Problemas envolvendo a derivada
Problema 1: A função
=
t.
m
k
sen.Ay
representa as oscilações de uma mola
com uma massa m presa em uma de suas extremidades, sendo k a constante
elástica mola.
a) Encontre o instante no qual a massa está mais distante do seu ponto de
equilíbrio. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com
velocidade máxima. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando
com aceleração máxima.
b) Qual é o período T da oscilação?
c) Encontre
dm
dT
. O que nos diz o sinal de
dm
dT
?
Problema 2: Seja a função
xcos
e)x(f
=
. Investigue algumas das propriedades de f,
através das questões:
a) Qual o domínio de f?
b) f é periódica?
c) f assume valores negativos?
d) f tem raízes?
e) f tem algum valor máximo? E mínimo?
f) f é o resultado da composição de uma função exponencial com uma função
trigonométrica. A função f cresce infinitamente como uma função exponencial?
g) Qual a imagem de f?
Problema 3: Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto
acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é
sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante
e é de 50 mm3/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5
minutos do início do fenômeno.
Problema 4: Seja a função h(x)=f(g(x)), sendo g(x)=cos x. Sabendo que f’(–1)=3,
determine o valor de
)('h
π
.
Problema 5: Dadas as funções
)x2(tg)x(f
=
e
=
2
x
tg)x(g
definidas para
] [
ππ−∈
,x
:
a) Resolva as equações: f’(x)=1 e g’(x)=1.
b) Dê uma interpretação gráfica dos resultados da parte a), em termos das
inclinações dos gráficos das funções f e g.
