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LISTA 2 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
1- Determine as probabilidades: a) P(-1,25 < Z < 0) = Sabemos que: P(0 < Z < 1,25) = 0, Pela simetria da curva, temos: P(-1,25 < Z < 0 = P(0 < Z < 1,25) = 0, b) P(-0,5 < Z < 1,48) = Temos: P(-0,5 < Z < 1,48) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,48) Como: P(-0,5 < Z < 0 = P(0 < Z < 0,5) = 0,1915 e P(0 < Z < 1,48) = 0, Obtemos: P(-0,5 < Z < 1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0, c) P(0,8 < Z < 1,23) = Temos: P(0,8 < Z < 1,23) = P(0 < Z < 1,23) – P(0 < Z < 0,8) Como: P(0 < Z < 1,23) = 0,3907 e P(0 < Z < 0,8) = 0, Obtemos: P(0,8 < Z < 1,23) = 0,3907 – 0,2881 = 0,1026. d) P(-1,25 < Z < -1,20) = Temos: P(-1,25 < Z < -1,20)= P(0 < Z < -1,20)- P(0 < Z < 1,25) Como:P(0 < Z < -1,20)= 0,3512 e P(0 < Z < -1,25)= 0, Obtemos: P(-1,25 < Z < -1,20) =0,3944+0,3512=0, e) P( Z < 0,92) = Temos: P(Z < 0,92) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 0,92) Como: P(Z < 0) = 0,5 e P(0 < Z < 0,92) = 0, Obtemos: P(Z < 0,92) = 0,5 + 0,3212 = 0, f) P(Z > 0,6) = Temos: P(Z > 0,6) = P(Z > 0) – P(0 < Z < 0,6) Como: P(Z > 0) = 0,5 e P(0 < Z < 0,6) = 0, Obtemos: P(Z > 0,6) = 0,5 – 0,2258 = 0, 2- Os salários dos bancários são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00. Determinando os valores da variável de distribuição normal reduzida (z). z 1 =
=−0,25 e z 2 =
Determinando a probabilidade pedida: P ( 9800 < x < 10400 )= P (−0,25< z <0,5)=¿¿ P (−0,25< z < 0 )+ P ( 0 < z <0,5)=¿ ¿ 0,0987+0,1915=0, O que significa dizer que, em média, 29,02% dos profissionais recebem salários entre R$9.800 e R$10.400.
3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 e desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota: a) maior que 120
x =100 S =10 Z¿^
x − x S
P(Z > 2) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 2) = 0,5 - 0,4772 = 0,
b) maior que 80
Z¿^
x − x S
P(Z > -2) = P(Z > 0) + P(-2 < Z < 0) = P(Z > 0) + P(0 < Z < 2) = 0,5 + 0,
c)entre 85 e 115
Z1¿^
x − x S
=-1,5 Z2¿^
x − x S
P(-1,5<Z< 1,5) = P(-1,5<Z< 0)+ P(0<Z< 1,5) = P( 0 <Z< 1,5) + P( 0 <Z< 1,5)=
d)maior que 100
Z=
x − x S
P(Z > 0) = 0,
4 - Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos. Temos: n=6; k=4; p=? e q=1 -1/3= 2/ Para determinar o P (probabilidade do time A ganhar uma vez) pensamos o seguinte: a probabilidade de num jogo o time A ganhar uma partida é igual a probabilidade do mesmo perder ou empatar. Seja P essa probabilidade então: P+P+P=1 >>> 3P=1 >>>P= 1/ Assim, a probabilidade do time A ganhar uma única vez é de 1/3.
P(0) =(6/0).(1/3)^0.(2/3)^
P(0)=64/
Como o que é o complementar, então: P(A ganhar pelo menos um jogo)= 1-64/ P(A ganhar pelo menos um jogo)=665/ 8- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros? P(2)=(5/2).(2/3)^2.(1-2/3)^5- P(2)=5/2.4/9.1/ P(22)= 40/ 9- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles? P(2)=(6/2).(0,1)^2.(1-0,1)^6- P(2)=(6/2).(0,1)^2.(0,9)^ P(2)=0,98415 ou 9,8415% 10 – Se 2% dos fusíveis são defeituosos. Qual a probabilidade de que uma amostra de 400 fusíveis exatamente 6 sejam defeituosos? p = 0,02 n = 400 μ= n. p = 0,02. 400 = 8 P(x=6)=((u^x)e^(-u))/x P(x=6) =((8^6)e^(-8))/ 6 P (x = 6) = 0,1222 ou 12,24% 11 – Se o número de peixes pescados por hora em certo pesqueiro é uma variável que segue a distribuição de Poisson com média igual a 1,8, achar a probabilidade de que um pescador, pescando durante uma hora: a) Não pegue nenhum peixe. Dada a média = 1,8 e sabendo que a média da distribuição de Poisson é igual ao parâmetro λ dela, temos que λ = 1,8. (1,8 peixes por hora). Queremos determinar a probabilidade de P(X = 0). Para isso, podemos considerar a função massa já definida por: P (X=x) = (e^(-λ) * λ^(x)) / x P (X=0) = (e^(-1,8) * 1,8^(0)) / 0 P (X=0) = 0.16 = 16%
b) Pegue exatamente 2 peixes. Dada a média = 1,8 e sabendo que a média da distribuição de Poisson é igual ao parâmetro λ dela, temos que λ = 1,8. (1,8 peixes por hora). Queremos determinar a probabilidade de P(X = 2). Para isso, podemos considerar a função massa já definida por: P (X=x) = (e^(-λ) * λ^(x)) / x P (X=2) = (e^(-1,8) * 1,8^(2)) / 2 P (X=2) = -2,91 = 3 % c) Pegue no máximo 4 peixes. Dada a média = 1,8 e sabendo que a média da distribuição de Poisson é igual ao parâmetro λ dela, temos que λ = 1,8. (1,8 peixes por hora). Queremos determinar a probabilidade de P(X = 4). Para isso, podemos considerar a função massa já definida por: P (X=x) = (e^(-λ) * λ^(x)) / x P (X=4) = (e^(-1,8) * 1,8^(4)) / 4 P (X=4) = -4,73 = 4% d) Pegue pelo menos dois peixes. Dada a média = 1,8 e sabendo que a média da distribuição de Poisson é igual ao parâmetro λ dela, temos que λ = 1,8. (1,8 peixes por hora). Queremos determinar a probabilidade de P(X = 2) e P(X=1). Para isso, podemos considerar a função massa já definida por: P (X=x) = (e^(-λ) * λ^(x)) / x P (X=4) = (e^(-1,8) * 1,8^(1)) / 1 P (X=4) =-3,4 = 3% Para isso, podemos considerar a função massa já definida por: P (X=x) = (e^(-λ) * λ^(x)) / x P (X=2) = (e^(-1,8) * 1,8^(2)) / 2 P (X=2) = -2,91 = 3 % 12 - Se 4% de passageiros de avião tem problemas com a bagagem. qual a probabilidade de que entre 150 passageiros até 2 passageiros tenham problemas com suas bagagens? X=N. de passageiros de avião tem problemas com a bagagens entre 150 passageiros, x~b (150, 0,04). Pede-se P(x ≤ 2) =F(2) Pode-se usar aproximação pela Poisson, fazendo Y= 150 x 0. (2, 150 , 0.04) =12%
