientação, o triedro é a reunião dos três setores angulares definidos por Va, Vb e Vc.
Elementos V é o vértice. Va, Vb, Vc são as arestas.
di(a), di(b), di(c) são os diedros do triedro. Cada um deles é determinado por duas faces do triedro. O triângulo ABC com um único vértice em cada aresta é uma secção do triedro. Um triedro notável é aquele cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros retos. Esse triedro é chamado triedro tro-retângulo (ou triedro tri-retangular). Natureza Polar Um triedro é polar de outro se, e somente se, tem o mesmo vértice do outro, se suas arestas são respectivamente perpendiculares aos planos das faces do outro e se formam ângulos agudos com as arestas correspondentes do outro.
3 4 12 8 6 Hexaedro
4 3 12 6 8 Octaedro
3 5 30 20 12 Dodecaedro
5 3 30 12 20 Icosaedro
Poliedros Regulares Um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes e quando seus ângulos poliédricos são congruentes. Existem cinco, e apenas cinco, tipos de poliedros regulares. São eles: Tetraedro Regular , Hexaedro Regular , Octaedro Regular , Dodecaedro Regular e Icosaedro Regular. Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.
IV – Prisma
Definição Consideremos uma região poligonal convexa plana (polígono plano convexo) A1 A
… An de n lados e uma reta r não paralela nem contida no plano da região
(polígono). Chama-se prisma ilimitado convexo ou prisma convexo indefinido à reunião das retas paralelas a r que passam pelos pontos da região poligonal dada. Se a região poligonal (polígono) A1 A2 … An for côncava, o prisma ilimitado
resultará côncavo. Ao considerarmos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABCD…MN
situado num plano e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta o
plano . Chama-se prisma (ou prisma convexo) à reunião de todos os segmentos
congruentes e paralelos a , com uma extremidade nos pontos do polígono e
situados num mesmo semi-espaço dos determinados por . A definição de prisma (prisma convexo limitado ou prisma convexo defindo ou prisma convexo) pode ser escrita como uma reunião da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas, com essas secções. Elementos Um prisma ilimitado convexo possui: n arestas, n diedros e n faces (que são faixas de plano). Um prisma convexo possui: Bases Duas bases congruentes (as secções citadas acima); Faces Laterais n faces laterais (paralelogramos); Faces ( n + 2 ) faces; Arestas Laterais n arestas laterais; Arestas 3n arestas; Diedros 3n diedros; Vértices 2n vértices; Triedros 2n triedros. A altura de um prisma é a distância h entre os planos das bases. É interessante notar que, para o prisma, é válida a relação de Euler:
Secção
Secção de um prisma é a intersecção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais. Notemos que a secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral. Secção Reta ou Secção Normal é a secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. Natureza Prisma Reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares oas planos das bases. Num prisma reto as faces laterais são retângulos. Prisma Oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Prisma Regular é um prisma cujas bases são polígonos regulares. Um prisma será tringulas, quadrangular, pentagonal, etc., conforma a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.
