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Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo É um prisma cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis paralelogramos. Paralelepípedo Reto É um prisma reto cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo reto é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases). Paralelepípedo Reto-Retângulo ou Paralelepípedo Retângulo ou Ortoedro É um prisma reto cujas bases são retângulos. A superfície total de um paralelepípedo retângulo é a reunião de seis retângulos. Cubo É um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro É um paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro é a reunião de seis losangos. Romboedro Reto É um paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfície total de um romboedro reto é a reunião de quatro quadrados (faces laterais) com dois losangos (bases). Romboedro Reto-Retângulo ou Cubo É um romboedro reto cujas bases são quadrados. A superfície de um romboedro reto é a reunião de seis quadrados.
V – Pirâmide
Definição Consideremos uma região poligonal plano-convexa (polígono plano-convexo) A1 A
… An de n ladose um ponto V fora de seu plano. Chama-se pirâmide convexa
indefinida (ou ângulo poliédrico ou ângulo sólido) à reunião das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos da região poligonal (polígono) dada. Se a região poligonal (polígono) A1 A2 … An for côncava, a pirâmide ilimitada resulta
côncava. Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABC…MN situado
num plano e um ponto V fora de . Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. V é o vértice e o polígono ABC…MN, a base da pirâmide. Podemos, também, definir pirâmide como segue: Pirâmide Convexa Limitada ou Pirâmide Convexa é a parte da pirâmide ilimitada que contém o vértice quando se divide essa pirâmide pelo plano de uma secção, reunida com essa secção. Elementos Uma pirâmide ilimitada convexa possui: Arestas n arestas Diedro s n diedros Faces n faces (são os ângulos ou setores angulares planos). Uma pirâmide convexa possui: Bases Uma base (a secção acima citada) Faces Laterais n faces laterais (Triângulos) Faces (n + 1) faces Arestas Laterais n arestas laterais Arestas 2n arestas Diedros 2n diedros Vértices (n + 1) vértices Ângulos Poliédricos (n + 1) ângulos poliédricos Triedros n triedros A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice e o plano da base. Para uma pirâmide, a relação de Euler também é válida. Secções É uma região poligonal plana (polígono plano) com um só vértice em cada aresta. Natureza Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Numa pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Chama-se apótema de uma pirâmide regular à altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral. Tetraedro é uma pirâmide triangular. Tetraedro regular é um tetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si. Uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.
VII – Cone
Definição Superfícies regradas desenvolvíveis cônicas são superfícies geradas por uma reta g (geratriz), passando por um ponto dado V (vértice) e que percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), com V fora de d. Superfície cônica de rotação ou revolução é uma superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g oblíqua ao eixo e. O vértice ( V ) é a intersecção das retas g e e. Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido à reunião das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos do círculo. Agora, consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano e um ponto V fora de . Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e outra nos pontos do círculo. A definição de cone também pode ser expressa como uma parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção. Elementos O cone possui: Bases Uma base – círculo de centro O e raio r ou a secção citada acima Geratrizes São os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência base Vértices O ponto V citado acima Raio r é o raio da base Altura Distância entre o vértice e o plano da base Eixo é a reta determinada pelo vértice e pelo contro da base Apótema é a geratriz de um cone circular reto Superfícies Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por Al. Superfície total é a reunião da superfície lateral com
o círculo da base. A área total dessa superfície é chamada área total e indicada por At.
Natureza A natureza dos cones é definida pela posição da reta VO em relação ao plano da base. Se esta reta é oblíqua ao plano da base, temos um cone circular oblíquo. Se a reta VO é perpendicular ao plano da base, temos o cone circular reto. Este cone também é chamado de cone de revolução , pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos. Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero
.
A Secção meridiana de um cone é a intersecção do cone com um plano que contém a reta VO. A Secção meridiana de um cone de revolução é um triângulo isósceles.
VIII – Esfera
Definição Consideremos o ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro
O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância seja menor
ou igual a r. Esfera também é o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Elementos Pólos relativos a uma secção da esfera são as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano desta secção. Considerando a superfície de uma esfera de eixo e , temos: Pólos São as intersecções da superfície com o eixo Equador É a secção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície Paralelo É uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “paralela” ao equador Meridiano É uma secção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo Distância Polar É a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao pólo Fuso Esférico É a intersecção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica Cunha Esférica É a intersecção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém o diâmetro da esfera. Natureza Por natureza, a esfera sempre será um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro, como já foi dito anteriormente. Secção Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da secção, temos a
relação:. Rearranjando esta equação, é fácil chegar na bem conhecida
, que é o famoso e muito utilizado Teorema de Pitágoras, aplicado no
triângulo retângulo OMA, onde O é o centro da esfera, M é a projeção perpendicular do centro O no plano secante e A é o ponto de intersecção do plano com a superfície da esfera. Superfície Chama-se de superfície de uma esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.
