UGF
Disciplina: C´
alculo III Profa.: Cl´
audia
PRIMEIRA LISTA DE EXERC´
ICIOS
1) Determine a ordem da equa¸c˜ao e verifique se ela ´e ou n˜ao linear:
(a) y00 + sen (x+y) = sen xR: 2a; n˜ao
(b) d3y
dx3+xdy
dx + (cos2x)y=x3R: 3a; sim
(c) ty00 +t2y0
−(sen t)√y=t2
−tR: 2a; n˜ao
(d) xd3y
dx3−2dy
dx4
+y= 0 R: 3a; n˜ao
2) Verifique se y1(x) e y2(x) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao:
(a) y00(x)−y(x)=0, y1(x) = ex, y2(x) = e−xR: y1(x) e y2(x) s˜ao solu¸c˜oes
(b) yiv + 4y000 + 3y=x, y1(x) = x
2, y2(x) = e−x+x
3R: y1(x) n˜ao ´e solu¸c˜ao e y2(x) ´e solu¸c˜ao
(c) y00
−(y0)3+xy0=y, y1(x) = x−1, y2(x) = ln xR: y1(x) ´e solu¸c˜ao e y2(x) n˜ao ´e solu¸c˜ao
3) Determine a solu¸c˜ao do PVI y00 + 4y= 0,
y(0) = 0, y0(0) = 1 , sabendo que y(x) = c1sen 2x+c2cos 2x´e a solu¸c˜ao
geral da equa¸c˜ao diferencial. R: 1
2sen x
4) Verifique se y=xe2x+ex´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y00
−4y0+ 4y=ex. R: Sim
6) Determine c1ec2de modo que y(x) = c1sen x+c2cos xsatisfa¸ca as condi¸c˜oes y(0) = 1, y(π/2) = 1.
R:c1=c2= 1
7) Encontre valores de mpara que y=emx seja solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y00
−5y0+ 6y= 0. R:m= 2 e m= 3
8) Determine c1ec2de modo que y(x) = c1e2x+c2ex+2sen xsatisfa¸ca as condi¸c˜oes iniciais y(0) = 0, y0(0) = 1.
R:c1=−1, c2= 1
9) Certa substˆancia radioativa diminui a uma taxa proporcional `a quantidade presente. Se inicialmente
a quantidade de material ´e de 50 mg, e se se observa que, ap´os 2 h, perderam-se 10% da massa original,
determine :
(a) a express˜ao para a massa da substˆancia restante em um tempo arbitr´ario t; R: A(t) = 50e−0,053t
(b) a massa restante ap´os 4h; R: 40,5mg
(c) o tempo necess´ario para que a massa fique reduzida `a metade (meia-vida). R: 13,2h
10) Sabe-se que a popula¸c˜ao de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao n´umero de habitantes
existentes. Se ap´os 2 anos a popula¸c˜ao ´e o dobro da inicial, e ap´os 3 anos ´e de 20.000 habitantes, determine
a popula¸c˜ao inicial. R: 6998
11) Determine se cada equa¸c˜ao ´e ou n˜ao separ´avel:
(a) sen x dx +y2dy = 0 (b) xy2dx −x2y2dy = 0 (c) (1 + xy)dx +y dy = 0
R: (a) Sim (b) Sim (c) N˜ao